MMQ e Modello Cucker-Smale Flashcards
Cosa cerca di giustificare il Modello Cucker Smale?
Cerca di giustificare il raggiungimento del consenso in modo spontaneo da parte di uno stormo di uccelli.
Si indaga sul motivo per cui in determinate condizioni uno stormo converge a una medesima velocità.
Quale è il postulato -Cucker Smale
Ogni uccello aggiusta la sua velocità aggiungendovi una media ponderata della differenza tra la sua velocità v e quella degli altri.
Delta vi= vi(t+1)- vi(t) =
= sommatoria per j che va da 1 a n di
aij * (vi(t)-(vj(t)).
Dove:
-vi(t) è la velocità dell’uccello i al tempo t.
-vj(t) è la velocità dell’uccello j al tempo t.
- n è il numero di uccelli nello stormo.
- aij è l’influenza che uccello i ha su j.
Ipotesi e POV -Cucker Smale
Ipotizziamo uno stormo di due uccelli, quindi n=2.
Delta v1= a11(v1(t)-v1(t)) + a12(v1(t)-v2(t)).
Delta v2= a21(v2(t)-v1(t)) + a22(v2(t)-v2(t)).
Svolgo e unisco.
ottengo matrici…
Matrice di adiacenza di Cucker Smale
a11+a12 è il grado uscente da uccello 1 e rappresenta l’influenza che 1 ha su tutti gli uccelli (compreso se stesso).
a11+a21 è il grado entrante nell’ uccello 1 e rappresenta l’influenza che tutti gli uccelli (compreso se stesso) hanno sull’uccello 2.
a11 e a22 rappresentano la forza che gli uccelli esercitano su se stessi per resistere all’influenza degli altri.
MMQ- Obiettivo
Data una serie di valori osservati (xi,y),
cerco la retta che passa il più vicino possibile a questi punti, ovvero la retta di regressione y= βx + α.
Con questa retta posso tentare di prevedere i valori che y assumerò in una x diversa da quelle osservate.
Problema degli errori della retta di regressione- MMQ
La retta di regressione non esprime una relazione esatta tra yi e xi, ma saranno presenti degli errori εi per ciascun valore di y stimato dalla retta.
Obiettivo è minimizzare il complesso degli errori.
Se cerco di minimizzare la sommatoria degli εi allora potrei ottenere un valore piccolo della sommatoria dovuto alla compensazione di errori di segno opposto.
Una buona misura della bontà dell’approssimazione è data dalla sommatoria degli εi ^ 2 ovvero la sommatoria di (βxi + α - yi)^2 che sarà la nostra funzione
E( β, α).
Funzione che vogliamo minimizzare.
Gradiente = 0 -Minimizzare E(β, α)
Data E(β, α) devo trovare il punto in cui i gradiente si annulla per trovare il punto stazionario.
Calcolo la derivata della funzione E rispetto a alfa e rispetto a beta.
Poi divido tutto per n,
ricordando che:
- x media= somm xi /n.
- y media= somm yi /n.
- q segnato = somm xi^2/n.
- p segnato = somm xiyi/n.
Quali sono le cordinate del punto stazionario P? -Minimizzare E(β, α)
Date le condizioni per cui gradiente di E =0, risolvo il sistema.
Trovo la matrice dei coefficienti A e quella dei termini noti.
Il determinante di A è q segnato - media x^2= varianza di x (che è positiva).
Trovo alfa e beta.
Alfa = det (matrice senza colonna alfa)/ detA.
Beta = det(matrice senza colonna beta)/ detA.
P è un punto di minimo? -Minimizzare E(β, α)
Calcolo la matrice hessiana e determino il suo segno.
Poichè è definita positiva allora posso dire che P è un punto di minimo.
