Midterm questions 2022+2023 (4 of 2023)(diff~)

Question 1

Το ηλεκτρόνιο του ατόμου του 1Η εμφανίζει μηκος κύματος de Broglie(λe) 1.45A(angstrom). Εαν γνωριζουμε τη ταχυτητα με βεβαιοτητα 90%, υπολογιστε την βεβαιοτητα θεσης (Δx) του ηλεκτρονιου. Ερμήνευση. Δεδομένα: me(mass of electron) = 9.10910^-31kg, h constant, 1eV : 1.60210^-19J and diameter of hydrogen atom(dH)=1.06(angstrom)

(!!!!SAME AS 4 OF 2023!!!!!)

Answer 1

Μετατροπή λe = 1,45 × 10^-10m
λe = h / p = h/mu
τιμές h,me,1eV, μετατροπή dH=.0610^-10m*
Αρχή της αβεβαιότητας Heisenberg. (describe a bit)
(ΔxΔp>=h-/2)
Δx * Δp >= h / (4π)
ΔxΔ(mux)>=h/4π
Δx>=h/4πmΔux
λ=h/mu=>u=h/mλ=
6.62610^34J/9.109,10^-3kg * 1,4510^-10m =>u=5016637,5m/s
Δx>=6.62610^-34m/4π9,10910^31kg0,15,01710^-22=1,1510^-11m
Δx>=1,1510^11m
dH=1,0610^-10m

Η αβεβαιότητα φαίνεται πως είναι 1 ταξη μικρότερη της διαμέτρου στο άτομο Η. Αυτό δείχνει ότι το e- βρίσκεται μέσα στο άτομο χωρις να ξέρουμε τη θέση του με ακρίβεια.

Question 2

or:

Answer 2

Δx⋅Δp≥h/4π
Γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα του ηλεκτρονίου μετριέται με ακρίβεια 90%, που σημαίνει ότι η αβεβαιότητα στη ταχύτητα (Δ𝑣Δv) είναι περίπου το 10% της τιμής της ταχύτητας.
=> Σχέση που συνδέει ταχύτητα με ορμή:
p=meu
(1)Εξίσωση του de Broglie: δίνει τη σχέση μεταξύ της ορμής και του μήκους κύματος:
λe=h/p
Ορμή: p=h/λe
Ταχύτητα e-: u=p/me => u=h/(meλe)
>λe =1.45Å =1.45×10^-10m
>h=6.626×10^−34 J⋅s
>me =9.109×10^−31kg
u=h/(meλe)=~5.0110^6m/s
(2)Υπολογισμός αβεβαιότητας στην ορμή:
Η αβεβαιότητα στην ταχύτητα είναι 10% της τιμής της ταχύτητας, άρα:
Δv=0.1⋅v=(0.1)⋅(5.01×10^6 m/s)=5.01×10^5 m/s
Η αβεβαιότητα στην ορμή είναι:
Δp=me*Δu=(9.109×10^−31kg)⋅(5.01×10^5m/s) =>
Δp≈4.56×10^−25 kg⋅m/s
(3) Υπολογισμός της αβεβαιότητας στη θέση:
Δx≥h/(4π⋅Δp)
Δx≥(6.626×10^−34)/(4π⋅4.56×10^−25) m
Δx≥ (6.626×10^-34/5.73×10^−24) m
Δx≥1.16×10^−10m=1.16Å
Η διάμετρος (dH) του ατόμου του υδρογόνου είναι περίπου 1.06 Å, άρα η αβεβαιότητα στη θέση του ηλεκτρονίου είναι περίπου ίση με το μέγεθος του ίδιου του ατόμου. Αυτό σημαίνει ότι, δεδομένης της ακρίβειας με την οποία γνωρίζουμε την ταχύτητα του ηλεκτρονίου, η αβεβαιότητά μας για τη θέση του είναι πολύ μεγάλη και ουσιαστικά καλύπτει σχεδόν ολόκληρο τον χώρο που καταλαμβάνει το άτομο.
(Με βάση πρώιμες εκτιμήσεις για το μέγεθος ενός ατόμου υδρογόνου και την αρχή της αβεβαιότητας, η ενέργεια θεμελιώδους κατάστασης ενός ατόμου υδρογόνου είναι στην περιοχή