metodi numerici teoria generale

Question 1

matrice grande o piccola

Answer 1

m < 50, m> 400

Question 2

matrice sparsa

Answer 2

sparsity > 0.33

Question 3

diagonale strettamente dominante

Answer 3

diagonale maggiore di somma dei valori assoluti dei elementi della riga

Question 4

formula condizionamento built in

Answer 4

np.linalg.cond(A)

Question 5

codice matrice simmetrica e definita positiva

Answer 5

np.allClose(A, A.T)

try: scipy.linalg.cholesky(A)
except scipy.LinAlgError:

Question 5

formula rank matrice

Answer 5

np.linalg.matrix_rank(A)

Question 6

codice diagonale strettamente dominante

Answer 6

n, _ = A.shape
diagonally_dominant = True
for i in range(n):
# Calcola la somma dei valori assoluti degli elementi della riga, escluso l’elemento diagonale
sum_row = np.sum(np.abs(A[i, :])) - np.abs(A[i, i])
# Controlla se valore assoluto dell’elemento diagonale è strettamente maggiore della somma degli altri elementi della riga
if np.abs(A[i, i]) <= sum_row:
diagonally_dominant = False
break

if diagonally_dominant:
    print("Matrice a Diagonale Strettamente Dominante")

Question 7

codice residuo di sistema Ax = b

Answer 7

residuo_sol = np.linalg.norm(A @ x - b)

Question 8

codice derivata

Answer 8

df = sym.diff(f, var, 1)

Question 9

codice trasformare funz simbolica in numreica

Answer 9

f_numerica = sym.lamdify(var, f, np)

Question 10

codice radice quadrata

Answer 10

sym.sqrt(expr)
o np.sqrt(valore)

Question 11

codice matrice

Answer 11

sym.matrix

Question 12

codice condizionamento

Answer 12

np.linalg.cond()

Question 13

importare cholesky

Answer 13

scipy.linalg.cholesky(A)

Question 14

vettore di zeri

Answer 14

np.zeros_like(vet)

Question 15

scambiare costanti per numeri in funzione simbolica

Answer 15

f.subs(var, numero)

Question 16

codice norma metodo built-in?

Answer 16

np.linalg.norm(A, 1)

Question 16

come ricordare differenza tra numpy e sympy?

Answer 16

numpy riguarda operazioni NON simboliche, ma operazioni su array e matrici

Question 17

cos’è norma uno e come si calcola non usando funzioni built-in?

Answer 17

norma 1 = MAX SOMMA DI OGNI COLONNA, CONSIDERANDO ABS DI OGNI ELEMENTO

c = np.sum(np.abs(B),axis=0) #equivale a sommare gli elementi di tutte le colonna
norma1 = np.max(c)

Question 18

norma 2 cos’è e codice?

Answer 18

norma 2 è valore singolare massimo di matrice M = A * A.T

è necessario fare radice del massimo degli autovalori

def norma2EIGVALS(A):
M = A @ A.T
autovalori = np.linalg.eigvals(M)
norma2 = np.sqrt(np.max(autovalori))
return norma2

Question 19

condizionamento in norma 1? non built-in

Answer 19

cond = norma(A) * norma(np.linalg.inv(A))

Question 20

norma infinito cos’è e codice?

Answer 20

come norma 1 ma la somma riguarda le righe

c = np.sum(np.abs(B),axis=1) #equivale a sommare gli elementi di tutte le righe
normainf = np.max(c)

Question 21

inversa di matrice

Answer 21

np.linalg.inv(A)

Question 22

condizionamento in norma 2? non built-in

Answer 22

cond = norma2(A) / np.sqrt(np.min(autovalori))

Question 23

matrice di vandermone codice?

Answer 23

mat = np.vander(array, increasing = True)

Question 24

lu solve quando applicabile?

Answer 24

per matrici n = m, piccole dimensioni, dense (come Gauss)
fa fattorizzazione, poi viene applicato solve_triangular due volte

Question 25

condizione applicabilità lusolve? + codice

Answer 25

condizione: Il determinante di tutte le sottomatrici deve essere != 0 a.k.a. il rango di tutte le sottomatrici deve essere pieno

n, _ = A.shape
applicabile = True
for i in range(1, n):
sub_matrix = A[:i, :i]
if np.linalg.matrix_rank(sub_matrix) != i:
print(“NON APPLICABILE”)
applicabile = False
break

if applicabile:
print(“APPLICABILE”)

Question 26

codice applicare lusolve?

Answer 26

applicare lu che ritorna PT, L, U, poi risolvere con due solve_triangular

Step 1: Fattorizzazione LU con permutazione
PT, L, U = lu(A)
P = PT.T.copy()

Step 2: CALCOLARE Pb
Pb = P @ b

Step 3: Risolvere L * y = P * b per y (sistema triangolare inferiore)
y = solve_triangular(L, Pb, lower=True)

Step 4: Risolvere U * x = y per x (sistema triangolare superiore)
x = solve_triangular(U, y)

Question 27

norma 1, 2 e infinito built-in?

Answer 27

np.linalg.norm(A, 1)
np.linalg.norm(A, 2)
np.linalg.norm(A, np.inf)

Question 28

calcolare perturbazione nei dati vettore b di Ax = b? codice

Answer 28

si usa divisione come tutti gli errori relativi, ed anche norma infinito

dopo la perturbazione di b in bper:
errore_dati = np.linalg.norm(bper - b, np.inf) / np.linalg.norm(b, np.inf)

Question 29

risoluzione con metodo build-in di sistema n == m

Answer 29

x = sym.solve(expr) per sistemi simbolici
x = numpy.linalg.solve(A) per sistemi numerici

Question 30

risoluzione con metodo build-in di sistema n > m sovradeterminati

Answer 30

x = sym.linsolve(expr) per sistemi simbolici
c, residuals, rank, s = numpy.linalg.lstsq(A, b) per sistemi numerici

Question 31

applicare cholesky? + codice

Answer 31

CHOLESKY

cholesky fa solo la fattorizzazione, serve poi applicare Lsolve, Usolve

cholesky restituisce solo L

L = cholesky(A, lower=True)
print(“Matrice triangolare inferiore L:\n”, L)

LSOLVE
z, flag = Lsolve(L, b)
if flag == 0:
print(“\nSoluzione intermedia z (dalla risoluzione di Lz = b):\n”, z)

# USOLVE
x, flag = Usolve(L.T, z)
if flag == 0:
    print("\nSoluzione finale x (dalla risoluzione di L.T x = z):\n", x)

Question 32

codice solve_triangular

Answer 32

scipy.linalg.solve_triangular

Question 33

come importare metodo lu

Answer 33

scipy.linalg.lu

Question 34

come importare metodo cholesky

Answer 34

scipy.linalg.cholesky

Question 35

come importare per usare Lsolve e Usolve? cosa cambia da solve_triangular?

Answer 35

from solvetriangular import Lsolve, Usolve # Importa le funzioni definite nel file

la differenza è che restituiscono anche un flag che è =0 se va bene

solve_triangular(L, V, lower = True) == Lsolve(L, V)

solve_triangular(U, V, lower = False) == Lsolve(U, V)

Question 36

come importare metodo qr?

Answer 36

np.linalg.qr(…)

Question 37

[QR, Cholesky, Jacobi, Gauss seidel, SOR, steepest descent, conjugate descent, metodo equazioni normali, QRLS, SVDLS]

tra questi metodi quali senza scheletro non forniscono la soluzione diretta?

Answer 37

QR, cholesky

Question 37

applicare metodo qr? + codice

Answer 37

qr restituisce Q, R tale che A = Q*R
risolta con metodo built-in solve

Q, R = np.linalg.qr(A)
y = Q.T @ b
x = scipy.linalg.solve(R, y)

Question 38

codice hilbert?

Answer 38

H = scipy.linalg.hilbert(n)

Question 39

quando si applica solve_nsis()?

Answer 39

in sistemi lineari Ax = b
CONDIZIONE: n == m
per sistemi con n vettori di termini noti b

utilizza lu, Lsolve, Usolve

Question 40

codice solve_nsis?

Answer 40

def solve_nsis(A, B):
n, m = A.shape
X = np.zeros(B)

#LU
PT, L, U = lu(A)
P = PT.T.copy()

for i in range(n):
    #LSOLVE
    y, flag = Lsolve(L, P @ B[:, i])
    if flag != 0:
        print("Errore: elemento diagonale nullo in L")
        X = []
        return X

    #USOLVE
    x, flag = Usolve(U, y)
    if flag != 0:
        print("Errore: elemento diagonale nullo in U")
        X = []
        return X

    X[:, i] = x.reshape(n,)

return X

Question 41

steps per fare condizionamento di funzione simbolica f?

Answer 41

1) definire funzione simbolica

2) calcolare la derivata simbolica

3) sostituire valori fissi se necessario

4) convertire funzione e derivata in numeriche

5) calcolare indice condizionamento: | c * df_numerica(c) / f_numerica(c) |

Question 42

nell’applicare scheletri, valori di itmax, tol, x0?

Answer 42

itmax = 10000
tol = ie-8
x0 = np.zeros_like(b)

Question 43

creare mediante interpolazione un polinomio di grado n? cosa serve avere e creare?

Answer 43

Metodo per calcolare il polinomio interpolante in forma di Lagrange.

• x VETTORE dei nodi di interpolazione,
• y1 VETTORE dei valori della funzione nei nodi di interpolazione, y1 = y1[x]
• xx VETTORE dei punti in cui si vuole valutare il polinomio interpolante. PIU’ FITTI. DA CREARE(es con np.linspace())
• yy1 VETTORE DA CALCOLARE CON interpL

yy = interpL(x, y, xx)

Question 44

come costruire polinomio di regressione lineare di grado n? + codice vander

Answer 44

usare matrice di vandermone
con vander si crea una matrice A che poi è risolvibile come un qualsiasi sistema lineare.

n2 = n + 1
A = np.vander(x, increasing = True)[:, :n2]