Matte Tenta Del B Flashcards
Vad är f(x)
En “regel” som anger hur y ska beräknas
Är y = +- sqrt(x) en funktion?
Nej, en funktion kan bara anta ETT värde. +- är TVÅ.
Definitionsmängd
De värden som x för vara. Sqrt(x-1) ger att x är större ELLER lika med 1. Annars blir det imaginärt tal.
Värdemängd
Alla värden som y kan bli. Om y= f(x) = sqrt(x-1) är värdemängden Vf = y större eller = 0 vilket är samma sak som [0, oändligheten)
f(x)^-1
Inversen av funktionen
Hur beräknar man inversen av t.ex f(x)=x+1
Sätt f(x)=y så y = x + 1 bryt ut x så x = y - 1
Utläs f(x) o g(x)
f av g
Utläs g(x) o f(x)
g av f
f(x) = x + 10 g(x) = 1/x
Vad blir f o g
f o g = 1/x + 10 –> (1 + 10x)/x
Då x inte 0
Då
f(x) = x + 10 g(x) = 1/x
f(x) = x + 10 g(x) = 1/x
Vad blir g o f
g o f = 1/(x+10) x inte -10
Då
f(x) = x + 10 g(x) = 1/x
Ange definitionsmängden för f(x)=sqrt(x-2)
x är större eller lika med 2, annars blir talet imaginärt.
A ⊂ B
A är en delmängd i B, men A ≠ B.
“A är en del av B”
A ∩ B
För alla X som är delmängd i både A och B
A ∪ B
Alla x i A men även alla x i B
A \ B
Alla x i A som inte finns i B
A^C
Alla X som INTE tillhör A
Df för f(x)=e^x
R
Vf för f(x)=e^x
(0, oändligheten)
Inversen till f(x)=e^x
ln(x) “Naturliga logaritmfunktionen”
e^(ln(x)) =
x
ln(e^x) =
x
ln(1) =
0
e^0 =
1
ln(x) är alltid…
Positiv
När är f(x)=ln(2 - x ) definerad?
Definerad då 2 - x > 0 –> 2 > x
Alltså (oändligheten, 2)
e^x * e^y =
e^(x+y)
e^x / e^y =
e^(x-y)
(e^x)^y =
e^(x * y)
ln(x * y) =
ln(x) + ln(y)
ln(x) + ln(y) =
ln(x * y)
ln(x / y) =
ln(x) - ln(y)
ln(x) - ln(y) =
ln(x / y)
ln(x^p) =
p * ln(x)
p * ln(x) =
ln(x^p)
alog(x) =
ln(x) / ln(a)
ln(x) / ln(a) =
alog(x)
lg(x) =
10log(x)
sin(v) =
v<90 grader
a/c
cos(v)=
v<90 grader
b/c
tan(v) =
0 < v < 180
a/b
cot(v) =
v < 180
b/a
tan(v) =
v>90 grader
sin(v) / cos(v)
cos(-v) =
cos(v)
cos(v)=
cos(-v)
sin(-v)=
-sin(v)
-sin(v)=
sin(-v)
sin(180°-v)=
sin(v)
cos(180°-v)=
-cos(v)
cos(180°+v)=
-cos(v)
sin(180°+v)=
-sin(v)
tan(-v) =
-tan(v)
cos^2+sin^2 =
1 (Trig, ettan)
Areasatsen
T = (a * b * sin(C)) / 2
Sinussatsen
sin(A) / a = sin(B) / b
Cosinussatsen
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)
2π
360°
π
180°
π/2
90°
3π/2
270°
π/3
60°
π/4
45°
π/6
30°
tan(u + v) =
tan(u) + tan(v) /
1 - tan(v)*tan(u)
tan(u - v) =
tan(u) - tan(v) /
1 + tan(v)*tan(u)
cos(v/2) =
+- sqrt(1 + cos(v) / 2)
sin(v/2) =
+- sqrt(1 - cos(v) / 2)
tan(v/2) =
+- sqrt(1 - cos(v) / 1 + cos(v))
arcsin definitionsmängd
[-1,1]
arccos definitionsmängd
[-1,1]
arctan definitionsmängd
[-1,1]
Allmänna lösningen för sin(v)=k
v = arcsin(k) + 2πn v = π - arcsin(k) +2πn
Allmänna lösningen för cos(v)=k
v = +- arccos(k) +2πn
a * cos(v) + b * sin(v) =
sqrt(a^2 + b^2) * sin(v + arctan(a/b) +πn)
Där n = 0 om b > 0, n = 1 om b < 0
=
c * sin(v + y)
Definition av komplexa tal
Ett komplext tal z är ett tal av typen z = x + yi där x och y är reella tal och i sådant att i^2 = -1
Definition av komplexa tal
Ett komplext tal z är ett tal av typen z = x + yi där x och y är reella tal och i sådant att i^2 = -1
Två komplexa tal är lika då…
Realdelarna OCH imaginärdelarna är lika
z1 + z2 =
x1 +iy1 + (x2 + iy2)
z1 - z2 =
x1 +iy1 - (x2 + iy2)
z1 * z2 =
(x1 + iy1) * (x2 + iy2)
z1 / z2 =
Förläng med nämnaren konjugat!
i^2 =
-1
arccos(-x)=
π-arccos(x)
cos(x) omvandlat till sin
cos(x) = sin(pi/2 - x)
cot som tan
cot(x) = π/2 - tan(x)
Dividera bort sin,cos, tan osv är…
INTE bra - omvandla istället!
sin(u) = sin(v) då
u = {
v + 2πn
eller
π - v + 2πn
}
cos (u) = cos(v) då
u = {
v + 2πn
eller
-v + 2πn
}tan(u) = tan(v) då
u = v + πn (förutsatt att tan definerad)
Bokstaven för mängden “imaginära tal”
ℂ
Komplexa andragradsekvationer bör man använda sig av…
Kvadratkomplettering, INTE PQ.
|Z| =
sqrt(x^2 +y^2)
|z1 * z2| =
|z1| * |z2|
|z1 / z2| =
|z1| / |z2|
|z1 / z2| =
|z1| / |z2|
Polära koordinater består av
vinkel v och r
r =
|Z| = sqrt(x^2 +y^2)
polära koordinater, vinkel v =
arctan(y/x) då x>0
π + arctan(y/x) då x<0
Koordinat y då r och v givet
y = r * sin(v)
e^(iv) =
cos(v) + isin(v)
cos(v) + isin(v) =
e^(iv)
z på polär form =
r*e(iv)
1/e^(iv) =
e^-(iv)
e^(iu) * e^(iv) =
e^(u+v)
e^(iu) / e^(iv) =
e^i(u-v)
Moivres formel
(cos(v) + isin(v))^n = cos(nv) + isin(nv)
(cos(v) + isin(v))^n =
cos(nv) + isin(nv)
(cos(v) + isin(v))^n =
cos(nv) + isin(nv)
Eulers formel
- cos(v) = e^(iv) + e^-(iv) / 2
2. sin(v) = e^(iv) - e^-(iv) / 2
z^n = w löses genom…
r^ne^ivn = ye^i(vinkeln + 2πk)
Formella definitionen av gränsvärden
lim f(x) = G x-->a
∀ε>0, ∃δ>0 0 | f(x) - G|
lim (f(x) + g(x)) =
x–>a
A + B
lim (f(x) - g(x)) =
x–>a
A - B
lim (f(x) * g(x)) =
x–>a
A * B
lim (f(x) / g(x)) =
x–>a
A / B
lim (x) = 0/0 =
x–>a
obestämt uttryck, skriv om uttrycket
lim sin(v) / v = x-->a
1
Högergränsvärdet
lim
x–>a+
Vänstergränsvärdet
lim
x–>a-
lim = lim ===>
x–>a+ x–>a-
Gränsvärdet existerar
lim ≠ lim ===>
x–>a+ x–>a-
Gränsvärdet existerar EJ
sqrt(x^2) =
|x| = {
x om ≥ 0
-x om ≤ 0
}
