Matte

Question 1

Enpunktsformeln för att lösa k:

I en linjär funktion

Answer 1

y-y1 = k(x-x1)

Question 2

Exponentialfunktion

Answer 2

En funktion som växer med en fast procentsats:

a^x eller för naturlig e^x

Question 3

Potensfunktion

Answer 3

Exponenten istället konstant och basen varierar:

x^a

Question 4

Logaritm, definition:

Answer 4

Exponentialuttryckets motsats så vi frågar oss istället vilken exponent vi ska ha för att uttrycket ska få ett visst värde. Det är exponenten som är logaritmen.

Question 5

Framtida värde av kapital som förräntas 1.årligen, 2.kontinuerligt
3. halvårsvis

Answer 5

1. K0(1+r)^t
2. K0e^rt
3. K0(1+(r/2))^2t

Question 6

Nuvärde av kapitalinvestering,

1. årlig
2. kontinuerlig

Answer 6

1. K/(1+r)^t (samma som K(1+r)^-t.

2. Ke^-rt

Question 7

Summan av en oändlig geometrisk serie:

Answer 7

a/(1-k), om absolutvärdet av k<1. Måste vara mindre än ett annars kan vi inte summera för isf är ju tillväxthastigheten större och större.

Question 8

Derivering: den stora potensregeln:

Answer 8

Inre och yttre derivata. Börja med att derivera yttre med potensen och låt parentesen stå oförändrad, sedan multiplicerar du med derivatan av det inre i parentesen.

Question 9

“Derivator av högre ordning”

Answer 9

Betyder att vid deriverar fler än en gång. y’ är ju första derivatan, y’’ är ju andra derivatan och därefter skriver men y^3,4,5 osv.
Alltså n-te derivatan till f.

Question 10

Derivering av en logaritmfunktion som ser ut såhär:

y = ln (h(x))

Answer 10

y’= h’(x) /h(x)

Question 11

Vad skiljer ett intervall som är strängt avtagande/växande från ett som “bara” är avtagande/vaxande?

Answer 11

Skillnaden är att när vi benämner det som strängt så får funktionsvärdena för olika x aldrig vara samma, dvs vi får inte ha några horisontella intervall på området.

Dvs vid strängt är det enbart < och > men inte =.

Med andra ord derivatan får aldrig vara 0 på ett intervall som vi benämner “strängt”.

Question 12

Optimering

Answer 12

=letar efter en funktions max- eller minpunkter.

Question 13

Stationär punkt

Answer 13

En punkt där funktionen är horisontell, dvs där derivatan =0. Dessa kan sedan klassificeras som max/min.

Question 14

3 sätt att ta fram om det är max/min:

Answer 14

1. Är funktionen konkav eller konvex? Är den ex konkav så kan det ju bara vara maxpunkt.
2. Ta fram andraderivatan för detta x –> om det är <0 så är det en lokal maxpunkt, vid >0 så har vi minpunkt och vid =0 har vi inget avgörande.
3. Teckenstudie.

Question 15

Globala extrempunkter

Answer 15

Sådana som är det största och minsta värde. Dvs vi kanske har 3 lokala maximipunkter men en av dem är ju störst. Tittar också på ändpunkterna inom intervallet.

Question 16

Konvex och konkav:

Answer 16

Om funktionen minskar sin hastighet för varje x så har vi konkav, om hastigheten ökar för varje x är den konvex.

• Om f’‘(x) >0 –> konvex.
• Om f’‘(x) <0 –> konkav.

Question 17

Inflexionspunkt:

Answer 17

En punkt i grafen/funktionen där den övergår från konkav till konvex eller tvärtom. Dvs f’‘(x) ska på ena sidan vara >0 och på andra <0, eller tvärtom.

Question 18

Funktioner av två variabler

Answer 18

Tillordnar ett bestämt tal f(x,y) till varje punkt (x,y) till skillnad från funktion med en variabel som tillordnar ett y för varje x.

Question 19

Partiella derivator:

Answer 19

När vi deriverar med avseende på den ena variabeln, ex y medan vi håller den andra, x, konstant. Detta skrivs med delta istället för d.

Question 20

Partiella derivator av andra ordningen:

Answer 20

Betyder att vi deriverar de partiella derivatorna en gång till –> vi kan då få ut 4 olika varav 2 är korsderivator som är lika.

Question 21

Var hittar vi max/min i en funktion med två variabler?

Answer 21

Vi får sätta de partiella derivatorna =0 för att få fram de stationära punkterna och därefter klassificera dem.

Question 22

Sadelpunkt

Answer 22

En stationär punkt (R) med egenskapen att det finns punkter x nära R där funktionsvärdet är båda högre och lägre.

Question 23

Hur fungerar andra ordningens villkor för två variabler?

Answer 23

Den säger att vi ska ta fram ett A, B och C som ör olika andraderivator och utifrån det klassificera den stationära punkt vi funnit.

Question 24

Tillräckliga villkor för globala extrempunkter

Answer 24

Fungerar på samma sätt som andra ordningens villkor för lokala - så om ex en lokal uppfyller överallt i S, inte bar i x0y0 så är det även en global max/min.

Question 25

Totalt derivata, när används det och hur används det?

Answer 25

Det används när vi har en funktion av två variabler (eller fler) som i sin tur är funktioner av more basic variables. Då vill vi veta hur f(x,y) kanske förändras med tiden t istället.

Vi använder kedjeregel för dz/dt. =F´x(x,y)dx/dt + Fý(x,y)dy/dt.

Question 26

Men om x och y i sin tur är funktioner av TVÅ variabler, säg t och s?

Answer 26

Då får vi ta fram två ekvationer från kedjeregeln, först de partiella derivatorna m.a.p t och sen en omgång med s.

Question 27

Implicit differentiation

Answer 27

När vi har funktioner som är uttrycka implicit kan vi ändå derivera dessa och och vi får du ett negativt uttryck där vi dividerar de partiella derivatorna med varandra.
= - F´x(x,y) / Fý(x,y)

Question 28

Differentialen av en funktion

Answer 28

Det är ett mått på hur funktionsvärdet ändrar sig när x eller både x och y ändrar sig mycket lite. Dels den approximativa som följer tangentens räta linje eller den exakta som följer funktionen i sig.

Question 29

Max/min with constraints

Answer 29

När vi ska söka max/min men samtidigt satisfiera inom en viss begränsing så får vi använda Lagranges funktion.
Där tar vi derivatan m.a.p x i båda funktionerna dividerat med derivatan m.a.p y i båda funktionerna och sätter lika med varandra. Därifrån löser vi x som maximerar/minimerar.

Question 30

Lagrange Technique

Answer 30

En teknik där vi först skapar en ny Lagrange-funktion och sätter in en ny variabel, lambda.

1. Sätt upp L-funktionen
2. Ställ upp FOC 1, 2, 3
3. Rearrange and combine 1 och 2 to get the same Lagrange-ratios as before.
4. Solve for x and put it into the constraint function to solve the rest.

Question 31

Lambda, interpretation?

Answer 31

It is the change in the value of the function f(x,y) when C (the constraint constant) changes. It is a multiplier. DeltaC*lambda will give us the change in f(x,y).