matte 1 Flashcards
Lineæravbildning
f(ax+by)=af(x)+bf(y)
m x n matrise
m er rader n er kolonner
matriseproduktet AB går hvis:
matrise A har n kolonner og B har n rader
diagonilserbar matrise
Hvis A har like mange lineært uavhengige egenvektorer som kolonner finnes en diagonal matrise D slik at A=PDP^-1 der P har egenvektorene som kolonner og D har egenverdiene som elementer.
Hva er en funksjon?
En funksjon f:A->B spesifiserer ett element i B til hvet element i A.
En funksjon sitt bilde er..
alle f(A)/alle funksjonsverdiene til funksjonen. En delmengde av kodomenet.
Domene
alle punkte som kan gis til funksjonen
Kodomene
mengden av alle tall funksjonen kan gi
En funksjon er injektiv hvis..
f(a)=f(b) impliserer at a=b
En funksjon har en invers hvis…
funksjonen er injektiv
Algebraens fundamentalteorem
Alle polynomer av nte orden kan faktoriseres til n lineære faktorer
Kontinuitet
en funksjon er kontinuerlig hivs lim(x->n) f(x) = f(n)
Analysens fundamentalteorem på tre forskjellige måter:
integral(a,b)f(x)dx = F(b)-F(a)
d/dx integral(,x)f(t)dt = f(x)
f(x)=f(a)+integral(a,x)f’(s)ds
omdreining om x
V = pi*integral(a,b)f(x)^2dx
omdreining om y
V = 2piintegal(a,b)f(x)x dx
buelengde
L =integral(a,b)sqrt(1+f’(x)^2)dx
sirkelformel
y = sqrt(r^2-x^2)
Cos(a+b)
cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a+b)
sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
sin(-a)
-sin(a)
cos(-a)
cos(a)
cos(2a)
cos^2(a)-sin^2(a)
1+cos(2a)
2cos^2(a)
1-cos(2a)
2sin^2(a)
eulers formel
e^(ix)=cos(x)+isin(x)
e^(-ix)
cos(x)-isinx
cos(x) og sin x med euler
cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2 og sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/2i
Taylors teorem
Hvis en funksjon f er n+1 ganger deriverbar på et intervall som inneholder a og x finnes en s mellom a og x slik at
f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’‘(a)/2 * (x-a)^2 +… + f^n(a)/n! (x-a)^n +f^(n+1)(s)/(n+1)! * (x-a)^(n+1)
taylors med feilledd
f(x) = p(x)+e(x,s)
feilen på integralform
1/n! * integral(a,x)(x-s)^n f^(n+1)(s) ds
en følge er
en funksjon med de naturlige tallene som domene
en følge konvergerer hvis
for en hver epsilon>0 finnes en N>0 slik at n>N impliserer at |a(n)-L|<epsilon.
p testen for konvergens
en rekke med partialsummene gitt ved 1/n^p konvergerer hvis p>1
Alternerende rekke testen
summen av (-1)^n*f(n) konvergerer hvis f(n) er monotont synkende og positiv og konvergerer mot 0. Eller
|a(n)|>|f(n+1)|>0
forholdstesten
P = lim(n->uendelig) |a(n+1)|/|a(n)|
P>1 divergens
P=1 ingen info
P<1 absolutt konvergens
GS testen
finn en lignende rekke med ledd g(n)
P=lim(n->uendelig) f(n)/g(n)
hvis P>0 og summen av g(n) divergerer, divergerer summen av f(n)
hvis P<uendelig og summen av g(n) konvergeer, konvergerer f(n)
maclaurinserien til e^x
x^n/n!
maclaurin til sinx
(-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)!
maclaurin til cosx
(-1)^n * x^(2n) / (2n)!
geometrisk rekke
summen av ax^n = a/(1-x) hvis |x|<1
maclaurin til ln(1+x)
(-1)^n * x^(n+1)/(n+1)
maclaurin til 1/(1+x)
(-1)^n * x^n
differensiallikningen x’(t)+ax(t)=0, x(0) = x_0 har entydig løsning..
x(t)=x_0e^-at
x’(t)+ax(t)=f(t), x_0 = x(0) har løsningen…
x(t) = x_0e^-at + e^-at * integral(0,t) f(s)*e^at ds
En homogen andreordens diff ligning x’‘(t)+ax’(t)+bx(t)=0 har løsningene…
m og n er røttene til det karakteristiske polynoment.
La d = -a/2 og w = |sqrt(a^2-4b)/2|
hvis to reelle røtter:
m, n = d +- w => x(t) = c1 e^mt + c2 e^nt
hvis en rot:
m = d => x(t)= c1e^mt +c2te^mt
hvis imaginære røtter:
m, n = d+-wi
x(t) = c1e^mt+c2e^nt
= e^dt(p1cos(wt)+p2sin(wt)), p1 = c1+c2 og d2 = i(c1-c2)
En ikke homogen andreordens diff ligning x’‘(t)+ax’(t)+bx(t)=f(t) der f(t)=e^(iwt) har løsning..
x(t)=x_h(t)+x_p(t)
der x_p(t) = H(w)e^(iwt)
H(w) finnes med initialkravet
Fo å løse et system av diff likninger x’(t)=Ax(t) der A er en matrise har løsningene
x(t) = c1e^(m1 t)V1 + c2e^(m2 t)V2 +…+ cne^(mnt)Vn
der m1 er egenverdi til A og Vn er korresponderende egenvektor. Dette gjelder kun de lineært uavhengige egenvektorene.
Newtons metode
x(n+1) = x(n)-f(x(n))/f’(x(n)). Denne løser for f(x)=0
fikspunktiterasjonen
x(n+1) = g(x(n)) for x=g(x)
Trapesmetoden
ta interrvallet [a,b] med n+1 punkter.
xk = a+k(b-a)/n
integral(a,b)f(x)dx tilnærmet lik h/2 (f(a)+sum(k=1,n-1)2f(xk) + f(b))
eulerrs metoder
eksplisitt:
x(n+1) = x(n)+hf(x(n))
implisitt:
x(n+1) = x(n)+h*f(x(n+1))
trapesmetoden for diff ligninger
x(n+1) = x(n) +h/2(f(x(n)+f(x(n+1))
heuns metode
x(n+1) = x(n)+ h/2 * (f(x(n) + f(x(n)+hf(x(n))) )
newtons avkjølingslov
T’(t)=a(Tk-T(t)) der Tk er temperaturen til omgivelsene
fjærkraften
F=-kx
Egenverdier
Ax=cx der x err en vektor og A er en matise. c er egenverdien.
dette impliserer at (A-cI)x=0 der I er identitetsmatrisen
andre ordens diff ligning som system av diff ligninger
la z1=x(t) og z2 = x’(t). da vil z1’=x’(t) og z2’(t)=x’‘(t). vi kan da se at Az=z’ hvor a er en matrise ((0,1)(-b, -a))
simpsons metode
integralet fra a til b kan estimeres med andreordens polynomer. formelen:
(b-a)/6 * (f(a)+4f((b+a)/2))+f(b))
denne utledes ved å dele opp et intervall i 3 punkter. Endepunktet, midtpunktet og startpunktet, og så finne et lagrange polynom som passer og så integrere dette.
bakterievekst kan modelleres..
x’(t)=ax(t)
lotka volterra systemet
x1’(t)=ax1-bx1x2
x2’(t)=-cx2+dx1x2
løsningen må ligge på C = dx1+bx2-cln|x1|-aln|x2|
pendelligningen
v’‘+g/l * sinv = 0
m/2*(lv’)^2-mglcos(v)=C
hvis du lar p=v og q = v’
p’=q
q’=-g/l sin(p)
hvordan kan man gå fram for å finne numeiske differensialligningsløsere?
hvis x’(t) = f(x(t)) på et intervall [0,T] kan vi delle intervallet inn i en partisjon med n punkter og få¨tk = kh der h=T/n. Integrerer man fra ett gitterpunkt til neste:
x(t(k+1))-x(tk)=integral(tk, t(k+1)) f(x(t))dt
integralet kan tenkes på som ett rektangel i en riemann sum. La xk være tilnærmet lik x(tk) og du får en metode for hver riemannsum
