Maths-général

Question 1

Théorème des valeurs intermédiaires

Answer 1

Si f est continue sur [a;b] alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel x0 compris entre a et b tel que f(x0)=k.

Question 2

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Answer 2

Si f est définie, continue et strictement monotone sur [a;b] alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un, et un seul réel x0 compris entre a et b tel que f(x0)=k

Question 3

Inégalité de convexité de l’exponentielle

Answer 3

exp(x)>=x+1

Question 4

Inégalité de convexité du logarithme népérien

Answer 4

ln(x)<=x-1

Question 5

Fonction logarithme décimal

Answer 5

log(x)=ln(x)/ln(10)

Question 6

Valeur moyenne de f sur [a;b]

Answer 6

m=1/(b-a) * Intégrale de a à b f(x)dx

Question 7

Intégration par parties

Answer 7

intégrale de a à b u’(t)v(t)dt= [u(t)v(t)] de a à b - intégrale de a à b u(t)v’(t)dt

Question 8

Espérance d’une variable aléatoire

Answer 8

E(X)=x1p1+x2p2+….+xrpr
x l’issue, p sa proba, r le nb d’issues
–> Valeur moyenne

Question 9

Variance d’une variable aléatoire

Answer 9

V(X)=p1(x1-E(X))²+p2(x2-E(X)²+…

Question 10

Espérance et variance d’une loi binomiale

Answer 10

E(X)=np

V(X)=np(1-p)

Question 11

Nombre de permutations possibles

Answer 11

n!

Question 12

Nombre de combinaisons possibles

Answer 12

k parmis n

Question 13

Produit scalaire et normes

Answer 13

[u].[v]=(1/2)(||[u]+[v]||²-||[u]||²-||[v]||²)
[u].[v]=(1/2)(||[u]||²+||[v]||²-||[u]-[v]||²)
[u].[v]=(1/4)(||[u]+[v]||²-||[u]-[v]||²)

Question 14

Formules d’Al-Kashi

Answer 14

a²=b²+c²-2bccosÂ

Question 15

Transformation de l’expression [MA].[MB]

Answer 15

=MI²-(1/4)AB²

Question 16

Equation de cercle

Answer 16

(x-xO)²+(y-yO)²=r²

Question 17

Théorème du point fixe

Answer 17

Si u(n) définie sur un intervalle I converge, et peut etre modélisée par une fonction f continue sur I, alors sa limite l est solution de:
l=f(l)

Question 18

Binôme de Newton

Answer 18

(a+b)^n= somme de k allant de 0 à n de tous les (k parmis n) a^(n-k)b^k

Question 19

Formules d’Euler

Answer 19

cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2

sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i

Question 20

Formule de Moivre

Answer 20

cos(nθ)+isin(nθ)=(cosθ+isinθ)^n

Question 21

Racines n-ième de l’unité

Answer 21

Solutions de z^n=1

ce sont les wk=e^[i(2kpi)/n] avec k variant de 0 à n-1

Question 22

Petit théorème de Fermat

Answer 22

Soit p un nombre premier et soit a un entier naturel non divisible par p.
a^(p-1) est congru à 1 modulo p
Donc a^(p-1)-1 est divisible par p.

Question 23

Corollaire du petit théorème de Fermat

Answer 23

Soit p un nombre premier
a^p est congru à a modulo p
Donc a^p -a est divisible par p.

Question 24

Identité de Bézout

Answer 24

Soit PGCD(a,b)=d
Il existe alors un couple (u,v) d'entiers relatifs tel que au+bv=d

Question 25

Corollaire de l’identité de Bézout

Answer 25

Soit a, b et c trois entiers tels que a et b soient non nuls.
ax+by=c admet des solutions ssi c est un multiple de PGCD(a,b).

Question 26

Théorème de Bézout

Answer 26

a et b sont premiers entre eux ssi il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv=1

Question 27

Théorème de Gauss

Answer 27

Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

Question 28

Corollaire du théorème de Gauss

Answer 28

Si b et c divisent a et si b et c sont premiers entre eux, alors bc divise a.