Maths-général Flashcards
Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur [a;b] alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel x0 compris entre a et b tel que f(x0)=k.
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
Si f est définie, continue et strictement monotone sur [a;b] alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un, et un seul réel x0 compris entre a et b tel que f(x0)=k
Inégalité de convexité de l’exponentielle
exp(x)>=x+1
Inégalité de convexité du logarithme népérien
ln(x)<=x-1
Fonction logarithme décimal
log(x)=ln(x)/ln(10)
Valeur moyenne de f sur [a;b]
m=1/(b-a) * Intégrale de a à b f(x)dx
Intégration par parties
intégrale de a à b u’(t)v(t)dt= [u(t)v(t)] de a à b - intégrale de a à b u(t)v’(t)dt
Espérance d’une variable aléatoire
E(X)=x1p1+x2p2+….+xrpr
x l’issue, p sa proba, r le nb d’issues
–> Valeur moyenne
Variance d’une variable aléatoire
V(X)=p1(x1-E(X))²+p2(x2-E(X)²+…
Espérance et variance d’une loi binomiale
E(X)=np
V(X)=np(1-p)
Nombre de permutations possibles
n!
Nombre de combinaisons possibles
k parmis n
Produit scalaire et normes
[u].[v]=(1/2)(||[u]+[v]||²-||[u]||²-||[v]||²)
[u].[v]=(1/2)(||[u]||²+||[v]||²-||[u]-[v]||²)
[u].[v]=(1/4)(||[u]+[v]||²-||[u]-[v]||²)
Formules d’Al-Kashi
a²=b²+c²-2bccosÂ
Transformation de l’expression [MA].[MB]
=MI²-(1/4)AB²
Equation de cercle
(x-xO)²+(y-yO)²=r²
Théorème du point fixe
Si u(n) définie sur un intervalle I converge, et peut etre modélisée par une fonction f continue sur I, alors sa limite l est solution de: l=f(l)
Binôme de Newton
(a+b)^n= somme de k allant de 0 à n de tous les (k parmis n) a^(n-k)b^k
Formules d’Euler
cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2
sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i
Formule de Moivre
cos(nθ)+isin(nθ)=(cosθ+isinθ)^n
Racines n-ième de l’unité
Solutions de z^n=1
ce sont les wk=e^[i(2kpi)/n] avec k variant de 0 à n-1
Petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier et soit a un entier naturel non divisible par p.
a^(p-1) est congru à 1 modulo p
Donc a^(p-1)-1 est divisible par p.
Corollaire du petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier
a^p est congru à a modulo p
Donc a^p -a est divisible par p.
Identité de Bézout
Soit PGCD(a,b)=d Il existe alors un couple (u,v) d'entiers relatifs tel que au+bv=d
Corollaire de l’identité de Bézout
Soit a, b et c trois entiers tels que a et b soient non nuls.
ax+by=c admet des solutions ssi c est un multiple de PGCD(a,b).
Théorème de Bézout
a et b sont premiers entre eux ssi il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv=1
Théorème de Gauss
Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.
Corollaire du théorème de Gauss
Si b et c divisent a et si b et c sont premiers entre eux, alors bc divise a.
