Math Scalaire

Question 1

Définition projeté orthogonal

Answer 1

Soit d une droite est M un point n’appartenant pas à d on appelle projeté orthogonal du point M sur la droite D l’unique H de la droite d tel que (HM) soit perpendiculaire à d

Question 2

1ère définition du produit scalaire

Answer 2

Soit AB et AC deux vecteurs non-nuls du plan et H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB). On appelle produit scalaire le nombre réel noté AB•AC définit par: vAB•vAC=vAC•vAH
Si H€[AB) =ABxAH
Si H£[AB) =-ABxAH

Question 3

Mesure de la diagonale d’un carré et de la hauteur d’un triangle isocèle

Answer 3

aV2 et (aV3)/2

Question 4

Définition de norme

Answer 4

Soit ū un vecteur du plan et A,B deux points du plan tel que ū=AB (v)
Une unité étant choisi on appelle norme de ū et on note ||ū||=||AB||=AB

Question 5

Dans un repère (O,ī,j) orthonormé,si ū(x;y) alors ||ū||= ?

Answer 5

||ū||=V(xb-xa) ²+(yb-y’a)^2= Vx ² + y ²

Question 6

Définition n*2 du produit scalaire

Answer 6

Soit ū et v deux vecteurs du plan non nuls et À,B,C trois points distincts du plan tels que vAB=ū et vAC=v alors ū•v= ||ū||x||v||x cos(ū;v)
=AB x AC x cos(AB;AV)
=AB x AC x cos(BAC)

Question 7

ū•ū= ?

Answer 7

Le carré scalaire de ū et x noté ū²

Question 8

Vecteurs orthogonaux

Answer 8

Soit ū et v deux vecteurs non nuls du plan on dit que ū et v sont orthogonaux si et seulement si ū•v=0[π]

Question 9

Démonstration de ū•v=0

Answer 9

ū•v=0 
<=> ||ū|x||v||x cos(ū;v)=O
<=> ||ū||=0 ou ||v||=0 ou cos(ū;v)=0
<=> cos(ū;v)=0 car ū et v non nuls 
<=> (ū;v)=π/2 [2π] ou (ū;v)=-π/2 [2π] 
<=> (ū;v)= π/2 [2π] 
<=>ū et v orthogonaux

Question 10

Soit ū v et w trois vecteurs du plan et K un réel

Answer 10

ū•v = v•ū (symétrie du produit scalaire)
(Kū)•v = ū•(Kv) = kū•v
ū•(v+w)=ū•v+ū•w (bilinéarité du produit scalaire)

Question 11

Identité remarquable du produit scalaire

Answer 11

a) (u+v)²=u²+2u.v+v²
b) (u-v)²=u²-2u.v+v²
c) (u+v)²+(u-v)²=2(u²+v²)
d) (u+v).(u-v)=u²-v²

Question 12

Troisième définition du produit scalaire

Answer 12

Soit ū et v deux vecteurs du plan.
ū•v= 1/2(||ū+v||²-||ū||²-
||v||²)
ū•v=1/2(||ū||²+||v||²-||ū+v||²)

Question 13

Démonstration de la troisième définition du produit scalaire

Answer 13

(ū+v)² = ū² + 2ū•v + v² 
||ū+v||² = ||ū||²+2ū•v+
||v||²
2ū•v=||ū+v||²-||ū||²-
||v||²
ū•v= 1/2(||ū+v||²-||ū||²-
||v||²) 
Même chose Avec (ū-v)²

Question 14

Identité remarquable du produit scalaire

Answer 14

a) (u+v)²=u²+2u.v+v²
b) (u-v)²=u²-2u.v+v²
c) (u+v)²+(u-v)²=2(u²+v²)
d) (u+v).(u-v)=u²-v²

Question 15

Troisième définition du produit scalaire

Answer 15

Soit ū et v deux vecteurs du plan.
ū•v= 1/2(||ū+v||²-||ū||²-
||v||²)
ū•v=1/2(||ū||²+||v||²-||ū-v||²)

Question 16

Démonstration de la troisième définition du produit scalaire

Answer 16

(ū+v)² = ū² + 2ū•v + v² 
||ū+v||² = ||ū||²+2ū•v+
||v||²
2ū•v=||ū+v||²-||ū||²-
||v||²
ū•v= 1/2(||ū+v||²-||ū||²-
||v||²) 
Même chose Avec (ū-v)²