Matematines analizes/Calculus Proofs

Question 1

Ne tokia tiksli seku ideja

Answer 1

Realiuju skaiciu seka konverguojasi prie realiojo skaiciaus L,jei ,kuo didesnis skaicius n ,tuo an yra arciau skaiciaus L
EN:
A sequence {an} of real numbers is said to converge to a real number L if the larger
the integer n, the closer an is to L. Since the words “larger” and “closer” are vague and
consequently are open to interpretation, we need to make these words considerably more
precise.

Question 2

Seku ribos

Answer 2

Ka norime pasakyti ,kad galime padaryti an tokia artima L ,kiek norime (galime padaryti |an-L| pacia maziausia )duodant ,kad skaicius n yra pakankamai didelis.
Tegul ɛ(epsilon) reiksme parodo kiek mazos reiksmes mes norime |an-L|,kad butu.
Taigi gaunasi:
|an-L|<ɛ naudojant ,kad n yra pakankamai didelis .
Tai ekvivalentu −ɛ < an − L <ɛ ir L − ɛ < an < L + ɛ
Taigi dabar reikia ,kad an butu skaicius atviram intervala
(L-ɛ,L+ɛ) kai n yra pakankamai didelis.
Dabar reikia zinoti ka reiskia pakankamai didelis.
Tai reiskia ,kad ten yra kazkoks teigiamas sveikas skaicius N ,kuris jei n yra bet koks sveikasis skaicius didesnis uz N tada an ∈(L-ɛ,L+ɛ)
Jei toks teigiamas sveikasis skaicius N yra tinkamas kiekvienam teigiamam skaiciu ɛ nepriklausomai nuo koks mazas gali buti ɛ,tada galima sakyti ,kad {an} konverguojasi i L

Question 3

Sekos apibrezimas

Answer 3

Realiųjų skaičių seka (realiųjų skaičių) yra realioji funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje.
Seka yra funkcija f:N->R.Jei f(n)=an kiekvienam n∈N,tada
f={(1,a1),(2,a2),(3,a3),…}
Kadangi tik skaiciai a1,a2,a3 yra naudingi funkcijoje f ,todel si seka dazniausiai isreiskiama tik a1,a2,a3… arba naudojant{an}.Skaiciai a1,a2,a3… yra vadinami sekos {an} nariai ,kai a1 yra pirmas narys ,a2 sekantis ir taip toliau.Todel an yra n-tasis sekos narys .
PVZ: {1/n} yra sekos 1,1/2,1/3,… kai {n/2n+1} yra sekos 1/3,2/5,3/7,…
Siuose dviejose pvz n-tasis sekos narys yra duotas ,todel is sito ,galime lengvai rasti pirmuosius narius ar net belokoki nari .