Matemática Básica

Question 1

O que diz o Teorema Fundamental da Álgebra?

Answer 1

Que um polinômio de grau n >= 1 possui n raízes (complexas ou não) não necessariamente distintas.

Question 2

A única solução para o problema x³ = 8 é x = 2 com multiplicidade 1. Verdadeiro ou falso? Justifique.

Answer 2

Falso. x³ = 8 pode ser reescrito como o polinômio x³ - 8 = 0. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, devem existir 3 raízes.

Question 3

Como resolver a equação 3 ^ (5x-1) = 20 ?

Answer 3

• Primeiro, tire o logaritmo natural dos dois lados da equação:
  ln (3 ^ (5x-1) ) = ln ( 20 )
• Aplique a propriedade dos logaritmos (log a ^ b = b * log a):
  (5 x - 1) * ln(3) = ln (20)
• Passe o ln(3) para o lado direito da equação:
  5x - 1 = ln(20) / ln(3)
• Passe o 1 para o lado direito da equação:
  5 x = ln(20) / ln (3) + 1
• Isole o x:
  x = (ln(20) / ln(3) + 1) / 5

Question 4

Qual é, respectivamente, o produto notável da:
- Diferença de quadrados
- Diferença de dois números elevada ao quadrado
- Soma de dois números elevada ao quadrado

Answer 4

• a² - b² = (a + b) (a - b)
• (a - b)² = a² -2ab + b²
• (a + b)² = a² + 2ab + b²

Question 5

O que é o logaritmo natural?

Answer 5

É o logaritmo na base e (número de Euler).

Question 6

Quais são as 4 primeiras linhas do Triângulo de Pascal?

Answer 6

• 1
• 1 1
• 1 2 1
• 1 3 3 1

Question 7

O que é o grau de um polinômio?

Answer 7

É o maior expoente associado à variável.

Question 8

O que é um polinômio completo?

Answer 8

É um polinômio que possui x elevado a todos os números entre 0 e n (por exemplo, x³ + 2x² + 3x + 2. Polinômios incompletos incluem x³ + 3x + 2, x³ + 2x² + 2 e x³ + 2x² + 3x).

Question 9

O que é o termo independente de um polinômio?

Answer 9

É a constante, ou seja, o termo que não está associado diretamente a nenhum x (ou, em outras palavras, é o termo associado a x^0).

Question 10

Qual é a forma geral de um polinômio?

Answer 10

P(x) = an x ^ n + an-1 x ^ n-1 + … + a1 x + a0

Question 11

O que significa dizer que a é raiz de um polinômio P(x)?

Answer 11

Significa dizer que P(a) = 0.

Question 12

O que diz o Teorema do Resto? Qual conclusão importante para a teoria de polinômios ele traz?

Answer 12

Que o resto da divisão de P(x) por (x-a) é P(a). A conclusão importante que podemos extrair dele é que o resto será 0 se e somente se a é uma raiz de P(x).

Question 13

O que diz o teorema das Divisões Sucessivas? Qual conclusão importante para a teoria de polinômios ele traz?

Answer 13

Se P(X) é divisível por x - a e o quociente desta divisão é divsível por x - b, P(x) é divísivel por (x-a)(x-b).

A conclusão importante é que é possível fatorar um polinômio P(X) encontrando uma raiz a, dividindo P(X) por (x-a) e repetindo o processo com um polinômio de grau menor.

Question 14

O que significa dizer que a é uma raiz com multiplicidade n de P(x)?

Answer 14

Quer dizer que (x - a) aparece n vezes na forma fatorada do polinômio.

Em outras palavras, quer dizer que “a” aparece n vezes entre as raízes de P(x).

Question 15

Qual a forma fatorada de um polinômio P(x)?

Answer 15

P(x) = a(x-r1)(x-r2)…(x-rn)
Onde “a” é um número qualquer e r1, r2,…rn são as raízes do polinomio P(x).

Question 16

Simplifique a expressão e ^ ln (x)

Answer 16

A função logaritmo retorna o número que se deve elevar a base para obter o operando. Por consequência, quando elevamos a base para esse número obtemos o próprio operando. Logo, e ^ ln(x) = x.

Question 17

Simplifique as expressões usando propriedades de logaritmos.
- ln ( 2 * 3)
- ln (2 / 3)

Answer 17

Pelas propriedades dos logaritmos, temos:
- ln( 2 * 3) = ln(2) + ln(3)
- ln(2/3) = ln(2) - ln(3)

Question 18

Como podemos usar logaritmos para transformar produtórios em somatórios? Como usar isso para encontrar o resultado desse produtório?

Answer 18

Se você tem um produtório da forma a1 * a2 * a3 * … * an = L, é possível convertê-lo em um somatório aplicando a função logarítmica aos dois lados. Com isso, temos:
- ln(a 1 * a2 * … * an) = ln (L)

Aplicando a propriedade dos logaritmos:
- ln(a1) + ln(a2) + … + ln(n) = ln(L)

Vamos chamar de L1 o resultado da soma ln(a1) + ln(a2) + … +ln(n). Com isso, temos:
- L1 = ln(L)

Podemos então elevar o número de Euler a ambos os lados:
- e^L1 = e ^ ln(L)

• Usando a propriedade e ^ ln(x) = x, podemos finalmente achar o resultado do produtório original:
  e ^ L1 = L

Question 19

O que significa dizer que a é o logaritmo de b na base c?

Answer 19

Quer dizer que b ^ c = a

Question 20

O que acontece com a função ln(x) conforme x cresce?

Answer 20

ln(x) é uma função estritamente crescente, o que quer dizer que a função ln(x) fica cada vez mais perto de infinito conforme x cresce.

Por outro lado, ln (x) é uma função que cresce de forma extremamente lenta, o que a torna uma das principais funções quando se deseja algo que cresce lentamente.

Question 21

Como resolver a equação ln (5x-1) = 20 ?

Answer 21

• Primeiro, eleve e a ambos os lados da equação:
  e ^ (ln (5x-1) ) = e ^ 20
• Aplique a propriedade dos exponenciais (e ^ ln (x) = x):
  5 x - 1 = e ^ 20
• Passe o 1 para o lado direito da equação:
  5 x = e ^ 20 - 1
• Isole o x:
  x = (e ^ 20 - 1)/ 5

Question 22

De que formas podemos incrementar ou decrementar o expoente de uma expressão da forma a ^ b? Por que isso é possível na matemática? Em que situação isso é usado em cálculo?

Answer 22

Podemos incrementar o expoente dessa expressão escrevendo ela da forma a ^ (-1) * a^(b+1). Podemos decrementar o expoente dessa expressão escrevendo ela da forma a ^ 1 * a ^ (b - 1).

Isso é possível na matemática graças à propriedade dos exponenciais que diz que a ^ m * a ^ n = a ^ (m + n).

Isso é usado em cálculo quando temos uma fração em que o numerador e o numerador estão elevados a expoentes diferentes e queremos deixá-los no mesmo expoente.

Question 23

Reescreva a expressão 2 ^ x * 3 ^ (x + 1) com apenas um expoente. Explique detalhadamente cada etapa, inclusive os desafios em cada uma.

Answer 23

O primeiro desafio envolve o fato que existe uma propriedade para multiplicar potências de bases iguais e expoentes diferentes e outra para multiplicar potências de bases diferentes e expoentes iguais. Não existe uma propriedade que multiplique números de bases e expoentes diferentes. Para fazer essa operação, precisamos colocar os números com o mesmo expoente.

Para isso, usaremos a propriedade que 2 ^ x pode ser reescrito como 2 ^ (x + 1) * 2 ^ (-1). Com isso, temos que 2 ^ x * 3 ^ (x + 1) = 2 ^ (-1) * 2 ^ (x + 1) * 3 ^ (x + 1).

Com o 2 e o 3 com o mesmo expoente, podemos usar a propriedade que diz que a ^ x * b ^ x = (a * b) ^ x. Com isso, temos que 2 ^ (-1) * 2 ^ (x + 1) * 3 ^ (x + 1) = 2 ^ (-1) * 6 ^ (x + 1)

Question 24

De que formas podemos escrever uma multiplicação entre dois números a e b como uma divisão? Por que isso é possível na matemática? Em que situação isso é usado em cálculo?

Answer 24

Podemos converter uma multiplicação entre a e b em uma divisão de a por 1/b.

Isso acontece na matemática porque dividir é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso do número.

Em cálculo isso é usado quando queremos converter uma indeterminação da forma ∞ * 0 em uma ∞/∞ ou 0/0

Question 25

Quando uma função é inversível/invertível? E graficamente?

Answer 25

Se ela for bijetora, ou seja, se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Pra uma função ser considerada uma função injetora, cada elemento do domínio dela deve corresponder a UM ÚNICO elemento da imagem.
Graficamente, é quando uma reta horizontal intersecta a função em no máximo um ponto.
Pra uma função ser considerada uma função sobrejetora todo elemento da imagem possui PELO MENOS UM elemento do domínio que o gera.
Graficamente, é quando toda reta horizontal intersecta o gráfico de uma função em pelo menos um ponto.

Bijetora é quando uma função tem uma única imagem existente diferente pra cada elemento do domínio.

Question 26

O que é fatorar um número?

Answer 26

É escrevê-lo como produto de fatores primos.