mat tk1 Flashcards
Definitsioon 11.1: maatriks
Maatriksiks nimetatakse ümarsulgude vahele paigutatud m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit ,kus arve aij nimetatakse maatriksi elementideks, i = 1, . . . , m ja j = 1, . . . , n. Sellisel juhul räägitakse m × n maatriksist.
Definitsioon 11.2: ruutmaatriks, reamaatriks/reavektor, veerumaatriks/veeruvektor
Kui maatriksi ridade ja veergude arv on võrdne, m = n, siis nimetame maatriksit ruutmaatriksiks või ka n-järku ruutmaatriksiks.
Kui maatriksis on ainult üks rida või veerg, siis nimetame seda maatrik sit ka vektoriks, täpsemalt reavektoriks ja veeruvektoriks. Üldine m × n maatriks koosneb m reavektorist ja n veeruvektorist.
Definitsioon 11.3: maatriksite võrdsus
Maatrikseid A ja B nimetatakse võrdseteks, kui neil on võrdne ridade
arv, võrdne veergude arv ja kõik vastavatel kohtadel olevad elemendid
on võrdsed, s.t
A = B, kui aij = bij iga i = 1, . . . , m ja j = 1, . . . , n korral.
Definitsioon 11.4: maatriksite summa
Kui maatriksid A ja B on mõlemad m × n maatriksid, siis A ja B
summaks nimetatakse m × n maatriksit C, mille elementideks on vastavate elementide summad, s.t
C = A + B, kui cij = aij + bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Definitsioon 11.5: maatriksite vahe
Kui maatriksid A ja B on mõlemad m × n maatriksid, siis A ja B vaheks nimetatakse m × n maatriksit C, mille elementideks on vastavate elementide vahed, s.t
C = A − B, kui cij = aij − bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Definitsioon 11.6: maatriksi korrutis skalaariga
Maatriksi A korrutiseks skalaariga ehk arvuga λ nimetatakse maatriksit λA = B, mille elemendid saadakse maatriksi A kõigi elementide korrutamisel arvuga λ, s.t
λA = B = (bij ), kui bij = λaij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Definitsioon 11.7: nullmaatriks
Nullmaatriksiks nimetatakse maatriksit, mille kõik elemendid võrduvad nulliga
Maatrikstehete jaoks kehtivad omadused
Olgu maatriksid A, B, C ja nullmaatriks O kõik samade mõõtmetega maatriksid ning λ ∈ R. Sel juhul maatrikstehete jaoks kehtivad järg mised omadused:
A + (B + C) = (A + B) + C, (liitmise assotsiatiivsus)
A + B = B + A, (liitmise kommutatiivsus)
λ(A + B) = λA + λB,
A + O = A.
Definitsioon 11.8: transponeeritud maatriks
Maatriksi A = (aij ), (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n) transponeeritud
maatriksiks nimetatakse maatriksit AT , mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel, s.t AT = (aji), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Transponeeritud maatriksite jaoks kehtivad omadused
Olgu maatriksid A ja B samade mõõtmetega maatriksid ning λ ∈ R. Sel juhul transponeeritud maatriksite jaoks kehtivad järgmised omadused:
Definitsioon 11.9: maatriksite korrutis
Kui maatriksi A veergude arv võrdub maatriksi B ridade arvuga, siis maatriksite A ja B korrutiseks AB nimetatakse maatriksit C, mille i-nda rea ja j-nda veeru elemendi cij saamiseks korrutatakse maatriksi A i-nda rea elemendid maatriksi B j-nda veeru vastavate elementidega ning saadud korrutised liidetakse, s.t C = AB, cij = nX k=1
aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj ,
kus i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p, A on m × n maatriks ja B on n × p
maatriks.
märkus 11.1: mittekommutatiivsus
iimasest näitest nägime, et AB ja BA andsid erineva tulemuse. Selle kohta öeldakse, et maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne ehk üldjuhul (ka ruutmaatriksite korral)
A B ̸ = BA.
Maatriksite korrutamise omadused
Maatriksite korrutamise omadused. Olgu maatriksid A, B, C ja
nullmaatriks O selliste mõõtmetega, et allpool toodud iga üksik tehe on teostatav. Siis maatriksite korrutamisel on järgmised omadused:
(AB)C = A(BC), (korrutamise assotsiatiivsus)
(A + B)C = AC + BC, (distributiivsus)
λ(AB) = (λA)B = A(λB), iga λ ∈ R korral
(AB)T = BT AT ,
A O = O,
O A = O.
Definitsioon 11.12: maatriksi elemendile vastav miinor
Ruutmaatriksi A elemendile aij vastavaks miinoriks nimetatakse determinanti Mij , mis saadakse, kui maatriksi A determinandis jätta välja elementi aij läbiv rida ja veerg
Definitsioon 11.13: determinandi arendamine 𝑖-nda rea järgi
Esimest järku ruutmaatriksi A determinant |A| = a11.
Kõrgemat järku ruutmaatriksi A = (aij ) determinandiks nimetatakse summat|A| =nXj=1(−1)i+j aij Mij , i ∈ {1, 2, . . . , n}, n ≥ 2,
kus Mij on elemendile aij vastav miinor ehk (n − 1)-järku determinant. Antud valemi kasutamist determinandi arvutamisel nimetatakse determinandi arendamiseks i-nda rea järgi.
Determinandi väärtus ei muutu, kui maatriksi A determinanti arendada mingi j-nda veeru järgi. Determinandi tähistusi: detA, det(aij) või DA.
