Mat 2 zavrsni Flashcards
Definiraj funkciju
Neka su A i B neprazni skupovi. Funkcija ili preslikavanje iz skupa A u skup B je svako pravilo f po kojem se svakom elementu x€A pridružuje jedinstveni element y€B
Što je realna funkcija realne varijable?
Ukoliko su domena i kodomena podsukpovi skupa realnih brojeva to je realna funkcija realne varijable
Kako funkcija može biti zadana?
Tablično, algebarski, grafički
Kada realnu funkciju nazivamo algebarska?
Ukoliko je argument x podvrgnut konačnom broju algebarskih operacija
Kada je funkcija racionalna?
Kada se kao eksponent varijable javlja samo cijeli broj
Kada je funkcija iracionalna?
Ukoliko nije racionalna (objasniti kada je funkcija racionalna ukoliko prije nije definirano!)
Kada je funkcija transcedentna?
Ako nije algebarska (objasniti kada je funkcija algebarska ukoliko prije nije definirano!)
Navedi primjer racionalne funkcije
Npr. f(x)=(x^2+2x+1)/(x^3-1)
Definiraj polinom n-tog stupnja
Polinom n-tog stupnja (cijela racionalna funkcija) je funkcija oblika f(x) = anx^2 + an-1x^n−1 + ··· + a2x^2 + a1x + a0,
gdje su ao, a1, …, an €R, n€N, an razlicit od 0. Brojeve a0, a1, …, an nazivamo koeficijentima polinoma f(x).
Definiraj razlomljenu racionalnu funkciju
Razlomljena racionalna funkcija je kvocijent dvaju polinoma, odnosno funkcija oblika f(x)=P(x)/Q(x), gdje su P(x), Q(x) polinomi i Q(x) je razlicit od 0
Navedi primjer iracionalne funkcije
f(x)=4 korijen od x
Navedi primjer transcedentne funkcije
To je logaritamska funkcija oblika f(x)=loga(x), gdje je a>0, a je razlicit od 1
Definiraj domenu
Za eksplicitno zadane funkcije domena je skup svih vrijednosti nezavisne varijable x, za koje f(x) ima smisla.
Definiraj kodomenu
Skup B nadskup f(A) nazivamo kodomena funkcije f
Što je x a što y u ovome zapisu?
y=f(x)
x nezavisna varijabla
y zavisna varijabla
Definiraj skup funkcijskih vrijednosti (slika funkcije)
f(A)={y€B | y = f(x), x€A}
Definiraj kompoziciju funkcija f i g
Neka su f : A -> R i g : B -> R, gdje su A, B podskupovi skupa R. Ako je f(A) podskup skupa B, tada možemo definirati kompoziciju funkcija f i g, kao funkciju h : A -> R danu sa h(x) = (g°f)(x)=g(f(x))
Definiraj identitetu
Identiteta na skupu A je preslikavanje ida:A->A, za koje vrijedi ida(x)=x, za svaki x€A
Što je inverzna funkcija?
Funkcija koja varijabli y pridružuje x
Navedi primjer inverzne funkcije
Inverzna funkcija funkciji f(x)=3x je funkcija g(y)=1/3y
Kada je funkcija injekcija?
Kada se različiti elementi domene pridružuju različitim elementima kodomene, odnosno ako je x1 razlicito od x2 => f(x1) razlicito od f(x2) za svaki x1,x2€D
Kada je funkcija surjekcija?
Funkcija je surjekcija ako za svaki y€K postoji x€D takav da je f(x)=y
Kada je funkcija bijekcija?
Ako je surjekcija i injekcija
Definiraj graf Γf funkcije y=f(x)
Graf Γf funkcije y=f(x) je skup točaka ravnine
Γf = {x, f(x) | x€Df}
Definiraj graf implicitno zadane funkcije
Definiraj graf implicitno zadane funkcije F(x,y) = 0 je skup točaka (x, y) Kartezijeve ravnine, koje zadovoljavaju danu jednadžbu.
Kada je podskup Γ funkcijski podskup ravnine?
Ako vrijedi da ukoliko pravac usporedan s y-osi siječe graf onda ga siječe u točno jednoj točki.
Definiraj graf parametarski zadane funkcije
Definiraj graf parametarski zadane funkcije x=φ(t), y=ψ(t), gdje je t€T podskup R je krivulja u Kartezijevoj ravnini definirana s
Γf = {(x,y) | x = φ(t), y = ψ(t), t€T}
Što je nultočka?
Za broj x0 € R kažemo da je nultočka funkcije ako je f(x0) = 0
Kada kažemo da je funkcija omeđena odozgo?
Za funkciju f kažemo da je omeđena odozgo ako postoji M€R takav da je
f(x) <= od M za svaki x€Df
Kada kažemo da je funkcija omeđena odozdo?
Za funkciju f kažemo da je omeđena odozdo ako postoji m€R takav da je
f(x) >= od m za svaki x€Df
Kada je funkcija omeđena?
Funkcija je omeđena ako postoje realni brojevi m i M, takvi da je
m <= f(x) <= M
Navedi primjer omeđene funkcije
f(x)=sinx
Kada funkcija raste na intervalu?
Za funkciju f kažemo da raste na intervalu I podskup Df ako za svaka dva realna broja x1, x2 € I, takva da je x1<x2 vrijedi f(x1) <= f(x2)
Kada funkcija pada na intervalu?
Za funkciju f kažemo da pada na intervalu I podskup Df ako za svaka dva realna broja x1, x2 € I, takva da je x1>x2 vrijedi f(x1) >= f(x2)
Kada kažemo da je funkcija monotona?
Funkcija je monotona ako raste odnosno pada na cijelom području definicije
Kada funkcija ima lokalni maksimum?
Kažemo da funkcija f ima lokalni maksimum u točki xM ako postoji interval 0podskupDf takav da je xM€0 i vrijedi f(x)<=f(xM) za svaki x€0
Kada funkcija ima lokalni minimum?
Kažemo da funkcija f ima lokalni minimumu točki xm ako postoji interval 0podskupDf takav da je xm€0 i vrijedi f(x)>=f(xm) za svaki x€0
Kada je funkcija parna?
Funkcija je parna ukoliko vrijedi
f(-x)=f(x) za svaki x€Df
Kada je funkcija neparna?
Funkcija je neparna ukoliko vrijedi
f(-x)=-f(x) za svaki x€Df
Navedi grafička svojstva parnosti i neparnosti funkcija
Funkcija je parna ukoliko je simetrična s obzirom na os y
Funkcija je neparna ukoliko je centralno simetrična s obzirom na iskodište
Kada je funkcija periodična?
Funkcija je periodična ako postoji T€R{0} takav da vrijedi
f(x+T) = f(x) za svaki x€Df
Navedi primjer polinoma 0-tog stupnja
f(x)=c, c€R
Navedi primjer polinoma prvog stupnja
f(x)=ax+b, a != 0 a,b€R
Navedi primjer polinoma drugog stupnja (kvadratna funkcija)
f(x)=ax^2+bx+c, a!=0, a,b,c€R
Definiraj eksponencijalnu funkciju
Fukcija oblika f(x)=a^x, a>0, a!=1
Kada eksponencijalna funkcija raste a kada pada?
Funkcija pada ukoliko vrijedi 0<a<1, a raste ukoliko vrijedi a>1
Definiraj inverznu funkciju eksponencijalnoj funkciji te navedi kada raste a kada pada
Funkcija oblika loga(x), a>0, a!=1
Funkcija pada ukoliko vrijedi 0<a<1, a raste ukoliko vrijedi a>1
Kako definiramo funkciju tangens?
tgx=sinx/cosx
Kako definiramo funkciju kotangens?
ctgx=cosx/sinx
Što su to ciklometrijske ili arkus funkcije?
Inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama
Definiraj niz
Niz realnih brojeva je funkcija
a:A->R
Navedi primjer konvergentnog niza
an = n/n+1
Navedi primjer divergentnog niza
an=n
Kada je niz aritmetički niz?
Niz je aritmetički ukoliko je razlika svakog člana toga niza i njegovog prethodnika uvijek isti broj
Kada je niz geometrijski niz?
Niz je geometrijski ukoliko je kvocijent svakog člana toga niza i njegovog prethodnika uvijek isti broj
Što je to aritmetička sredina?
Aritmetička sredina brojeva a1,a2,….an je:
(a1+a2+…+an)/n
Definiraj geometrijsku sredinu
Neka su a1>0, a2>0,…an>0. Geometrijska sredina tih brojeva je: n-ti korijen od (a1a2…*an)
Kada je niz rastući?
Niz je rastući ako je
an <= an+1, ∀n€N
Kada je niz padajući?
Niz je padajući ako je
an >= an+1, ∀n€N
Kada je niz monoton?
Niz je monoton ako je rastući ili padajući
Kada je niz omeđen odozdo?
Niz je omeđen odozdo ako postoji m€R takav da je an>=m,
∀n€N
Kada je niz omeđen odozgo?
Niz je omeđen odozgo ako postoji M€R takav da je an<=M,
∀n€R
Što je supermum?
Supermum je najmanja gornja međa skupa koji sadrži sve članove niza (an)
Što je infinum?
Infinum je najveća donja međa skupa koji sadrži sve članove niza (an)
Kada je niz omeđen?
Niz je omeđen ako je omeđen odozdo i odozgo, odnosno ako postojoe m,M€R takvi da je
m<=an<=M, ∀n€N
Navedi primjer omeđenog niza
an=1/n jer 0<an<1
Kada niz teži prema +∞ (divergent)
Za niz (an) kažemo da teži prema +∞ ako za svaki M€R postoji n0€N takav da je an>M za svaki n>n0
Kada niz teži prema -∞ (divergent)
Niz teži prema -∞ ako za svaki m€R postoji n0€N takav da je an<m>n0</m>
Definiraj okolinu
Okolina realnog broja a je svaki otvoreni interval oko a:
O(a,ϵ) = {x€R | a-ϵ < x < a+ϵ}
Definiraj gomilište
Za realan broj a kažemo da je gomilište niza (an) ako se u svakoj okolini broja a nalazi beskonačno mnogo članova tog niza
Definiraj limes niza
Za realan broj a kažemo da je granična vrijednost ili limes niza (an) ako se u svakoj okolini od a nalazi beskonačno mnogo članova niza, a izvan te okoline samo konačno mnogo njih
Kako nazivamo nizove koji imaju limes?
Konvergentnim nizovima
Kako zovemo nizove koji nisu konvergentni
Divergentni nizovi
Može li niz imati više limesa
Ne
Je li svako gomilište limes?
Primijetimo da je limes gomilište, ali svako gomilište nije limes
Definiraj red realnih brojeva
Red realnih brojeva je suma beskonačno mnogo pribrojnika koji se nalaze u zadanom poretku
Kada kažemo da red konvergira?
Red konvergira ako konvergira pripadni niz parcijalnih suma
Čemu je jednaka suma reda?
Suma reda jednaka je limesu niza parcijalnih suma
Kada je red geometrijski?
Red je geometrijski ako je pripadni niz (an) geometrijski
Kada red nazivamo redom s pozitivnim članovima?
Red nazivamo redom s pozitivnim članovima ako je an>=0 za svaki n€N
Objasni Cauchyev kriterij
Cauchyev kriterij govori ukoliko je
lim n->∞ od n-ti korijen od an = q
gdje je
q<1 red konvergira
q>1 red divergira
q=1 nema odluke
Objasni D’Alembertov kriterij
D’Alembertov kriterij govori ukoliko je
lim n->∞ od an+1/an = q
gdje je
q<1 red konvergira
q>1 red divergira
q=1 nema odluke
Kada funkcija ima beskonačni limes u točki?
Kada se vrijednost funkcije s približavanjem nekom realnom broju ne približava realnoj vrijednosti, nego teži u +∞ ili u -∞, kažemo da funkcija u toj točki ima beskonačni limes
Definiraj limes funkcije
Kažemo da je realni broj L limes funkcije f u točki a ako za svaki
ε > 0 postoji δ > 0 takav da za svaki x€Df \ {a} vrijedi
0 < | x - a | < δ => | f(x) - L | < ε
ili druga definicija
Kažemo da je realni broj L limes funkcije f u točki a ako za svaki niz (an) iz Df, takav da je svaki
an != a i lim n->∞ od an = a, vrijedi
lim n -> ∞ od f(an) = L
Što je to izolirana točka?
Za a iz domene funkcije
kažemo da je izolirana točka ako postoji takva njezina okolina u kojoj nema drugih članova domene
Kada kažemo da je neki realni broj limes zdesna?
Kažemo da je realni broj L+ limes zdesna funkcije f u točki a ako za svaki niz (an) iz Df
(gdje je an > a za svaki n) takav da je lim n→ ∞ od an = a
vrijedi
lim n→∞ od f(an) = L+
Kada kažemo da je neki realni broj limes slijeva?
Kažemo da je realni broj L+ limes slijeva funkcije f u točki a ako za svaki niz (an) iz Df
(gdje je an < a za svaki n) takav da je lim n→ ∞ od an = a
vrijedi
lim n→∞ od f(an) = L-
Kada je funkcija neprekidna?
Funkcija f je neprekidna u točki a ∈ Df ako vrijedi
limx→a od f(x) = f(a)
Kada je funkcija neprekidna u točki?
Funkcija f je neprekidna u točki a ∈ Df ako za svaki ϵ > 0 postoji
δ > 0 takav da
|x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ϵ
Kada kažemo da funkcija f ima prekid u točki a?
Kažemo da funkcija f ima prekid u točki a, koja pripada domeni
funkcije ili je granična za to područje, ako limx→a od f(x) ne postoji ili postoji ali nije jednak f(a).
Koje su tri vrste prekida funkcije
Točka prekida prve vrste
Uklonjivi prekid
Točka prekida druge vrste
Kada a nazivamo točkom prekida prve vrste?
Neka je funkcija f definirana u nekoj okolini <a-ϵ, a+ϵ> točke a,
osim možda u samoj točki a. Ako za funkciju f postoje konačni limesi
L1 = lim x→a− od f(x),
L2 = lim x→a+ od f(x)
pri čemu nisu sva tri broja L1, L2, f(a) međusobno jednaka, onda a nazivamo točkom prekida prve vrste.
Kada a nazivamo uklonjivim prekidom?
Ako je L1 = L2 (označimo s L tu vrijednost), a funkcija f ili nije
definirana u a ili je f(a) 6 != L, tada a nazivamo uklonjivim
prekidom.
Kada točku nazivamo prekidom druge vrste?
Sve točke prekida funkcije, koje nisu točke prekida prve vrste,
nazivamo točkama prekida druge vrste
Navedi primjer prekida prve vrste i to neuklonjivog
. {sinx/|x|, x != 0
f(x) = {
{1, x = 0
Navedi primjer prekida prve vrste i to uklonjivog
. { x, x != 7
f(x) = {
{ 5, x= 7
Navedi primjer prekida druge vrste
. { 1/(x-2), x != 2
f(x) = {
{ 0, x= 2
Kada je funkcija neprekidna na intervalu?
Funkcija je neprekidna na intervalu ako je neprekidna u svakoj točki tog intervala
Kada je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu?
Funkcija f neprekidna je na zatvorenom intervalu (segmentu) [a, b]
ako je ona neprekidna u svakoj točki x, gdje je a < x < b, te je
neprekidna zdesna u a i slijeva u b
Objasni teorem o međuvrijednosti
Neka je f neprekidna na segmentu [a, b] i neka je f(a) = A, f(b) = B te
A < C < B. Tada postoji c ∈ <a, b> takav da je f(c) = C
Objasni teorem o ekstremima neprekidne funkcije na zatvorenom intervalu
Neka je f neprekidna na segmentu [a, b]. Tada vrijedi:
1 f je omedena na [a, b],
2 f poprima minimalnu i maksimalnu vrijednost na [a, b].
Definiraj vektor
Skup svih međusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina nazivamo vektorom
Čime je određen vektor?
Duljinom, smjerom, orijentacijom
Kada su dva vektora jednaka?
Dva vektora su jednaka ako su jednake duljine, imaju isti smjer i orijentaciju
Kada su dva vektora suprotna?
Dva vektora su suprotna ako su jednake duljine, imaju isti smjer, ali suprotnu orijentaciju. Suprotan vektor vektoru a označavamo s −a. (Iznad vektora ide strelica)
Definiraj nul vektor
Nul vektor je vektor duljine 0
Definiraj jedinični vektor
Jedinični vektor je vektor duljine 1
Kada kažemo da smo vektor normirali?
Ukoliko dobijemo vektor na sljedeći način:
vektor a0 = vek a/ vek |a|
Kada su vektori kolinearni?
Vektori koji pripadaju istom ili paralelnim pravcima nazivaju se
kolinearni vektori
Kada su vektori komplanarni?
Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim ravninama nazivaju se komplanarni vektori
Definiraj radijvektor
Neka postoji točka 0 koja pripada nekoj ravnini te neki vektor u toj istoj ravnini, tada postoji točka T za koju vrijedi
vek OT = vek AB
vek OT je radijvektor
Definiraj zbrajanje vektora
~ = vektor
Zbrajanje vektora je funkcija
+ : V × V → V
(~a,~b) = ~a + ~b
koja paru vektora pridružuje njihov zbroj
Definiraj oduzimanje vektora
Oduzimanje vektora definira se kao operacija zbrajanja sa suprotnim vektorom:
~a − ~b = ~a + (−~b)
Definiraj množenje vektora skalarom
Množenje vektora skalarom je funkcija
· : R × V → V
(α,~a) = α~a
koja paru vektora i skalara (α,~a) pridružuje vektor α~a.
Definiraj vektorski prostor
Skup V s operacijama zbrajanja i množenja sa skalarom, zapisujemo (V, +, *)
Definiraj linearnu kombinaciju vekotra
Neka su ~a1,~a2, . . . , ~an vektori i α1, α2, . . . , αn realni brojevi.
Vektor ~b = α1~a1 + α2~a2 + · · · + αn~an
se zove linearna kombinacija vektora ~a1,~a2, . . . ,~an s koeficijentima α1, α2, . . . , αn .
Kada su vektori linearno nezavisni
Vektori ~a1,~a2, . . . ,~an su linearno nezavisni ako:
α1~a1 + α2~a2 + · · · + αn~an = 0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0
Od čega se sastoji kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav
tri međusobno okomite osi:
Ox - os apscisa
Oy - os ordinata
Oz - os aplikata
Što je kanonska baza prostora R^3?
Trojka vektora (~i,~j,~k)
Što je dimenzija vektorskog prostora?
Dimenzija vektorskog prostora V maksimalan je broj linearno
nezavisnih vektora u njemu. Standarno se oznacava s dimV
Definiraj skalarni umnožak vektora
Skalarni umnožak vektora je funkcija
· : V × V → R
(~a,~b) 7→ ~a · ~b
koja paru vektora pridružuje realan broj, te koja je definirana s:
~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ
Nabroji svojstva skalarnog umnoška
Pozitivnost, Homogenost, Komutativnost, Distributivnost množenja prema zbrajanju
Definiraj vektorski umnožak
Vektorski umnožak vektora je funkcija
× : V × V → V
(~a, ~b) → ~a × ~b
koja paru vektora (~a,~b) pridružuje vektor ~c = ~a × ~b koji je okomit na vektore ~a i ~b
Definiraj mješoviti umnožak vektora
Mješoviti umnožak vektora je funkcija
() : V × V × V → R
koja trojci vektora (~a,
~b,~c) pridružuje realni broj i koja je definirana na sljedeći način:
(~a, ~b,~c) = (~a × ~b) · ~c
Što je geometrijska interpretacija mješovitog produkta
Apsolutna vrijednost mješovitog umnoška triju vektora
jednaka je volumenu paralelepipeda razapetog tim vektorima
Kakva je to ortogonalna baza?
Baza u kojoj su svaka dva vektora međusobno okomita
Kakva je to ortonormirana baza
Baza čiji su vektori jedinične duljine
Kakvi su to mimosmjerni pravci?
Mimosmjerni pravci nemaju zajedničku točku i njihovi vektori smjera nisu kolinearni.
Definiraj vektorski potprostor
Neka je V vektorski prostor nad F i M neki njegov neprazan podskup.
Kažemo da je M potprostor od V ako je i (M, +, ·) vektorski prostor nad F uz iste operacije iz V
Definiraj bazu vektorskog prostora
Neka je V vektorski prostor. Baza vektorskog prostora V je svaki skup
{v1, v2, . . . , vk } koji ima sljedeca dva svojstva:
1 vektori v1, v2, . . . , vk su linearno nezavisni
2 svaki drugi vektor x ∈ V se može zapisati kao linearna kombinacija vektora v1, v2, . . . , vk .
Navedi primjer vektorskog prostora
Za nas je najvažniji primjer vektorskog prostora prostor R^n.
Skup {e1, e2, . . . , en} gdje je:
e1 = (1, 0, . . . , 0)
e2 = (0, 1, . . . , 0)
.
.
.
en = (0, 0, . . . , 1)
nazivamo kanonska baza prostora R^n
Što je linearni operator?
Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F.
Preslikavanje A : V → W naziva se linearni operator s V u W ako vrijede
svojstva: Aditivnost, Homogenost
Navedi primjer linearnog operatora
Neka je V vektorski prostor nad poljem F, te λ ∈ F
Preslikavanje A : V → V dano s:
A(x) = λx
je linearni operator
Što je to nuloperator?
za λ = 0, riječ je o nuloperatoru koji svaki vektor iz V preslikava u nulvektor:
A(x) = 0V
Što je to jedinični operator?
za λ = 1, rijec je o jediničnom operatoru
I : V → V ili identitetu:
I(x) = x, x ∈ V
Što je slika linearnog operatora?
Neka je A : V → W linearan operator.
Slika linearnog operatora A je skup
S(A) = {A(x) : x ∈ V}
Što je jezgra linearnog operatora?
Jezgra linearnog operatora A je skup
J(A) = {x ∈ V : A(x) = 0W }
Čemu je jednak rang inearnog operatora A
Neka je A : V → W linearan operator. Ako je slika S(A) operatora A
konačnodimenzionalni potprostor od W, tada je rang linearnog
operatora A dimenzija potprostora S(A). Pišemo:
r(A) = dimS(A)
Čemu je jednak defekt linearnog operatora?
Ako je jezgra J(A) operatora A konacnodimenzionalni potprostor od ˇ V,
tada je defekt linearnog operatora A dimenzija potprostora J(A).
Pišemo:
d(A) = dimJ(A)
Što je homotetija?
Homotetija u ravnini je preslikavanje
A : V^2 → V^2
koja vektoru ~a = x ~i + y ~j pridružuje vektor:
A(~a) = A(x~i + y~j) = λx~i + y~j
