Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

Mat 2 zav > Mat 2 zavrsni > Flashcards

Mat 2 zavrsni Flashcards

1
Q

Definiraj funkciju

A

Neka su A i B neprazni skupovi. Funkcija ili preslikavanje iz skupa A u skup B je svako pravilo f po kojem se svakom elementu x€A pridružuje jedinstveni element y€B

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Što je realna funkcija realne varijable?

A

Ukoliko su domena i kodomena podsukpovi skupa realnih brojeva to je realna funkcija realne varijable

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Kako funkcija može biti zadana?

A

Tablično, algebarski, grafički

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Kada realnu funkciju nazivamo algebarska?

A

Ukoliko je argument x podvrgnut konačnom broju algebarskih operacija

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Kada je funkcija racionalna?

A

Kada se kao eksponent varijable javlja samo cijeli broj

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Kada je funkcija iracionalna?

A

Ukoliko nije racionalna (objasniti kada je funkcija racionalna ukoliko prije nije definirano!)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Kada je funkcija transcedentna?

A

Ako nije algebarska (objasniti kada je funkcija algebarska ukoliko prije nije definirano!)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Navedi primjer racionalne funkcije

A

Npr. f(x)=(x^2+2x+1)/(x^3-1)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Definiraj polinom n-tog stupnja

A

Polinom n-tog stupnja (cijela racionalna funkcija) je funkcija oblika f(x) = anx^2 + an-1x^n−1 + ··· + a2x^2 + a1x + a0,
gdje su ao, a1, …, an €R, n€N, an razlicit od 0. Brojeve a0, a1, …, an nazivamo koeficijentima polinoma f(x).

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Definiraj razlomljenu racionalnu funkciju

A

Razlomljena racionalna funkcija je kvocijent dvaju polinoma, odnosno funkcija oblika f(x)=P(x)/Q(x), gdje su P(x), Q(x) polinomi i Q(x) je razlicit od 0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Navedi primjer iracionalne funkcije

A

f(x)=4 korijen od x

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Navedi primjer transcedentne funkcije

A

To je logaritamska funkcija oblika f(x)=loga(x), gdje je a>0, a je razlicit od 1

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Definiraj domenu

A

Za eksplicitno zadane funkcije domena je skup svih vrijednosti nezavisne varijable x, za koje f(x) ima smisla.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Definiraj kodomenu

A

Skup B nadskup f(A) nazivamo kodomena funkcije f

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Što je x a što y u ovome zapisu?

y=f(x)

A

x nezavisna varijabla
y zavisna varijabla

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Definiraj skup funkcijskih vrijednosti (slika funkcije)

A

f(A)={y€B | y = f(x), x€A}

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Definiraj kompoziciju funkcija f i g

A

Neka su f : A -> R i g : B -> R, gdje su A, B podskupovi skupa R. Ako je f(A) podskup skupa B, tada možemo definirati kompoziciju funkcija f i g, kao funkciju h : A -> R danu sa h(x) = (g°f)(x)=g(f(x))

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

Definiraj identitetu

A

Identiteta na skupu A je preslikavanje ida:A->A, za koje vrijedi ida(x)=x, za svaki x€A

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

Što je inverzna funkcija?

A

Funkcija koja varijabli y pridružuje x

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

Navedi primjer inverzne funkcije

A

Inverzna funkcija funkciji f(x)=3x je funkcija g(y)=1/3y

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

Kada je funkcija injekcija?

A

Kada se različiti elementi domene pridružuju različitim elementima kodomene, odnosno ako je x1 razlicito od x2 => f(x1) razlicito od f(x2) za svaki x1,x2€D

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

Kada je funkcija surjekcija?

A

Funkcija je surjekcija ako za svaki y€K postoji x€D takav da je f(x)=y

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

Kada je funkcija bijekcija?

A

Ako je surjekcija i injekcija

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
24
Q

Definiraj graf Γf funkcije y=f(x)

A

Graf Γf funkcije y=f(x) je skup točaka ravnine

Γf = {x, f(x) | x€Df}

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
25
Q

Definiraj graf implicitno zadane funkcije

A

Definiraj graf implicitno zadane funkcije F(x,y) = 0 je skup točaka (x, y) Kartezijeve ravnine, koje zadovoljavaju danu jednadžbu.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
26
Q

Kada je podskup Γ funkcijski podskup ravnine?

A

Ako vrijedi da ukoliko pravac usporedan s y-osi siječe graf onda ga siječe u točno jednoj točki.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
27
Q

Definiraj graf parametarski zadane funkcije

A

Definiraj graf parametarski zadane funkcije x=φ(t), y=ψ(t), gdje je t€T podskup R je krivulja u Kartezijevoj ravnini definirana s

Γf = {(x,y) | x = φ(t), y = ψ(t), t€T}

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
28
Q

Što je nultočka?

A

Za broj x0 € R kažemo da je nultočka funkcije ako je f(x0) = 0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
29
Q

Kada kažemo da je funkcija omeđena odozgo?

A

Za funkciju f kažemo da je omeđena odozgo ako postoji M€R takav da je

f(x) <= od M za svaki x€Df

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
30
Q

Kada kažemo da je funkcija omeđena odozdo?

A

Za funkciju f kažemo da je omeđena odozdo ako postoji m€R takav da je

f(x) >= od m za svaki x€Df

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
31
Q

Kada je funkcija omeđena?

A

Funkcija je omeđena ako postoje realni brojevi m i M, takvi da je

m <= f(x) <= M

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
32
Q

Navedi primjer omeđene funkcije

A

f(x)=sinx

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
33
Q

Kada funkcija raste na intervalu?

A

Za funkciju f kažemo da raste na intervalu I podskup Df ako za svaka dva realna broja x1, x2 € I, takva da je x1<x2 vrijedi f(x1) <= f(x2)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
34
Q

Kada funkcija pada na intervalu?

A

Za funkciju f kažemo da pada na intervalu I podskup Df ako za svaka dva realna broja x1, x2 € I, takva da je x1>x2 vrijedi f(x1) >= f(x2)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
35
Q

Kada kažemo da je funkcija monotona?

A

Funkcija je monotona ako raste odnosno pada na cijelom području definicije

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
36
Q

Kada funkcija ima lokalni maksimum?

A

Kažemo da funkcija f ima lokalni maksimum u točki xM ako postoji interval 0podskupDf takav da je xM€0 i vrijedi f(x)<=f(xM) za svaki x€0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
37
Q

Kada funkcija ima lokalni minimum?

A

Kažemo da funkcija f ima lokalni minimumu točki xm ako postoji interval 0podskupDf takav da je xm€0 i vrijedi f(x)>=f(xm) za svaki x€0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
38
Q

Kada je funkcija parna?

A

Funkcija je parna ukoliko vrijedi

f(-x)=f(x) za svaki x€Df

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
39
Q

Kada je funkcija neparna?

A

Funkcija je neparna ukoliko vrijedi

f(-x)=-f(x) za svaki x€Df

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
40
Q

Navedi grafička svojstva parnosti i neparnosti funkcija

A

Funkcija je parna ukoliko je simetrična s obzirom na os y

Funkcija je neparna ukoliko je centralno simetrična s obzirom na iskodište

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
41
Q

Kada je funkcija periodična?

A

Funkcija je periodična ako postoji T€R{0} takav da vrijedi

f(x+T) = f(x) za svaki x€Df

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
42
Q

Navedi primjer polinoma 0-tog stupnja

A

f(x)=c, c€R

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
43
Q

Navedi primjer polinoma prvog stupnja

A

f(x)=ax+b, a != 0 a,b€R

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
44
Q

Navedi primjer polinoma drugog stupnja (kvadratna funkcija)

A

f(x)=ax^2+bx+c, a!=0, a,b,c€R

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
45
Q

Definiraj eksponencijalnu funkciju

A

Fukcija oblika f(x)=a^x, a>0, a!=1

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
46
Q

Kada eksponencijalna funkcija raste a kada pada?

A

Funkcija pada ukoliko vrijedi 0<a<1, a raste ukoliko vrijedi a>1

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
47
Q

Definiraj inverznu funkciju eksponencijalnoj funkciji te navedi kada raste a kada pada

A

Funkcija oblika loga(x), a>0, a!=1

Funkcija pada ukoliko vrijedi 0<a<1, a raste ukoliko vrijedi a>1

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
48
Q

Kako definiramo funkciju tangens?

A

tgx=sinx/cosx

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
49
Q

Kako definiramo funkciju kotangens?

A

ctgx=cosx/sinx

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
50
Q

Što su to ciklometrijske ili arkus funkcije?

A

Inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
51
Q

Definiraj niz

A

Niz realnih brojeva je funkcija

a:A->R

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
52
Q

Navedi primjer konvergentnog niza

A

an = n/n+1

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
53
Q

Navedi primjer divergentnog niza

A

an=n

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
54
Q

Kada je niz aritmetički niz?

A

Niz je aritmetički ukoliko je razlika svakog člana toga niza i njegovog prethodnika uvijek isti broj

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
55
Q

Kada je niz geometrijski niz?

A

Niz je geometrijski ukoliko je kvocijent svakog člana toga niza i njegovog prethodnika uvijek isti broj

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
56
Q

Što je to aritmetička sredina?

A

Aritmetička sredina brojeva a1,a2,….an je:

(a1+a2+…+an)/n

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
57
Q

Definiraj geometrijsku sredinu

A

Neka su a1>0, a2>0,…an>0. Geometrijska sredina tih brojeva je: n-ti korijen od (a1a2…*an)

58
Q

Kada je niz rastući?

A

Niz je rastući ako je

an <= an+1, ∀n€N

59
Q

Kada je niz padajući?

A

Niz je padajući ako je

an >= an+1, ∀n€N

60
Q

Kada je niz monoton?

A

Niz je monoton ako je rastući ili padajući

61
Q

Kada je niz omeđen odozdo?

A

Niz je omeđen odozdo ako postoji m€R takav da je an>=m,
∀n€N

62
Q

Kada je niz omeđen odozgo?

A

Niz je omeđen odozgo ako postoji M€R takav da je an<=M,
∀n€R

63
Q

Što je supermum?

A

Supermum je najmanja gornja međa skupa koji sadrži sve članove niza (an)

64
Q

Što je infinum?

A

Infinum je najveća donja međa skupa koji sadrži sve članove niza (an)

65
Q

Kada je niz omeđen?

A

Niz je omeđen ako je omeđen odozdo i odozgo, odnosno ako postojoe m,M€R takvi da je

m<=an<=M, ∀n€N

66
Q

Navedi primjer omeđenog niza

A

an=1/n jer 0<an<1

67
Q

Kada niz teži prema +∞ (divergent)

A

Za niz (an) kažemo da teži prema +∞ ako za svaki M€R postoji n0€N takav da je an>M za svaki n>n0

68
Q

Kada niz teži prema -∞ (divergent)

A

Niz teži prema -∞ ako za svaki m€R postoji n0€N takav da je an<m>n0</m>

69
Q

Definiraj okolinu

A

Okolina realnog broja a je svaki otvoreni interval oko a:

O(a,ϵ) = {x€R | a-ϵ < x < a+ϵ}

70
Q

Definiraj gomilište

A

Za realan broj a kažemo da je gomilište niza (an) ako se u svakoj okolini broja a nalazi beskonačno mnogo članova tog niza

71
Q

Definiraj limes niza

A

Za realan broj a kažemo da je granična vrijednost ili limes niza (an) ako se u svakoj okolini od a nalazi beskonačno mnogo članova niza, a izvan te okoline samo konačno mnogo njih

72
Q

Kako nazivamo nizove koji imaju limes?

A

Konvergentnim nizovima

73
Q

Kako zovemo nizove koji nisu konvergentni

A

Divergentni nizovi

74
Q

Može li niz imati više limesa

A

Ne

75
Q

Je li svako gomilište limes?

A

Primijetimo da je limes gomilište, ali svako gomilište nije limes

76
Q

Definiraj red realnih brojeva

A

Red realnih brojeva je suma beskonačno mnogo pribrojnika koji se nalaze u zadanom poretku

77
Q

Kada kažemo da red konvergira?

A

Red konvergira ako konvergira pripadni niz parcijalnih suma

78
Q

Čemu je jednaka suma reda?

A

Suma reda jednaka je limesu niza parcijalnih suma

79
Q

Kada je red geometrijski?

A

Red je geometrijski ako je pripadni niz (an) geometrijski

80
Q

Kada red nazivamo redom s pozitivnim članovima?

A

Red nazivamo redom s pozitivnim članovima ako je an>=0 za svaki n€N

81
Q

Objasni Cauchyev kriterij

A

Cauchyev kriterij govori ukoliko je

lim n->∞ od n-ti korijen od an = q

gdje je

q<1 red konvergira
q>1 red divergira
q=1 nema odluke

82
Q

Objasni D’Alembertov kriterij

A

D’Alembertov kriterij govori ukoliko je

lim n->∞ od an+1/an = q

gdje je

q<1 red konvergira
q>1 red divergira
q=1 nema odluke

83
Q

Kada funkcija ima beskonačni limes u točki?

A

Kada se vrijednost funkcije s približavanjem nekom realnom broju ne približava realnoj vrijednosti, nego teži u +∞ ili u -∞, kažemo da funkcija u toj točki ima beskonačni limes

84
Q

Definiraj limes funkcije

A

Kažemo da je realni broj L limes funkcije f u točki a ako za svaki
ε > 0 postoji δ > 0 takav da za svaki x€Df \ {a} vrijedi

0 < | x - a | < δ => | f(x) - L | < ε

ili druga definicija

Kažemo da je realni broj L limes funkcije f u točki a ako za svaki niz (an) iz Df, takav da je svaki
an != a i lim n->∞ od an = a, vrijedi

lim n -> ∞ od f(an) = L

85
Q

Što je to izolirana točka?

A

Za a iz domene funkcije
kažemo da je izolirana točka ako postoji takva njezina okolina u kojoj nema drugih članova domene

86
Q

Kada kažemo da je neki realni broj limes zdesna?

A

Kažemo da je realni broj L+ limes zdesna funkcije f u točki a ako za svaki niz (an) iz Df
(gdje je an > a za svaki n) takav da je lim n→ ∞ od an = a

vrijedi

lim n→∞ od f(an) = L+

87
Q

Kada kažemo da je neki realni broj limes slijeva?

A

Kažemo da je realni broj L+ limes slijeva funkcije f u točki a ako za svaki niz (an) iz Df
(gdje je an < a za svaki n) takav da je lim n→ ∞ od an = a

vrijedi

lim n→∞ od f(an) = L-

88
Q

Kada je funkcija neprekidna?

A

Funkcija f je neprekidna u točki a ∈ Df ako vrijedi

limx→a od f(x) = f(a)

89
Q

Kada je funkcija neprekidna u točki?

A

Funkcija f je neprekidna u točki a ∈ Df ako za svaki ϵ > 0 postoji
δ > 0 takav da
|x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ϵ

90
Q

Kada kažemo da funkcija f ima prekid u točki a?

A

Kažemo da funkcija f ima prekid u točki a, koja pripada domeni
funkcije ili je granična za to područje, ako limx→a od f(x) ne postoji ili postoji ali nije jednak f(a).

91
Q

Koje su tri vrste prekida funkcije

A

Točka prekida prve vrste
Uklonjivi prekid
Točka prekida druge vrste

92
Q

Kada a nazivamo točkom prekida prve vrste?

A

Neka je funkcija f definirana u nekoj okolini <a-ϵ, a+ϵ> točke a,
osim možda u samoj točki a. Ako za funkciju f postoje konačni limesi
L1 = lim x→a− od f(x),
L2 = lim x→a+ od f(x)
pri čemu nisu sva tri broja L1, L2, f(a) međusobno jednaka, onda a nazivamo točkom prekida prve vrste.

93
Q

Kada a nazivamo uklonjivim prekidom?

A

Ako je L1 = L2 (označimo s L tu vrijednost), a funkcija f ili nije
definirana u a ili je f(a) 6 != L, tada a nazivamo uklonjivim
prekidom.

94
Q

Kada točku nazivamo prekidom druge vrste?

A

Sve točke prekida funkcije, koje nisu točke prekida prve vrste,
nazivamo točkama prekida druge vrste

95
Q

Navedi primjer prekida prve vrste i to neuklonjivog

A

. {sinx/|x|, x != 0
f(x) = {
{1, x = 0

96
Q

Navedi primjer prekida prve vrste i to uklonjivog

A

. { x, x != 7
f(x) = {
{ 5, x= 7

97
Q

Navedi primjer prekida druge vrste

A

. { 1/(x-2), x != 2
f(x) = {
{ 0, x= 2

98
Q

Kada je funkcija neprekidna na intervalu?

A

Funkcija je neprekidna na intervalu ako je neprekidna u svakoj točki tog intervala

99
Q

Kada je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu?

A

Funkcija f neprekidna je na zatvorenom intervalu (segmentu) [a, b]
ako je ona neprekidna u svakoj točki x, gdje je a < x < b, te je
neprekidna zdesna u a i slijeva u b

100
Q

Objasni teorem o međuvrijednosti

A

Neka je f neprekidna na segmentu [a, b] i neka je f(a) = A, f(b) = B te
A < C < B. Tada postoji c ∈ <a, b> takav da je f(c) = C

101
Q

Objasni teorem o ekstremima neprekidne funkcije na zatvorenom intervalu

A

Neka je f neprekidna na segmentu [a, b]. Tada vrijedi:
1 f je omedena na [a, b],
2 f poprima minimalnu i maksimalnu vrijednost na [a, b].

102
Q

Definiraj vektor

A

Skup svih međusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina nazivamo vektorom

103
Q

Čime je određen vektor?

A

Duljinom, smjerom, orijentacijom

104
Q

Kada su dva vektora jednaka?

A

Dva vektora su jednaka ako su jednake duljine, imaju isti smjer i orijentaciju

105
Q

Kada su dva vektora suprotna?

A

Dva vektora su suprotna ako su jednake duljine, imaju isti smjer, ali suprotnu orijentaciju. Suprotan vektor vektoru a označavamo s −a. (Iznad vektora ide strelica)

106
Q

Definiraj nul vektor

A

Nul vektor je vektor duljine 0

107
Q

Definiraj jedinični vektor

A

Jedinični vektor je vektor duljine 1

108
Q

Kada kažemo da smo vektor normirali?

A

Ukoliko dobijemo vektor na sljedeći način:

vektor a0 = vek a/ vek |a|

109
Q

Kada su vektori kolinearni?

A

Vektori koji pripadaju istom ili paralelnim pravcima nazivaju se
kolinearni vektori

110
Q

Kada su vektori komplanarni?

A

Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim ravninama nazivaju se komplanarni vektori

111
Q

Definiraj radijvektor

A

Neka postoji točka 0 koja pripada nekoj ravnini te neki vektor u toj istoj ravnini, tada postoji točka T za koju vrijedi

vek OT = vek AB

vek OT je radijvektor

112
Q

Definiraj zbrajanje vektora

A

~ = vektor
Zbrajanje vektora je funkcija

+ : V × V → V
(~a,~b) = ~a + ~b
koja paru vektora pridružuje njihov zbroj

113
Q

Definiraj oduzimanje vektora

A

Oduzimanje vektora definira se kao operacija zbrajanja sa suprotnim vektorom:
~a − ~b = ~a + (−~b)

114
Q

Definiraj množenje vektora skalarom

A

Množenje vektora skalarom je funkcija
· : R × V → V
(α,~a) = α~a
koja paru vektora i skalara (α,~a) pridružuje vektor α~a.

115
Q

Definiraj vektorski prostor

A

Skup V s operacijama zbrajanja i množenja sa skalarom, zapisujemo (V, +, *)

116
Q

Definiraj linearnu kombinaciju vekotra

A

Neka su ~a1,~a2, . . . , ~an vektori i α1, α2, . . . , αn realni brojevi.
Vektor ~b = α1~a1 + α2~a2 + · · · + αn~an
se zove linearna kombinacija vektora ~a1,~a2, . . . ,~an s koeficijentima α1, α2, . . . , αn .

117
Q

Kada su vektori linearno nezavisni

A

Vektori ~a1,~a2, . . . ,~an su linearno nezavisni ako:
α1~a1 + α2~a2 + · · · + αn~an = 0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0

118
Q

Od čega se sastoji kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav

A

tri međusobno okomite osi:
Ox - os apscisa
Oy - os ordinata
Oz - os aplikata

119
Q

Što je kanonska baza prostora R^3?

A

Trojka vektora (~i,~j,~k)

120
Q

Što je dimenzija vektorskog prostora?

A

Dimenzija vektorskog prostora V maksimalan je broj linearno
nezavisnih vektora u njemu. Standarno se oznacava s dimV

121
Q

Definiraj skalarni umnožak vektora

A

Skalarni umnožak vektora je funkcija

· : V × V → R
(~a,~b) 7→ ~a · ~b

koja paru vektora pridružuje realan broj, te koja je definirana s:

~a · ~b = |~a| · |~b| · cos ϕ

122
Q

Nabroji svojstva skalarnog umnoška

A

Pozitivnost, Homogenost, Komutativnost, Distributivnost množenja prema zbrajanju

123
Q

Definiraj vektorski umnožak

A

Vektorski umnožak vektora je funkcija

× : V × V → V
(~a, ~b) → ~a × ~b

koja paru vektora (~a,~b) pridružuje vektor ~c = ~a × ~b koji je okomit na vektore ~a i ~b

124
Q

Definiraj mješoviti umnožak vektora

A

Mješoviti umnožak vektora je funkcija

() : V × V × V → R

koja trojci vektora (~a,
~b,~c) pridružuje realni broj i koja je definirana na sljedeći način:

(~a, ~b,~c) = (~a × ~b) · ~c

125
Q

Što je geometrijska interpretacija mješovitog produkta

A

Apsolutna vrijednost mješovitog umnoška triju vektora
jednaka je volumenu paralelepipeda razapetog tim vektorima

126
Q

Kakva je to ortogonalna baza?

A

Baza u kojoj su svaka dva vektora međusobno okomita

127
Q

Kakva je to ortonormirana baza

A

Baza čiji su vektori jedinične duljine

128
Q

Kakvi su to mimosmjerni pravci?

A

Mimosmjerni pravci nemaju zajedničku točku i njihovi vektori smjera nisu kolinearni.

129
Q

Definiraj vektorski potprostor

A

Neka je V vektorski prostor nad F i M neki njegov neprazan podskup.
Kažemo da je M potprostor od V ako je i (M, +, ·) vektorski prostor nad F uz iste operacije iz V

130
Q

Definiraj bazu vektorskog prostora

A

Neka je V vektorski prostor. Baza vektorskog prostora V je svaki skup
{v1, v2, . . . , vk } koji ima sljedeca dva svojstva:

1 vektori v1, v2, . . . , vk su linearno nezavisni
2 svaki drugi vektor x ∈ V se može zapisati kao linearna kombinacija vektora v1, v2, . . . , vk .

131
Q

Navedi primjer vektorskog prostora

A

Za nas je najvažniji primjer vektorskog prostora prostor R^n.

Skup {e1, e2, . . . , en} gdje je:
e1 = (1, 0, . . . , 0)
e2 = (0, 1, . . . , 0)
.
.
.
en = (0, 0, . . . , 1)
nazivamo kanonska baza prostora R^n

132
Q

Što je linearni operator?

A

Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F.
Preslikavanje A : V → W naziva se linearni operator s V u W ako vrijede
svojstva: Aditivnost, Homogenost

133
Q

Navedi primjer linearnog operatora

A

Neka je V vektorski prostor nad poljem F, te λ ∈ F

Preslikavanje A : V → V dano s:

A(x) = λx

je linearni operator

134
Q

Što je to nuloperator?

A

za λ = 0, riječ je o nuloperatoru koji svaki vektor iz V preslikava u nulvektor:

A(x) = 0V

135
Q

Što je to jedinični operator?

A

za λ = 1, rijec je o jediničnom operatoru
I : V → V ili identitetu:

I(x) = x, x ∈ V

136
Q

Što je slika linearnog operatora?

A

Neka je A : V → W linearan operator.

Slika linearnog operatora A je skup
S(A) = {A(x) : x ∈ V}

137
Q

Što je jezgra linearnog operatora?

A

Jezgra linearnog operatora A je skup

J(A) = {x ∈ V : A(x) = 0W }

138
Q

Čemu je jednak rang inearnog operatora A

A

Neka je A : V → W linearan operator. Ako je slika S(A) operatora A
konačnodimenzionalni potprostor od W, tada je rang linearnog
operatora A dimenzija potprostora S(A). Pišemo:

r(A) = dimS(A)

139
Q

Čemu je jednak defekt linearnog operatora?

A

Ako je jezgra J(A) operatora A konacnodimenzionalni potprostor od ˇ V,
tada je defekt linearnog operatora A dimenzija potprostora J(A).
Pišemo:

d(A) = dimJ(A)

140
Q

Što je homotetija?

A

Homotetija u ravnini je preslikavanje
A : V^2 → V^2

koja vektoru ~a = x ~i + y ~j pridružuje vektor:

A(~a) = A(x~i + y~j) = λx~i + y~j

Mat 2 zav (1 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions