LV 1

Question 1

Vad är en delmängd?

Answer 1

A ⊆ B betyder att A är delmängd av B, om x∈A så x∈B.
Ex. A= {1,2,3} ⊆ B= {1,2,3,4,5}

Question 2

Vad är en äkta delmängd?

Answer 2

A ⊂ B men A≠B

Question 3

Vad innebär snitt?

Answer 3

A∩B = {x; x∈A ∧ x∈B}
Alltså mängden som innehåller vad både A och B har gemensamt.

Question 4

Vad innebär A\B?

Answer 4

Mängddifferens.
{x; x∈A och x∉B}
Mängden av alla A som inte tillhör B.

Question 5

Vad betyder AC

Answer 5

Komplementmängd.
{x: x∉A}
Mängden av alla x som inte tillhör A. Har vi A= {1,2,3} och U={1,2,3,4,5,6} är AC={4,5,6}

Question 6

Definition: Funktion

Answer 6

En funktion, f, är en regel som mot varje element a i en mängd A ordnar ett (och endast ett) element f(a) i en annan mängd B.
F är en funktion från A till B, f: A->B
En funktionsdeklarstion innehåller tre saker:
- En regel
- En definitionsmängd
- En målmängd

Question 7

Vad är definitionsmängd?

Answer 7

Dƒ är de tillåtna värderna på x (i ℝ).

Question 8

Definition: Värdemängd

Answer 8

Alla värden som en funktion f kan anta kallas för f:s värdemängd. Betecknas Vf.

Question 9

Definition: Ekvations graf

Answer 9

Grafen till en ekvation är mängden av alla punkter vars koordinater uppfyller ekvationen.
Grafen till en funktion f är grafen till ekvationen y=f(x) ∀ x∈Df

Question 10

Vad är sammansatta funktioner?

Answer 10

Kombination av två funktioner.
(i) f(x) ± g(x)
(ii) f(x)•g(x)
(iii) f(x)/g(x)

Question 11

Definition Sammansatt definition

Answer 11

Givet två funktioner f,g, låter vi fog beteckna sammansättningen av f och g:
(fog)(x) f(g(x))
Dfog={x∈Dg;g(x)∈Df}

I f(g(x)) är f yttre och g inre funktion.
I allmänhet gäller att fog≠gof

Question 12

Vad är en invers funktion?

Answer 12

Omvänd operation av funktioner. f-¹, ø. Neutraliserar effekten av f.
f-¹(f(x))=x f-¹(f(y))=y
Kan ge falska svar (ex. x²=4 kan x vara både ±2, men en funktion tillåter endast ett svar).
Värdet på inversen utgår alltid från vad som är ok i funktionen.

Question 13

Definition: Objektiva funktioner

Answer 13

En funktion f(x) sägs vara objektiv om x1≠x2 medför f(x1)≠f(x2) ∀x1,x2∈Df eller ekvalent om f(x1)=f(x2) medför x1=x2 ∀x1,x2∈Df

f injektiv: Finns en invers funktion f-¹ som defineras av f-¹(f(x))=x f(f-¹(y))=y

Question 14

Invers funktion värde-/definitionsmängd

Answer 14

Df-1 = Vf
Vf-1 = Df

Question 15

Definition: Exponentialfunktion

Answer 15

En funktion av formen f(x)=a^x
a>0
x∈ℝ

Obs! Inte samma sak som potensfunktion (x^a)

Question 16

För f(x)=a^x
a>0 gäller?

Answer 16

1. Df = ℝ
2. Vf = (0,∞)
3. Grafen till f(x)=a^x går genom (0,1) ∀ a>0
4. f(x)=a^x är strängt:
   - växande för a>1
   - avtagande för a<1

Question 17

Definition: Naturliga exponentfunktionen

Answer 17

1. Tangenten till en kurva i en punkt (a,b) är den räta linje genom punkten (a,b) som har samma vinkel på båda sidor.
2. Den Exponentialfunktion vars Tangen i punkten (0,1) skär x-axeln i punkten (-1,0) kallas den naturliga exponentialfunktionen.
   Basen för denna kallas e.

Question 18

Vad är e?

Answer 18

y=f(x)=e^x
Den naturlig exponentfunktionen

Question 19

Vad gäller för e^x?

Answer 19

1. Df = ℝ
2. Vf = (0,∞)
3. Strängt växande (e>1) är injektiv; uppfyller dubbla linjaltestet.

Question 20

Definition: Naturliga logaritmfunktionen

Answer 20

Inversen till f(x)=e^x kallas den naturliga logaritmfunktionen.
Betecknas f-¹(x)=ln(x)

Question 21

Naturliga logaritmfunktionen

Answer 21

f-¹(f(x))=x ∀x∈Df
ln(e^x)=x ∀x∈ℝ
f(f-¹(x))=x ∀x∈Df-¹=Vf
e^ln(x)=x ∀x∈(0,∞)

ln(0,∞) → ℝ
ln(e^x)=x ∀x∈ℝ
e^ln(x)=x ∀x∈(0,∞)

1. ln(x) strängt växande, går mot ∞ då x går mot ∞
2. ln(1)=0 då e⁰=1 (ln(e⁰)=ln(1) ⇔ 0=ln(1) )

ln: (0,∞) →ℝ
ln(e^x)=x ∀x∈ℝ
e^ln(x)=x ∀x∈(0,∞)

Question 22

Logaritmlagarna

Answer 22

När x>0, y>0 gäller att:

1. ln(xy) = ln(x) + ln(y)
2. ln(x/y) = ln(x) - ln(y)
3. ln(x^p) = p•ln(x), p∈ℝ