kvadratna funkcija

Question 1

Definiraj kvadratno funkcijo.

Answer 1

ƒ : R → R je funkcija oblike:
ƒ(x) = ax2 + bx2 + c; a, b, c ∈ ; a ≠ 0

Question 2

Naštej vsaj štiri lastnosti kvadratne funkcije in jih pojasni.

Answer 2

1. Začetna vrednost ƒ(0) kvadratne funkcije ƒ(x) = аx2 + bx2 + c je enaka prostemu členu c , ki določa
   presečišče parabole z osjo y.
2. Vodilni koeficient a kvadratne funkcije ƒ(x) = аx2 + bx2 + c določa obliko in hitrost spreminjanja
   strmine njenega grafa (parabole), in sicer:
   a) če je а > 0 je parabola navzgor razprta (ima obliko črke U). Njeno teme ima v tem primeru od vseh točk
   najmanjšo funkcijsko vrednost (teme je minimum);
   b) če je а < 0 je parabola navzdol razprta. Njeno teme ima v tem primeru od vseh točk največjo
   funkcijsko vrednost (teme je maksimum).
   Velja tudi: čim večja oziroma manjša je |а|, tem hitreje narašča ali pada strmina parabole.
3. Definicijsko območje kvadratne funkcije je množica vseh realnih števil, Df = R.
4. Njena zaloga vrednosti je odvisna od ordinate q temena T( p, q ), in sicer:
   a) če je а > 0 , je Zf = [q, ∞)
   b) če je а < 0, je Zf = ( −∞, q]
5. Omejenost;
   a) Če je а > 0 , je funkcija navzdol omejena, s spodnjo mejo m = q.
   b) Če je а < 0, je funkcija navzgor omejena, z zgornjo mejo M = q
6. Kvadratna funkcija ƒ : R → R ni injektivna, surjektivna in ni bijektivna.

Question 3

Ali obstaja kvadratna funkcija, ki je liha? Poišči vse sode kvadratne funkcije.

Answer 3

• Kvadratna funkcija ne more biti liha.
• Vse sode kvadratne funkcije so oblike: ax2 + c (tiste, ki niso premaknjene v levo oziroma desno).

Question 4

Povej primer navzgor omejene kvadratne funkcije, katere graf seka ordinatno os v točki N(0, 3).

Answer 4

• f(x) = −2x2 + 4x + 3
• Vodilni koeficient mora biti manjši od nič, začetna vrednost pa 3

Question 5

Povej temensko obliko predpisa kvadratne funkcije. Kako je njen graf odvisen od vodilnega koeficienta
ter koordinat temena?

Answer 5

• Temenska oblika predpisa kvadratne funkcije: f(x) = a(x − p)2 + q
• Kjer so:
  -> a vodilni koeficient
  -> p in q koordinati temena parabole T(p, q).
• Teme je točka T(p, q), v kateri kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost (točka, ki leži najnižje ali najvišje glede na y os).
• Od vodilnega koeficienta (a) je odvisna oblika funkcije.
  -> Če je a > 0 je parabola obrnjena navzgor
  -> Če je a < 0 je parabola obrnjena navzdol
• Širina parabole je odvisna od absolutne vrednosti vodilnega koeficienta |a|.
  -> Večja je absolutna vrednost, ožja in bolj strma je parabola:

Question 6

Kaj je teme grafa kvadratne funkcije? Kako ga izračunamo?

Answer 6

• Teme je točka T(p, q), v kateri kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost (točka, ki leži najnižje ali najvišje
  glede na y os – minimalna ali maksimalna vrednost).
• Koordinati temena lahko izračunamo z enačbama.
• Enačbi:
  p = b/2a
  q = D/4a
  kjer je D diskriminanta, katero izračunamo z enačbo: D=b2 − 4ac

Question 7

Izpelji temensko obliko predpisa kvadratne funkcije.

Answer 7

Temenska oblika predpisa funkcije nam pove, v kateri točki ima kvadratna funkcija f(x), teme.
Izpeljava:
f(x) = ax2 + bx + c
f(x) = a(x2 +bx/a+c/a)
f(x) = a((x +b/2a)2−((b2)/(4a2))+c/a)
f(x) = a(x +b/2a)2 −b2/4a+ c
f(x) = a(x +b/2a)2 − (b2−4ac)/4a
f(x) = a(x − p)2 + q, pri čemer je teme točka T(p, q)

Question 8

Povej primer navzgor omejene kvadratne funkcije, katere graf ima teme v prvem kvadrantu.

Answer 8

• Za funkcijo s predpisom f(x) = a(x − p)2 + q more veljati a < 0; p > 0; q > 0
• PRIMER:
  f(x) = −3(x − 5)2 + 2

Question 9

Definiraj ničlo funkcije in povej ničelno obliko predpisa kvadratne funkcije.

Answer 9

• Ničla funkcije je tisto število na osi x, kjer graf seka ali pa se dotakne osi x, f(x) = 0 .
• Ničli sta rešitvi enačbe ax2 + bx + c = 0. Če ima enačba eno dvojno rešitev (x1 = x2), se parabola v realni ničli dotika abscisne osi.
• Če imamo dve različni ničli lihe stopnje parabola seka abscisno os, pri realnih ničlah sode stopnje pa se je dotakne.
• Ničelna oblika predpisa funkcije je f(x) = a(x − x1)(x − x2)

Question 10

Kaj je diskriminanta kvadratne funkcije?

Answer 10

• Diskriminanta kvadratne funkcije nam pove, koliko realnih ničel ima funkcija.
• Z diskriminanto si lahko
• pomagamo v primeru, ko kvadratne enačbe ne moremo rešiti z Vietovim pravilom.
• Enačba diskriminante je D = b2 – 4ac
• Ko izračunamo diskriminanto pa ničle dobimo po formuli x1,2 =(−b±√(b2−4ac))/2a

Question 11

Razloži pomen diskriminante kvadratne funkcije pri iskanju njenih ničel.

Answer 11

• Kvadratna enačba: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, a, b, c∈R
• Za iskanje ničel kvadratne enačbe lahko uporabimo Vietovo pravilo, ali naslednjo formulo: D = b2 – 4ac; x1,2 =(−b±√(b2−4ac))/2a
• Rešitve kvadratne enačbe z realnimi koeficienti so odvisne od diskriminante (D).
  -> Če je:
  D > 0, ima enačba dve različni realni rešitvi,
  D = 0, ima enačba dve enaki realni rešitvi,
  D < 0, enačba nima realnih rešitev. Ima dve konjugirani kompleksni rešitvi.

Question 12

Razloži zvezo med ničlami kvadratne funkcije in absciso temena njenega grafa.

Answer 12

• Abscisa temena (znana tudi kot x-koordinata temena) kvadratne funkcije je določena s formulo xt = −b/2a
• Razmerje med ničlami in absciso temena:
  -> Če so ničle realne (D > 0), potem velja, da je abscisa temena povprečna vrednost obeh ničel: xt = (x1+x2)/2
  -> Če so ničle realne in enake (D = 0), potem bosta obe ničli enaki in abscisa temena bo enaka tej vrednosti: xt =x1=x2.
  -> Če so ničle kompleksne (D < 0), potem funkcija ne seka x-osi in nima realnih ničel. V tem primeru abscisa temena xt obstaja in je enaka −b/2a, čeprav ničle funkcije niso realne.

Question 13

Kaj je kvadratna enačba? Kako jo rešimo?

Answer 13

• Kvadratna enačba je enačba, ki jo lahko zapišemo kot:
  ax2 + bx + c = 0
  -> Pri tem so koeficienti a, b in c poljubna realna števila. Koeficient a imenujemo koeficient kvadratnega člena ali
  vodilni koeficient, b koeficient linearnega člena in c stalni, svobodni, prosti, ali konstantni člen.
• Postopek reševanja:
  -> Kvadratna enačba ima dve rešitvi, ki ju izračunamo po obrazcu: x1,2 = −b ± √D/2a

Question 14

Kako je z rešljivostjo kvadratne enačbe v množici realnih števil in kako v množici kompleksnih števil?
Povej in reši primer kvadratne enačbe, ki ima dve konjugirano kompleksni rešitvi.

Answer 14

• D > 0, ima enačba dve različni realni rešitvi,
• D = 0, ima enačba dve enaki realni rešitvi,
• D < 0, enačba nima realnih rešitev. Ima dve konjugirani kompleksni rešitvi.
• Če je diskriminanta manjša od nič, torej negativna je rešitev kompleksna. Kompleksne rešitve vedno nastopajo
  v konjugiranih parih.
  -> Primer: x2 + 4 = 0. Rešitvi te enačbe za konjugirani kompleksni števili x = ±2i.