kompleksna števila Flashcards
definirajte množico k št.
kompleksna števila so števila oblike z=a+bi, pri čemer sta a in b poljubni realni števili, i pa je imaginarna enota za katero velja i2=1
kako grafično upodobimo kompleksna števila
upodobimo s točkami v kompleksni ravnini, ki jo določata med seboj pravokotna vodoravna realna os z enoto 1 in napična imaginana os z enoto i
definirajte operacijo sesštevana v množici C
z1=a+bi z2=c+di
z1+z2=(a+c) + (b+d)i
opišite geometrijski pomen seštevanja kompleksnih števil
urejenemu paru realnih števil ki določa kompleksno število z1 pripada krajevni vektor r,=a,b
urejenemu paru ki določa kompleksno število z2 pa krajevni vekktor r2= (c,d)
vsoti k št. pripada krajevni vektor r1+r2=(a+c,b+d)
definiraj operacijo množenja v množici kompleknih števil
z1.z2=(a+bi) (c+di) =(ac-db) + (ad+dc)i
opišite geometrijski pomen množenja k št. s številom -1
dobimo njegovo nasprotno število. točki z in -z sta simetrični glede na koordinatno izhodišče
opišite geometrijski pomen množenja kompleksnega števila s pozitivnim realnim številom
pareu števil a,b ki določa kompleksno število, pripada krajevni vektor. Produktu kompleksnega števila s pozitivnim št. k pa prišada krajevni vektor ki ga dovimo z raztegom vektorja iz k izhodišča za faktor k
definiraj absolutno vrednost kompleksnega števila.
je kvadratni koren produkta števila z in njegove konjugirane vrednosti, je oddaljenost od toče od koordinatnega izhodišča
predstavite množico točk (z; /3/) zapišite primer kompleksnega števila iz te množice kjer je a pozitivno in b negativno
množica tistih točk, katerih razdalja od k.i. je manjša ali enaka 3. To je krog s središčem v koordinati in polmerom 3
deffinirajte konugirano vrednost k.št. in razložite njen geometriski pomen
kompleksno število in njegova knjugirana vrednost se razlikjeta lee v predzaku imaginarne komponente. Zrcaljenje št. z čez realno os v kompleksni ravninni
definirajte vzporednost premice v ravnini
premici sta vzporedni če ležita v isti ravnini in nimata nobene skupne točke ali sovpadata
naštej vse možne medsebojne lege dveh premic v ravnini
se sekata v eni točki
nimata nobene skupne točke ali sovpadata
naštejte dve lastnosti relacije vzporednosti premic v ravnini
ekvivalenčna relacija:
refleksivna relacija- premica je vzporedna sama sebi
simetrična relacija
tranzitivna relacija
povejte aksiom o vzporednici
skozi dano točko a ki ne leži na premici p lahko položimo le eno vzporednico k premici
pojasnite pojme ničelni, previ, iztegnjeni in polni kot
če se poltraka s skupnim krališčem prekrivata, določata dva kota: poln kot, ki je cela ravnina in ničelni kot, ki nima notranjih točk
pravi kot je kot ki ima pravokotna kraka
kraka iztegnjenega kota ležita na isti premici in sta nasprotno usmerjena
pojasnite pojma sokota in sovršna kota
kota ki imata en skupen krak, presek njunih notranjosti pa je prazna množica sta SOSEDNA KOTA
sosedna kota katerih kraka ki nista skupna ležita na isti premici sta SOKOTA
SOVRŠNA KOTA imata skupen vrh, vsak krak prvega kota pa se z krakom drugega dopolnjuje v premico
kdaj je kot oster in kdaj top
OSTRI KOT je kot ki je manjši od svojega sokota
TOPI KOT je kot ki je večji od svojega sokota
kdaj sta kota suplementarna/komplementarna
komplementarna- vsota njunih velikosti 90 °
suplementarna- vsota njuni velikosti -180°
definirajte kotno stopinjo, kotno minuto in kotno sekundo
kotna stopina je enaka 360. delu polnega kota
kotna minuta je 1/60 kotne stopinje
kotna sekunda je 1/3600 kotne stopinje
definirajte radian
1 radian je velikost kota v krogu ki mu pripada lok krožnice, katerega dolžina je enaka polmeru kroga
koliko stopinj meri 1 radian
57,296
kdaj sta kota skladna
ko sta enako velika
definiraj trikotnik
trikotnik je konveksna množica točk v ravnini ki je omejena z zveznicami 3 točk
definiraj notranji in zunanji kot trikotnika
notranji kot ima vrh v ogljišču, kraka pa ležita na stranicah trikotnika
zunanji kot je enak vsoti notranjih nepriležnih
sta sokota
opiši konstrukcijo simetrale daljice
zapičimo šestilo v vsako od krajišč daljice in na obe polravnini odmerimo lok z enakim polmerom. Točki v katerih se loka sekata povežemo.
opiši konstrukcijo simetrale kota
narišemo lok s polmerom poljubne dolžine s središčem v vrhu kota. lok seka kraka v točkah. Iz teh točk odmerimo lok s polmerom enake dolžine. Presečišče teh lokov povežemo s vrhom kota
kako poiščemo težišče, središče včrtane/očrtane krožnice trikotnika in višinsko točko
težiščnice trikotnika se sekajo v težišču
simetrale stranic se sekajo v središču očrtane krožnice
simetrale notranjih kotov se sekajo v središču včrtane krožnice
nosilke višin se sekajo v višinski točki
definiraj skladnost likov
lika sta skladna če obstaja toga preslikava ki prvi lik preslika v drugega
trikotnika sta skladna če imata paroma skladnih stranic in paroma skladih kotov
povejte 4 izreke o skladnnosti
trikotnika sta skladna če se ujemata:
v vseh treh stranicah
v eni stranici in priležnima kotoma
v dveh stranicah in kotu med njima
v dveh stranicah in kotu ki leži daljši nasproti
definirajte podobnost likov
dva lika sta podobna, če obstaja podobnostna preslikava, ki preslika en lik v drugega. Podobna lika imata paroma skladne kote in se ujemata v razmerju enakoležnih stranic
povejte tri izreke o podobnosti trikotnikov
dva trikotnika sta si podobna če se ujemata:
v 2 notranjih kotih
v kotu in razmerju stranic ki ga oklepata
v dveh razmerjih enakoležnih stranic
definirajte paralelogram
štirikotnik z dvema paroma vzporednih stranic
navedite lastnosti kotov in stranic v paralelogramu
nasprotni stranici enako dolgi
nasprotna kota skladna, sosedna kota suplementarna
navedite posebne vrste paralelogramov in opišite njihove lastnosti
pravokotnik- stranice pravokotne, diagonale enako dolge
kvadrat- pravokotnik, stranice enako dolge, diagonali sta pravokotni, se razpolalvljata in razpolavljata notranje kota
romb-vse tranice so enako dolge, iagonali se rapolavljata, razpolavljata notranje kote
kaj velja za diagonali paralelorama
se razpolavljata
definirajte trapez
štirikotnik ki ima dve straici vzporedni- osnovnici. drugi dve sta kraka trapeza
navedite lastnosti krakov trapeza
notranja kota ob istem kraku sta suplementarna
kaj je srednjica trapeza in katere lastnosti ima
je daljica ki povezuje središča dveh krakov. je vzporedna osnovnicama. njena dolžina je artimetična sredina dolžin osnovnic.
kdaj je trapez enakokrak. kaj velja za kote in diagonali v enakokrakem trapezu
če sta kraka enaka je trapez enakokrak. v enakokrakem trapezu sta diagonali enako dolgi, kota ob osnovnici a sta enako velika, isto velja za kota ob osnovnici c
v kakšni medsebojni legi sta lahko premica in krožnica ki ležita v isti ravnini
dve skupni toki-sekanta
eno skupno točko- tangenta
nimata skupnih točk
kakko imenujemo daljico ki povezuje dve točki a krožnici
tetiva
opišite konstrukcijo tangente
točko s prezrcalimo čez točko a, tetiva je simetrala
definirate središčni in obodni kot
obodni kot je tisti, ki ima vrh na krožnici, kraka pa potekata skozi toči A,B na krožnici. Lob AB ki kotu pripada je tisti del krožnice ki ne vključuje vrha kota. Pripadajoči središčni kot med lokom AB ima vrh v središču krožice, kraka pa potekata skozi A in B
V KAKŠNI ZVEZI STA ČE LEŽITA NAD ISTIM LOOM KROGA
središčni kot je 2krat večji od obodnega kota nad istim lokom. Obodni koti nad istim lokom so skladni
povejte in dokažite talesov izrek
obodni kot nad lokom, ki je polovica krožnice je pravi kot
DOKAZ- središčni kot je iztegnjeni kot in meri 180. posledično je velikost pripadajočega kota 90
povejte sinusni izrek
kvadrat stranice v trikotniku je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic, zmanjšani za produkt teh stranic in kosinusa kota med njima
sinusni izrek
dolžine stranic so v enakem razmerju kot sinusi kotov, ki ležijo tem stranicam nasproti
navedite formulo za ploščino paralelograma če sta dani
- osnovnica in višina na to osnovnico
-dolžini stranic in kot med njima
- S=a.v
-S=a.b.sina
kaj je krožni odsek. opišite postepoek izračuna pl
je del kroga ki ga omejujeta tetiva in krožni lok
ploščina je enaka razliki med ploščino ustreznega k izseka in trikotnikom
opišite pokončno prizmo
je oglato telo ki ga omejujejo vzporedna skladna n kotnika in n pravokotnikov
osnovni robovi, stranski robovi višina
kdaj je prizma enakoroba in kdaj pravilna
enakoroba- če so vsi robi enako dolgi
pravilna. če je pokončna in je njena osnovna ploskev pravilni n kotnik
opišite pokončni valj
dana naj bosta poljuben krog in premica ki gre skozi točko ustrezne krožnice pravokotno na ravnino kroga. Skozi vsako točko tega kroga postavimo vzporednico. če presekamo ta prostor z dvema prvotnemu krogu vzporednima ravninama dobimo dva skladna kroga
kaj je osni presek valja
je presek valja in ravnine ki vsebuje os valja
opišite pokončno piramido
oglato telo ki ga omejujejo n- kotnik in n enakokrakih trikotnikov. n kotnik je osnovna ploskev. triktoniki se v vrhu stikajo in tvorijo plašč
kdaj je piramida enakoroba in kdaj pravilna
enakoroba- enako dolgi robi
pravilna- pokončna in je osnovna ploskev pravilen n kotnik
definirajte pokončni stožec
pravokotni trikotnik zavrtimo za poln krog okoli katete. množico točk ki jo pri tem opišemo imenujemo stožec. krog ki ga opiše katete r je krog in je osnovna ploskev
opišite presek stožca z ravnino ki vsebue os stožca
enakokraki trikotnik
kaj je vektor
količina določena smerjo, usmerjenostjo in dolžino
definirajte seštevaje vektorev
trikotniško prsvilo- vektor b vzporedno premaknemo, tako da njegova zač točka sovpada s končno točko vektorja a. Vsota je vektor, ki ima zač točko v začetni točki vektorja a in končno točko v končni točki vektorja b
paralelogramsko pravilo
definirajte ničelni vektor in nasprotni vektor vekktorja
ničeli vektor je vektor ki ima začetno in ončno točko isto
vektorja ki imata enako smer in dolžino a sta nasprotno usmerjena sta si nasprotna
definirajte odštevanje vektorjev
razliko dobimo tako ,da vektoru a prištejemo nasprotno vrednost vektorja b
lastnosti seštevanje vektorjev
je komutativno, asociativno
vektor nič je nedejaven pri seštevanju
vsota vektorja a in -a je ničelni vektor
definirajte množenje vektorja s skalarji
zmnožek vektorja a z realnim številom k je vektor ka, kiima isto smer
ima isto usmerjenost, če k >0, in obratno če k<0
ima dolžino /k/ . /a/
kaj je enotski vektor
vektor z dolžino 1 enote
kakšna zveza velja med dvema eničelnema vektorjema ki sta vzporedna
obstaja tako realno število da je a=kb
opišite pravokotni koordinatni sistem v prostoru R3
določajo ga 3 paroma pravokotne številske premice, ki se sekajo v koordinatnem izhodišču
absicsna, ordinatna, aplikatna
definirajte standardno ortonomireno bazo v prostoru
enotski vektor i na poz poltraku a osi, enotski vektor j na pozitivnem poltraku o osi in enotski vektor a pozitivnem poltraku a osi tvorio standardno ortonomirano bazo
definirajte krajevni vektor dane točke v prostoru R
lego točke A v prostoru opišemo tudi na drug način, z vektorjem OA ki se začne v ki in konča v točki A
izrazite krajevni vektor ra točke a (a1.a2.a3) kot linearno kombinacijo vektorjev standardne ortonomirane baze prostora R
Realna števila a1,a2,a3 so hkrati koordinarne točke a in komponente krajevnega vektorja OA točke A. zapis:
OA= ai.aj.ak
naštej lastnoszi vektorjev
komutativnost
homogenost
distributivnost
skalarni produkt vektorja s samim seboj je nenegativno število
kako s skalarnim prosuktom ugotovimo ali sta vektorja pravokotna
vektorja a in b sta pravokotna natanko tedaj, ko je njun skalarni prosukt enak 0
kako izračunamo skalarni produkt dveh vektorje v standardni ortonomirani bazi
skalarni produkt vektorjev a in b je enak vsoti produktov isto ležečih komponent
kako izračunamo dolžino vektorja a v standardni ortonomirani bazi
dolžina vektorja a je po definiciji enaka kvadratnemu korenu skalarnega produkta vektorja a s samim seboj
v orrtonomirani bazi izračunamo dolžino vektora a kot kvadratni koren vsote kvadrarov komponent vektora a
definirajjte potenčno funkcijo z naravnim eksponentom
potenčna funkcija z naravnim eksponentom je racionalna funkcija realne spremenljivke z predpisom f(x)= xn
navedite vsaj 2 lastnosti potenčnih funkcij
definicijsko območje so vsa števila, grafi funkcije fredo skozi ki in točko T(1,1)
navedite osnovne razlike med potenčnimi funkcijamu s sodimi in lihimi eksponenti
sode- so sode, prvo padajoče potem naraščujoče, konveksne, omejene
lihe- so lihe naraščuoče in potem tudi, najprej konkavne potem konveksne, neomejene
definirajte zaporedje, kaj je graf zaporedja
zaporedje je funkcija, ki vsakemu naravnemu številu n priredi natanko določeo realno število angraf je možica točk
kdaj je zaporedje naraščuoče
ko za vsako naravno št velja an+1>an
kdaj ej ezaporedje omejeno
zaporedje je navzgor omejeno če obstaja tako realno število M da za vsak člen zaporedjavelja an<M>m
zaporedje je omejeno če je navzgor in navzdol omejeno</M>
definirajte aritmetično zaporedje in povejte njegov splošni člen
zaporedje je aritmetično, če je razlika sosednjih členov vedno stalna
an= a1 +(n-1)d
definirajte geometrijsko zaporedje
zaporedje je geometrijsko če je količnik sosednjih členov vedno stalen
