Kolokwium

Question 1

Proces losowy

Answer 1

Proces losowy { X(t), t ϵ <0, ∞> } gdzie X(t) jest liczbą zdarzeń losowych (zgłoszeń, sygnałów) w przedziale <0, t) nazywamy procesem sygnałowym.

Dodatkowo

X(t) ϵ N

If T1 < t2 then X(t1) ≤ X(t2)

X(t2) - X(t1) ϵ N

Question 2

procesem sygnałowym o przyrostach stacjonarnych

Answer 2

Proces sygnałowy nazwiemy procesem sygnałowym o przyrostach stacjonarnych (jednorodnych) jeśli rozkład prawdopodobieństwa liczby zgłoszeń w przedziale o dowolnej długości Δt nie zależy od położenia tego przedziału na osi czasu. W szczególności oznacza to, że średnia szybkość przybywania zgłoszeń jest stała.

Question 3

procesem sygnałowym o przyrostach niezależnych

Answer 3

Proces sygnałowy nazywamy procesem sygnałowym o przyrostach niezależnych jeśli liczby zgłoszeń w dowolnych rozłącznych przedziałach czasowych są zmiennymi losowymi niezależnymi. Zauważmy, że oznacza to, iż również odstępy czasowe pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami są zmiennymi losowymi niezależnymi.

Question 4

Proces Markova

Answer 4

Proces Markova jest to proces stochastyczny dla którego

Czyli proces bez pamięci

Question 5

zmienne losowe są niezależne

Answer 5

Mówimy, że zmienne losowe są niezależne, gdy dla każdych liczb rzeczywistych zachodzi równość P(x<=A)P(X<=B)=P(X<=A^Y<=B)

Question 6

procesem Poissona

Answer 6

Proces sygnałowy o przyrostach niezależnych nazywamy procesem Poissona jeśli ∀ t ϵ <0, t) X(t) ma rozkład Poissona tzn. istnieje taka funkcja λ(t) że ∀ n ϵ N P[X(t) = n] = e -λ(t) λ(t) / n!

E(X(t)) = λ(t)

Question 7

stacjonarnym procesem Poissona

Answer 7

Stacjonarny proces sygnałowy o przyrostach niezależnych, w którym zgłoszenia przybywają pojedynczo i błyskawicznie jest stacjonarnym procesem Poissona.

Dla stacjonarnego proces Poissona odstęp czasowy między kolejnymi zgłoszeniami ma rozkład wykładniczy.

Question 8

stacjonarnego jednorodnego procesu Poissona

Answer 8

Dla stacjonarnego jednorodnego procesu Poissona λ(t) = λt

Inaczej mówiąc prawdopodobieństwo wystąpienia określonej liczby zgłoszeń w przedziałach o określonej jednakowej długości są sobie równe, czyli średnia prędkość występowania zgłoszeń sygnałów jest stała.

Question 9

równowaga stochastyczna

Answer 9

System znajduje się w stanie równowagi stochastycznej jeśli osiągnięte zostały następujące granice

lim N(t) = N

lim Pn(t) = pn

Przy bardzo ogólnych założeniach warunek dostateczny osiągnięcia stanu równowagi ma postać ρ < m (λ < mμ).

Question 10

wzór Little’a

Answer 10

N = λT

L = λW

Question 11

W (ogólne)

Answer 11

λv^2 / 2(1-ρ)

Question 12

W M|D|1

Answer 12

ρ / 2μ(1-ρ)

bo E(V^2 ) = E(V)^2

Question 13

M|M|1

Answer 13

ρ / μ(1-ρ)

bo E(V^2) = 2/ \mu^2

Question 14

p0

Answer 14

p0 = [1 + suma iloczyn \lambda_i-1 / \mu_i] ^-1

Question 15

E(N)

Answer 15

suma n pn

Question 16

E(\lambda)

Answer 16

suma \lambda_n pn

Question 17

E(L)

Answer 17

suma n p_n+m