Kap 1 - Aspekte unseres Zahlensystems Flashcards
1.1
Bei gegebener b-adischer Darstellung einer natürlichen Zahl ihre Dezimaldarstellung er-
mitteln können (falls b>10, wird der Ziffernvorrat in der Aufgabenstellung angegeben,
z.B. beim Babylonischen Sexagesimalsystem).
1.2
Zu einer im Dezimalsystem angegebenen natürlichen Zahl ihre Darstellung in einem
anderen b-adischen Zahlensystem ermitteln können (falls b>10, wird der Ziffernvorrat
in der Aufgabenstellung angegeben, z.B. beim Babylonischen Sexagesimalsystem).
1.3
Die Summenformel für eine allgemeine arithmetische Reihe formulieren und beweisen
können.
1.4
Zu einer im Dezimalsystem angegebenen natürlichen Zahl ihre Darstellung mit Römischen Zahlzeichen ermitteln können und umgekehrt.
1.5
Produkte zweistelliger Zahlen mit der sogenannten Ägyptischen Multiplikationsmetho-
de berechnen und die Methode erklären können.
1.6
Mit den Einheitenpräfixen Milli, Zenti, Dezi, Deka, Hekto und Kilo vertraut sein und
Längen-, Flächen- und Volumsmaße ineinander umrechnen können (z.B. Zentimeter in
Dezimeter, Quadratzentimeter in Quadratmeter, Milliliter in Zentiliter etc.).
1.7
Regeln für die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 formulieren
und begründen können.
separat
Teilbarkeit durch 2
Regel: Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade (0, 2, 4, 6, 8) ist.
Begründung: Zahlen, die auf eine gerade Ziffer enden, lassen sich ohne Rest durch 2 teilen, da im Dezimalsystem jede Stelle links von der letzten Ziffer Vielfache von 10 enthält und 10 immer durch 2 teilbar ist.
Teilbarkeit durch 3
Regel: Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.
Begründung: Jede Dezimalzahl lässt sich als Summe ihrer Ziffern mal eine Potenz von 10 darstellen. Da 10 = 9+1 und 9 durch 3 teilbar ist, bleibt bei der Division durch 3 nur der Rest der Ziffernsumme relevant.
Teilbarkeit durch 4
Regel: Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten zwei Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
Begründung: Jede Zahl ≥100 ist durch 4 teilbar (100, 1000, 10000 usw.), somit entscheidet allein die Zahl aus den letzten beiden Ziffern über die Teilbarkeit durch 4.
Teilbarkeit durch 5
Regel: Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist.
Begründung: Da 10 durch 5 teilbar ist, entscheidet allein die letzte Ziffer über die Teilbarkeit durch 5, da alle höheren Stellen ein Vielfaches von 10 darstellen.
Teilbarkeit durch 6
Regel: Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie gleichzeitig durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Begründung: Da 6 = 2 · 3, muss eine Zahl sowohl die Teilbarkeitsregeln für 2 (letzte Ziffer gerade) als auch für 3 (Quersumme teilbar durch 3) erfüllen.
Teilbarkeit durch 7
Regel (vereinfachte Form):
Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn man die letzte Ziffer der Zahl verdoppelt und von der restlichen Zahl abzieht und das Ergebnis durch 7 teilbar (bzw. 0) ist. Dies kann mehrfach wiederholt werden.
Begründung:
Beruht auf der Eigenschaft, dass 10 ≡ 3 (mod 7) ist, wodurch sich spezielle Verfahren ableiten lassen, um die Teilbarkeit zu testen.
Beispiel:
343 → 34 – 2·3 = 34 – 6 = 28; 28 ist durch 7 teilbar → also auch 343.
Teilbarkeit durch 8
Regel: Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die aus ihren letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist.
Begründung: Zahlen wie 1000, 10.000 etc. sind stets durch 8 teilbar. Somit entscheidet allein die Zahl aus den letzten drei Ziffern über die Teilbarkeit durch 8.
Teilbarkeit durch 9
Regel: Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Begründung: Da 10 = 9 + 1 gilt, spielt bei der Division durch 9 nur der Rest der Ziffernsumme eine Rolle, ähnlich wie bei Teilbarkeit durch 3.
Einheitpräfix „Milli-“ (m)
Einheitpräfix „Zenti-“ (c)
Einheitpräfix „Dezi-“ (d)
Einheitpräfix „Deka-“ (da)
Einheitpräfix „Hekto-“ (h)
Einheitpräfix „Kilo-“ (k)
Umrechnung von Längenmaßen
Umrechnung von Flächenmaßen
Umrechnung von Volumenmaßen
