Heft 2

Question 1

Wozu dient die Standardisierung?

Answer 1

Die **Standardisierung **von Variablen dient der Bestimmung der relativen Lage eines Messwertes innerhalb einer Verteilung.

Question 2

z-Werte

Answer 2

z-Werte beschreiben die Anzahl an Standardabweichungen, die ein bestimmter Wert vom Mittelwert enfernt liegt.

Sie dienen der Standardisierung von metrischen Variablen und werden durch

z_i = (y_i-ÿ)/s_y

berechnet. Da sich der z-Wert am Mittelwert orientiert, ist der MW der z-Werte immer = 0.

Question 3

Weitere Standardisierungen neben dem z-Wert

Answer 3

Z-Wert: 100 + 10z

IQ-Wert: 100 + 15z

T-Wert: 50 + 10z

PISA: 500 + 100z

Stanine: 5 + 2z

Abinote: 8 + 3z

Schulnote: 3 - z

Alle diese Werte nehmen Bezug auf den z-Wert und haben den gleichen Informationsgehalt, da sie sich über positiv affine Transformation ineinander transformieren lassen. Sie unterscheiden sich lediglich durch den MW und die Standardabweichung.

Question 4

Prozentränge

Answer 4

Durch Pernzentile, auch **Prozentränge **genannt, wir die Normalverteilung in 100 gleich große Teile zerlegt. Sie repräsentieren also die relativen kumulierten Häufigkeiten. **Dabei wird jeder Prozentrang einem z-Wert zugeordnet. **

Die Fläche einer Normalverteilung für z-Werte von -1 bis 1 repräsentiert beispielsweise 68,26% der Mitglieder, während 95,44% der Mitglieder in der Fläche von -2 bis 2 repräsentiert sind.

Question 5

Tschebycheff-Ungleichung

Answer 5

Die Tschebycheff-Ungleichung dient der Interpretation von z-Werten beliebig verteilter Variablen. Sie gibt die Untergrenzen (worst case) an.

Innerhalb des Intervalls von k Standardabweichungen um den Mittelwert [ÿ+-k*s] liegen immer mind. 100*(1-1/k²)% aller Beobachtungen, wobei k > 1 ist.

Question 6

Eigenschaften des Boxplots

Answer 6

Boxplots werden zur Identifikation von Extremwerten genutzt und orientieren sich an der 5-Punkte-Zusammenfassung. So lassen sich zentrale Tendenz, Streuung und Schiefe beurteilen.

**Beurteilung der Schiefe: **

• symm. Boxplot ⇒ symm. Verteilung
• Ausreißer oberhalb der Whiskers sowie Median unterhalb der Mitte ⇒ rechtsschiefe Verteilung
• Ausreißer unterhalb Whiskers und Median oberhalb der Mitte ⇒ linksschiefe Verteilung

Question 7

Darstellung des Boxplots

Answer 7

**Beschreibung **der wichtigsten Kriterien des Boxplots (Name, Def., Lage im Plot):

• *Minimum y_min:** Kleinster Datenwert des Datensatzes, Ende eines Whiskers oder entferntester Ausreißer
• *Unteres Quartil y_.25:** Die kleinsten 25 % der Datenwerte sind kleiner oder gleich diesem Kennwert, Beginn der Box
• *Median y_med:** Die kleinsten 50 % der Datenwerte sind kleiner oder gleich diesem Kennwert, Strich innerhalb der Box
• *Oberes Quartil y_.75:** Die kleinsten 75 % der Datenwerte sind kleiner oder gleich diesem Kennwert, Ende der Box
• *Maximum y_max:** Größter Datenwert des Datensatzes, Ende eines Whiskers oder entferntester Ausreißer
• *Spannweite:** Gesamter Wertebereich des Datensatzes, Länge des gesamten Boxplots (inklusive Ausreißer)
• *Interquartilsabstand d_Q:** Wertebereich, in dem sich die mittleren 50 % der Daten befinden. (Liegt zwischen dem 0,25- und dem 0,75-Quartil.), Ausdehnung der Box

Question 8

Kontingenz/Kontingenztabelle

Answer 8

Kontingenz bedeutet das gemeinsame Auftreten zweier Ergeignisse. Eine **Kontingenztabelle **beschreibt eine bivariate Häufigkeitsverteilung an Hand der absoluten Häufigkeiten.

Sie setzt sich zusammen aus bspw. Zeilenvariable X und Spaltenvariable Y, wobei Spalten- und Zeilensumme jeweils als Rand- oder marginale Verteilungen bezeichnet werden.

Question 9

Bedingte Häufigkeitsverteilungen

Answer 9

**Bedingte Häufigkeiten **sind die relativen Häufigkeiten einer bestimmten Variablen unter der Bedingung einer bestimmten Ausprägung der anderen Variablen.

Also zum Beispiel die relative Häufigkeit von weiblichen Schülern mit der Mathenote 1 (Bedingung) innerhalb der Gesamtstichprobe.

Question 10

Eigenschaften von bed. Häufigkeitsverteilungen

Answer 10

Man spricht von der **Unabhängigkeit ** zwischen zwei Variablen, wenn die bed. Häufigkeitsvert. von einer Variable X und aller Ausprägungen einer anderen Variable Y identisch sind.

Liegen jedoch Unterschiede zwischen der bed. Häufigkeitsv. der Variablen X und zwei oder mehr Ausprägungen der Variable Y vor, spricht man von einer Abhängigkeit oder **Zusammenhang **der beiden Variablen.

Bsp.:

• **Unabhängigkeit: **bed. Häufigkeit von männlichen Studenten (X) für alle Fächer (Y) = 4,9
• **Abhängigkeit: **bed. Häufigkeit von männlichen Studenten (X) für zwei oder mehr Fächer (Y) verschieden