Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

wiskunde B > H8 > Flashcards

H8 Flashcards

1
Q

lineaire vergelijking

A

vergelijking waarbij de exp van de veranderlijken 1 is (grafisch gezien is dit altijd een rechte
vb ax + by + cz = 0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

niet- lineaire vergelijking

A

exp van veranderlijken is niet 1 of er zitten meerdere veranderlijken in dezelfde term

vb: xy = 4
x² + y³ = 0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

lineaire productiemodel

A

er is een economie met n goederen (goed 1, goed 2 … goed n)
voor elk goed j is er een productieproces ( = lijst van hoeveelheid goederen die nodig zijn om een eenheid ( ton, liter etc) van goed j te produceren.
maw: de hoeveelheid aan input nodig om een output van goed j te produceren

2 belanngrijke principes:

1: lineariteit: indien je k aantal eenheden wilt produceren van een goed j, heb je k keer zoveel nodig van de input
2: uniciteit: gesloten economie, dus de productie/input van een goed j kan niet door iets anders vervangen worden

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

voorbeeld lineair productiemodel: mais en meststof (lezen en begrijpen)

A

goed 1 = mais
goed 2 = meststof

productieprocessen worden weergegeven door een matrix:

productieproces van een eenheid mais: (0.1 , 0.8) in woorden: om één eenheid mais te produceren heb je 0.1 eenheid mais nodig en 0.8 eenheden meststof
productieproces van een eenheid meststof: (0.5 , 0)

dus om een goed te produceren heb je een deel van het vorig productieproces nodig, niet alles kan dus verkocht worden aan consumenten. Dez vraag is dus hoeveel mais en mestsof kan voor consumptie geproduceerd worden (dit zal dus niet verder worden gebruikt in de economie)

Stel: één eenheid = één ton
x = brutoproductie ton mais
y = brutoproductie ton meststof

wat blijft over voor consumptie?

mais: x - 0.5y - 0.1x
(in woorden: je begint met je totale mais, namelijk x, daarna trek je af wat je moet overhouden voor de productie van de 2 goederen, namelijk: O?5 eenheden voor je meststof, dus: 0.5y en 0.1 eenheden voor je mais, dus: 0.1x)

meststof: y - 0.8x - 0y
(in woorden: je start met je totale meststof, namelijk: y, daarna trek je af wat je moet overhouden, voor de productie van nieuwe meststof moet je niets overhouden dus dit wordt 0y en voor nieuwe mais moet je 0.8 eenheden overhouden, dus 0.8x

voor oefening stel de vraag is 4 ton mais en 2 ton meststof:
vgl van mais gelijkstellen aan 4 en vgl van meststof gelijkstellen aan 2

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

lineair productiemodel (algemeen met n goederen)

A

productieproces van goed j: dit wordt een lijst: (A1j, A2j, … , Anj) Aij = hoeveelheid van goed i om een eenheid van goed je te produceren

de exogene vraag = de vraag van consumenten, dus datgene dat niet meer kan gebrukt worden in de verdere productie van goederen = bi (vraag naar goed i )

eis (!): elk proces moet ouptput produceren die net genoeg is om te voldoen aan de consumentenvraag en aan de vraag van de andere n industieën

herrinner vergelijking consumenten vraag mais en meststof, dit is de algemene vergelijking:

xj = brutohoeveelheid output voor goed j

evenwichtsvergelijking (!):

xi = Ai1x1 + Aix2 + … + Ain¨xn + bi

al ide vergelijkingen kan je dan in een stelsel plaatsen (afhankelijk van hoeveel goederen)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Markov-model (begrijpen dan kan dat vanzelf op examen)

A 
Stel: persoon is werkloos in week 0
- kans op werk in week 1 = p
- kans op werkloos blijven = 1 - p
Idem: persoon heeft werk in week 0
- kans op werk in week 1 = q
- kans op werkloos worden = 1 - q
waarschijnlijkheden:                                                              (W = werk ; W/ = werkloos)
W -> W = q
W -> W/ = 1 - q
W/ -> W = p
W/ -> W/ = 1 - p

in stelsel: in week t: X personen hebben werk, Y personen werkloos, da, geldt in week 1+t:

qX + pY hebben werk
(1 - q)X + (1 - p)Y zijn werkloos

zie waarschijnlijkheden (logisch)

of, met Xt = percentages van tewerkgestelden en Yt = percentages van werklozen in week t

Xt + 1 = qXt + pYt
Yt + 1 = (1 - q)Xt + (1 - p)Yt

stationaire toestand (zie ppt): 
X = qX + pY
Y = (1 - q)X + (1 - p)Y
1 = X + Y
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

uit wat bestaat een lineair stelsel

A

gegeven:
- coefficienten = aij
- rechterleden = bi
gezeocht:
onbekenden/veranderlijken = xj

oplossing = elke waarde dat x1, x2, …, xn kan aannemen zodat het aan aale vergelijkingen voldoet

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

hoe stelsel oplossen?

A

1) substitutie
2) Eliminatie
3) Matrixrekening

zie oef

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

echelon matrix

A

wordt verkregen vie rij operaties

voorwaarden:

  • alle nulrijen bevinden zich beneden onder elkaar
  • eerste element van elke niet nulrij is 1
  • elk element boven en onder een 1 is gelijk aan 0
  • elke rij, beginnende van de 2e rij begint met meer nullen dan de rij erboven

denk ook aan Gauss en Gauss Jordan (!)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

elementaire rij operaties + gevolgen voor determinant

A

1) twee rijen wisselen
2) rij vermenigvuldigen met een factor
3) rij optellen met een andere rij of met een veelvoud van een andere rij

alle operaties zijn omkeerbaar

gevolgen voor uitkomst determinant:

wisselen => teken verandert
vermenigvuldigen met factor => determinant ook met die factor vermenigvukdigen
rij optellen met andere rij of veelvoud van andere rij => geen effect

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

uitgebreide coëfficiëntenmatrix

A

een matrtix met de coefficienten en de rechterleden geplaatst uiterst rechts met een streep er tussen = Â

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Gauss gereduceerde vorm

A

=/= echelon vorm

merk op dat de eerste elementen van elke rij niet 1 zijn omdat ze telkens een veelvoud zijn van de getallen in dezelfde kolom, enkel dan mag dit.

U = gereduceerde vorm van A
Û = gereduceerde vorm van Â
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

vrije en basisvariabelen

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

eig 8.1 A is een coëfficientenmatrix met m rijen en n kolommen  is de uitgebreide coefficientenmatrix, wat kan je zeggen over de rang van deze 2? + bewijs

A

rang A < of = rang Â
< of = m
< of = n

bewijs:

rang A = aantal niet nulrijen in U
rang  = aantal niet nulrijen in Û

=> rang A < of = rang Â

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

eig 8.2 lineair stelsel heeft een oplossing a.s.a? + bewijs

A

rang A = rang Â

Bewijs:

2 richtingen;

bewijs uit het ongerijmde:

Stel rang  > rang A
=> er bestaat een nulrij van U die geen nulrij van Û is
=> geen oplossing voor dit stelsel
=> strijdig

omgekeerd:

stel rang A = rang Â
Pas Gauss-Jordan toe op U en Û
=> steeds opl want er zijn geen nulrijen en dus vergeliijken van de vorm 0 = b

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

eig 8.3 mogelijke uitkomsten stelsel

A

een lineair stelsel heeft opfwel geen, één of oneindig veel oplossingen

Bewijs:

Lineair stelsel -> Gauss Jordan -> Û

ofwel: nulrij onderaan => strijdige vergelijking (0=b) => geen oplossing
ofwel: geen nulrij => wel oplossing; 2 mogelijkheden
1) geen vrije variabelen => één oplossing
2) wel vije variabelen => oneindig veel oplossingen

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

eig 8.4 wat kan je zeggen over de rijen en kolommen als een lineair stelsel slechts één oplossing heeft? + bewijs

A

dan heet A minstens evenveel rijen als kolommen m>=n

Bewijs:

unieke oplossing
=> geen vrije variabelen
=> elke kolom (n) van U bevat een leidend element 1
=> er zijn dus n leidende 1’tjes elk op een verschillende rij
=> m>=n

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

eig 8.5 wat kan je zeggen over het aantal oplossingen van een stelsel als het meer onbekenden heeft dan vergelijkingen (n > m)

A

dan heeft het geen of oneindig oplossingen

bewijs:

uit 8.4 volgt dat één oplossing niet kan dus ofwel geen of oneindig

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

homogeen stelsel

A

stelsel met bi telkens gelijk aan 0 maw de rechterleden zijn telkens 0

dit stelsel heeft altijd een oplossing

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

eig 8.6 wat kan je zeggen over de oplossingen van een homogeen stelsel met meer onbekenden dan vergelijkingen (n>m)

A

dan heeft dit stelsel oneindig veel oplossingen
bewijs:
volgt uit 8.4 en 8.5

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

! eig 8.7 een stelsel met matrix A heeft een oplossing voor elke keuze (b1,b2,b3,…bn) van het rechterlid a.s.a.

A

rang A = aantal rijen van A = m

bewijs (2 richtingen):

1) rang A = m
   => U heeft geen nulrijen
   => Û heeft geen nulrijen 
   => rang A = rang  
   =>  eig 8.2: stelsel heeft een oplossing

2) stel: rang A < m
=> minstens één nulrij in U (wanneer je van A naar U gaat via rij operaties)
=> operateis zijn omkeerbaar
=> stel Û en Â
=> er bestaat een waarde voor b zodat het stelsel geen oplossing heeft STRIJDIG

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

eig 8.8 wat kan je zeggen over de rechterleden van een stelsel dat meer vergelijkingen heeft dan onbekenden?

A

er bestaan rechterleden zodanig dat het stelsel geen oplossing heeft zie ook 8.7

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

eig 8.9 een stelsel mat matrix A heeft hoogstens één oplossing voor elke keuze van het rechterlid a.s.a?

A

rang A = n

Bewijs (2 richtingen):

1) rang A = n = leidende 1’tjes in U
=> als er een oplossing bestaat dan is die zeker uniek

2) rang 1 < n => vrije variabelen => oneindig veel oplossingen

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
24
Q

eig 8.10 een coëfficiëntenmatrix A is niet singulier a.s.a.?

A

rang A = m = n

je krijgt dus een vierkante matrix met maximale rang

let op:

er bestaan stelsels met m>n en een unieke oplossing, maar dit is niet strijdig, want dit is niet voor elk rechterlid

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
25
Q

singuliere matrix

A

matrix met determinant 0 en minstens 1 nulrij in de gereduceerde vorm

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
26
Q

verkorte manier om een stelsel te schrijven

A

Ax = b

in woorden: matrix A met obekenden x1,x2,…,xn en rechterleden: b1,b2,..,bn

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
27
Q

samengevat:

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
28
Q

matrix algemeen (lezen)

A 
rijen = m
kolommen = n

A element van R
notatie Amxn

coôrdinatie van getallen:

aij met i de rij en j de kolom

A = B a.s.a van zelfde orde (mxn) en aij = bij voor alle i,j

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
29
Q

optellen matrix

A

cij = aij + bij

A + nulmatrix (O) = A

enkel bij matrixen van dezelfde orde

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
30
Q

scalaire vermenigvuldiging

A

rA = alle elementen van A vermenigvuldigen met r

idem delen

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
31
Q

matricen met elkaar vermenigvuldigen

A

voorwaarden:

product AB bestaat enkel als kolommen van A = rijen van B

A = mxn
B = nxp
C = mxp = AB
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
32
Q

algemene formule vermenigvuldigen

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
33
Q

eenheidsmatrix

A

notatie I of In ( de n slaat op aantal rijen en kolommen aangezien I altijd een vierkantmatrix is)

eigenschap:

AI = A 
iB = B
34
Q

eigenschappen rekenen matrices

A
35
Q

getransporteerde matrix

A

notatie A^T, dit verkrijg je door de rijen en kolommen te verwisselen

36
Q

eigenschappen transporteren matrix

A
37
Q

eig 8.11 A = mxn matrix, B = nxp matrix

bewijs: (AB)^T = B^T A^T

A
38
Q

lineair stelsel in matrix vorm

A
39
Q

vierkante matrix

A

m = n

40
Q

rij matrix

A

m = 1

41
Q

kolommatrix

A

n = 1

42
Q

diagonaalmatrix

A

vierkante matrix waarvoor: aij = 0 als i =/= j

43
Q

boventriangulaire matrix

A

vierkante matrix waarvoor aij = 0 voor elke i > j

44
Q

benedentriangulaire matrix

A

vierkate matrix waarvoor aij = 0 voor elke i < j

45
Q

symmetrische matrix

A

vierkante matrix waarvoor A^T = A

46
Q

idempotente matrix

A

als AA = A

47
Q

permutatiematrix

A

vierkante matrix waarbij elk elk element 1 of 0 is en elke rij en elke kolom slechts één 1 bevat

48
Q

niet singuliere matrix

A

vierkante matrix waarvan de rang = m of n eig 8.10

49
Q

elementaire matrices (3 types)

A

1) Eik (a)
2) Ei (a)
3: Eik

50
Q

eig 8.12 omdat elementaire rij operaties een matrix A omzetten naar zijn gereduceerde vorm U geldt:

A

voor elke (mxn) matrix A bestaan er elementaire matrices E1,E2,…El zodanig dat het matrix product U = ElEl-1…E1A de gereduceerde vorm van A voorstelt

51
Q

eigenschappen elementaire matrices

A
52
Q

inverse van een matrix

A

als A = nxn matrix, dan bestaat er een nxn matrix B met:

AB = BA = I (eenheidsmatrix)

dan is B de inverse van A en dus is A inverteerbaar

53
Q

eig 8.13 A heeft hoogstens één inverse, namelijk A^-1

A

bewijs: stel A heeft 2 inverses B en C

C = CI
    = C(AB)
    = (CA)B
    = IB
    = B
54
Q

rechtsinverse en linksinverse

A

stel A een mxn matrix

B is een rechtsinverse als AB = I
C is een linksinverse als CA = I

vervolg eig 8.13:

als A een linksinverse B heeft en een rechtsinverse C dan is A inverteerbaar en is B = C = A^-1

55
Q

eig 8.14 als een nxn matrix A inverteerbaar is, wat kan je dan zeggen over de singulariteit van A en de oplossing van x?

A

dan is A niet-singulier en wordt de oplossing van x gegeven door: x = A^-1b (voor elke b), want:

A(A^-1b) = (AA^-1)b = Ib = b

=> rang A = n
=> rang A = aantal kolommen A en aantal rijen A
=> eig 8.10: A is niet singulier

56
Q

eig 8.15 als een nxn matrix A niet singulier is dan?

A

is A inverteerbaar

bewijs: inverse berekenen via gauss jordan: (A I ei) omzetten in ( I I ci) dan produceert de i-de kolom: A^-1

57
Q

inverse 2x2 matrix

A
58
Q

eig 8.16 nxn matrix A, dan is A?

A
  • A is inverteerbaar
  • A heeft een linksinverse
  • A heeft een rechtsinverse
  • het lineair stelsel Ax = b heeft tenminste en ten hoogste één oplossing voor elke b
  • A is niet-singulier
  • A heeft maximale rang n
59
Q

eig 8.17 A en B inverteerbaar met r =/= 0

A
60
Q

eig 8.18 elke matrix kan geschreven worden als een product

A

A = F1F2…FlU

waarbij de FI’s elementaie matrices zijn, U de gereduceerde vorm van A. Als A niet singulier is, dan is U = I en dus A = F1F2…Fl

61
Q

input/output matrix

A
62
Q

stelling technologie matrix

A

A heeft niet-negatieve elementen, met som van de elementen kleiner dan 1. Dan bestaat (I - A)^-1 en bovendien bezit ook deze matrrix enkel niet - negatieve elementen

63
Q

determinant berekenen

A
  • ontwikkelen naar rij of kolom via minor en cofactor
64
Q

minor en cofactor

A

elk element in een matrix heeft een minor en cofactor

minor = Mij met ij de coôrdinaten van het element
Cofactor = Cij

minor en cofactor zijn gelijk of tegengesteld
M = det Aij (! niet gelijk aan determinant van de volledige matrix, enkel dat element als je schrapt)

65
Q

volledige formule voor determinant

A
66
Q

determinant nxn matrix gevolg?

A

detA = det A^T

67
Q

regel van sarrus

A
68
Q

eig 8.22 als een matrix B ontstaat door een in een nxn matrix A twee rijen of twee kolommen om te wisselen, dan geldt?

A

detB = -detA

69
Q

eig 8.23 als twee rijen of twee kolommen van A gelijk zijn dan?

A

det A = 0

70
Q

eig 8.24 als A een nulrij of nulkolom bevat dan?

A

detA = 0

71
Q

eig 8.25 als een matrix B ontstaat door in een nxn matrix A alle elementen van een rij i of een kolom j te vermenigvuldigen met een getal r dan?

A

detB = rdetA

72
Q

eig 8.26 B wordt bekomen door in A elk element aik van rij i te vervangen dooe een getal ck (k = 1,2,..,n) dan?
B wordt bekomen door in A elk element akj van kolom j te vervangen door een getal ck dan?

A
73
Q

eig 8.27 stel dat A en B nxn matrices zijn die overal gelijk zijn behalve in de rij i. stel een matrix C waarvan de i-de rij de matrixsom is van de i-de rij van A en B en waarvan elke andere rij correspondeert met de rijen in A en B dan?

A

Det C = Det A + Det B

74
Q

eig 8.28 wat kan je zeggen over de determinant van een diagonaalmatrix?

A

det = product van zijn diagonaalelementen, dit geldt ook voor boven en benedentriangulaire matrices

75
Q

determinanten van elementaire matrices

A 
det Eij (a) = 1
det Ei (a) = a
det Eij = -1
76
Q

eig 8.29 als E een elementaire matrix is dan geldt?

A

det (EA) = (det E)(det A)

77
Q

eig 8.30 een vierkante matrix is niet singulier a.s.a.?

A

de det verschillend is van 0

78
Q

eig 8.31 voor xn matrices A en B geldt:

A

det(AB) = (detA) (detB)

79
Q

adjuncte matrix

A

notatie: adj A

1) cofactor bepalen van alle elementen en in matrix plaatsen
2) rijen en kolommen omwisselen

80
Q

eig 8.32 voor elke nxn matrix A geldt (ivm adjuncte matrix)

A

A * adj A = (detA) I

en dus A^-1 = adjA/detA

81
Q

regel van Cramer

A

zij A een niet singuliere nxn matrix, de unieke oplossing voor het stelsel Ax = b wordt gegeven door:

xj = det Bj/detA met Bj de matrix die je verkrijgt door in A de j-de kolom te vervangen door het rechterlid b

zie vb dia 115

82
Q

hoofdmatrix

A

vierkante rxr matrix van A die niet singulier is en zodanig dat deelmatrices van hogere orde wel singulier zijn. de rang van A is dan r

wiskunde B (4 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2025 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions