Grupos Flashcards
Monoide
Asociativa + neutro
Semigrupo
Asociativa
Inversible / Unidad
Existe inverso y es único. e = xy = yz => z = x * y * z = x
Estable
La operación no sale del conjunto
La intersección mantiene estructura
Asociativo, neutro, inversos y conmutatividad
Subgrupo generado por I
La intersección de todos los grupos que contienen a I- El menor subgrupo que contiene a I. I genera si <i> = G
Es agregarle los inversos a I</i>
Cíclico
Generado por un elemento
Morfismos
Diagrama conmutativo. fxf(x,y) = (f(x),f(y)). Preserva inversos. El neutro va al neutro.
Es lo mismo aplicarle f a los elementos y después multiplicarlos que multiplicarlos y después hacerles f.
Imagen y preimagen de subgrupos son subgrupos.
Monomorfismo
Morfismo inyectivo
Epimorfismo
Morfismo sobreyectivo
Sección
f tiene inversa a izquierda. Sección => mono
Retracción
f tiene inversa a derecha. Retracción => Epi
Isomorfismo
f Biyectiva <=> mono + epi <=> sección + retracción
Ker(f)
preimagen del {0}.
Es subgrupo normal.
Si es “e”, es mono.
G/Ker(f) = Im(f)
Im(f)
f(G) Es subgrupo (No normal) Si es todo, es epi.
Producto de grupos
Es grupo con la operación coordenada a coordenada
El neutro es la tira de neutros.
Soporte: Los valores que no son nulos de la tira.
Soporte finito: admite solo finitos no nulos.
Suma directa: Producto con soporte finito.
El producto finito es suma directa
Soporte
Valores no nulos
Finito: Solo finitos no nulos.
Suma directa: Producto con soporte finito.
Soporte(f*g) está incluido en sop(f) U sop(g)
La suma directa es subgrupo del producto general.
El producto finito es suma directa
Relación de equivalencia
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Aplicación cociente: Pi. Manda un elemento a su clase.
El conjunto es la U disjunta de las preimágenes de Pi.
Hay una biyección entre las clases de equivalencia en X y las particiones de X
Compatibilidad
A Izq, a derecha o ambas.
Puedo agregar lo mismo del lado que vale y mantiene la relación.
Me define la Pi cómo único morfismo de G a G/R
Grupo normal
gH = Hg
o gHg’ está en H (Basta ver la inclusión)
H normal si y sólo si es el núcleo de algún morfismo.
Son equivalentes
1. H normal
2. R = S
3. R es compatible a izquierda (compatible)
4. S es compatible a derecha (compatible)
Puedo cocientar por un subgrupo normal
Las clases son gH.
Pi(g) = gH
Análisis de grupo
Asociativo
Neutro
Inversos
Conmutativo
|G| -> Cardinal de G- Cuantos elementos tiene G
ord(g) min{n / g^n = 1}Grupo Dihedral Dn
rotaciones y simetrías rs no es sr |Dn| = 2n r^n = 1 s^2 = 1
Sn
|Sn| = n! (Seguro?)
Sn biyecciones de 1,…,n en 1,…,n
No es conmutativo
Todo elemento de Sn se puede escribir como producto de ciclos disjuntos.
Z/nZ
{0,…,n-1}
Tiene n elementos
Es conmutativo
Lo genera el <1>
Análisis de un g
ord(g) es el mínimo n que lo anula
ord(g) divide al cardinal de G
Si g a la n es 1 => ord(g) | n
Q no es G + H
Truco con el Ker haciendo nf(m/n)
Cuaterniones
Grupo no conmutativo Cuadrados dan -1 ij =k jk= i ki = j
PU Cociente
Para un morfismo f con H metido en su núcleo. Hay una única F tal que proyectar al cociente y hacer F es lo mismo que hacer f.
Puedo levantar cosas del cociente a la imagen de la f.
Se puede generalizar si tengo un cociente del grupo de llegada y mi F va a ir de cociente a cociente. (Tomo la composición como una función y aplico el mismo resultado)
Caracterización de los Subgrupos normales
Los subgrupos del cociente están en biyección con los subgrupos de G que contienen al denominador.
Además normales en G son normales en G/H
Cociente de cocientes
Se puede simplificar
Acción de un grupo sobre un conjunto
Tipo asociativa con elementos de g
El neutro de G no hace nada
Representación: Dar un morfismo de G en las simetrías de X
Representación lineal
Órbitas
Estabilizador
Fiel
Transitiva
Orbitas: G*Y
Estabilizador: Puntos de G que deja a los puntos de Y en Y
Estabilizador de un elemento: Puntos de G que dejan fijo al elemento
Fiel: Inyectiva
transitiva: Tipo sobreyectiva. Para todo x e y, existe un g tal que y = x.g
Morfismo de G-Conjuntos
Es lo mismo hacer la acción y después f que hacer f en la segunda coordenada y después la acción en el de llegada.
Isomorfismo
