Grupos

Question 1

Monoide

Answer 1

Asociativa + neutro

Question 2

Semigrupo

Answer 2

Asociativa

Question 3

Inversible / Unidad

Answer 3

Existe inverso y es único. e = xy = yz => z = x * y * z = x

Question 4

Estable

Answer 4

La operación no sale del conjunto

Question 5

La intersección mantiene estructura

Answer 5

Asociativo, neutro, inversos y conmutatividad

Question 6

Subgrupo generado por I

Answer 6

La intersección de todos los grupos que contienen a I- El menor subgrupo que contiene a I. I genera si <i> = G
Es agregarle los inversos a I</i>

Question 7

Cíclico

Answer 7

Generado por un elemento

Question 8

Morfismos

Answer 8

Diagrama conmutativo. fxf(x,y) = (f(x),f(y)). Preserva inversos. El neutro va al neutro.
Es lo mismo aplicarle f a los elementos y después multiplicarlos que multiplicarlos y después hacerles f.
Imagen y preimagen de subgrupos son subgrupos.

Question 9

Monomorfismo

Answer 9

Morfismo inyectivo

Question 10

Epimorfismo

Answer 10

Morfismo sobreyectivo

Question 11

Sección

Answer 11

f tiene inversa a izquierda. Sección => mono

Question 12

Retracción

Answer 12

f tiene inversa a derecha. Retracción => Epi

Question 13

Isomorfismo

Answer 13

f Biyectiva <=> mono + epi <=> sección + retracción

Question 14

Ker(f)

Answer 14

preimagen del {0}.
Es subgrupo normal.
Si es “e”, es mono.
G/Ker(f) = Im(f)

Question 15

Im(f)

Answer 15

f(G)
Es subgrupo (No normal)
Si es todo, es epi.

Question 16

Producto de grupos

Answer 16

Es grupo con la operación coordenada a coordenada
El neutro es la tira de neutros.
Soporte: Los valores que no son nulos de la tira.
Soporte finito: admite solo finitos no nulos.
Suma directa: Producto con soporte finito.
El producto finito es suma directa

Question 17

Soporte

Answer 17

Valores no nulos
Finito: Solo finitos no nulos.
Suma directa: Producto con soporte finito.
Soporte(f*g) está incluido en sop(f) U sop(g)
La suma directa es subgrupo del producto general.
El producto finito es suma directa

Question 18

Relación de equivalencia

Answer 18

Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Aplicación cociente: Pi. Manda un elemento a su clase.
El conjunto es la U disjunta de las preimágenes de Pi.
Hay una biyección entre las clases de equivalencia en X y las particiones de X

Question 19

Compatibilidad

Answer 19

A Izq, a derecha o ambas.
Puedo agregar lo mismo del lado que vale y mantiene la relación.
Me define la Pi cómo único morfismo de G a G/R

Question 20

Grupo normal

Answer 20

gH = Hg
o gHg’ está en H (Basta ver la inclusión)
H normal si y sólo si es el núcleo de algún morfismo.
Son equivalentes
1. H normal
2. R = S
3. R es compatible a izquierda (compatible)
4. S es compatible a derecha (compatible)
Puedo cocientar por un subgrupo normal
Las clases son gH.
Pi(g) = gH

Question 21

Análisis de grupo

Answer 21

Asociativo
Neutro
Inversos
Conmutativo
|G| -> Cardinal de G- Cuantos elementos tiene G
ord(g) min{n / g^n = 1}

Question 22

Grupo Dihedral Dn

Answer 22

rotaciones y simetrías
rs no es sr
|Dn| = 2n
r^n = 1
s^2 = 1

Question 23

Sn

Answer 23

|Sn| = n! (Seguro?)
Sn biyecciones de 1,…,n en 1,…,n
No es conmutativo
Todo elemento de Sn se puede escribir como producto de ciclos disjuntos.

Question 24

Z/nZ

Answer 24

{0,…,n-1}
Tiene n elementos
Es conmutativo
Lo genera el <1>

Question 25

Análisis de un g

Answer 25

ord(g) es el mínimo n que lo anula
ord(g) divide al cardinal de G
Si g a la n es 1 => ord(g) | n

Question 26

Q no es G + H

Answer 26

Truco con el Ker haciendo nf(m/n)

Question 27

Cuaterniones

Answer 27

Grupo no conmutativo
Cuadrados dan -1
ij =k
jk= i
ki = j

Question 28

PU Cociente

Answer 28

Para un morfismo f con H metido en su núcleo. Hay una única F tal que proyectar al cociente y hacer F es lo mismo que hacer f.
Puedo levantar cosas del cociente a la imagen de la f.
Se puede generalizar si tengo un cociente del grupo de llegada y mi F va a ir de cociente a cociente. (Tomo la composición como una función y aplico el mismo resultado)

Question 29

Caracterización de los Subgrupos normales

Answer 29

Los subgrupos del cociente están en biyección con los subgrupos de G que contienen al denominador.
Además normales en G son normales en G/H

Question 30

Cociente de cocientes

Answer 30

Se puede simplificar

Question 31

Acción de un grupo sobre un conjunto

Answer 31

Tipo asociativa con elementos de g
El neutro de G no hace nada
Representación: Dar un morfismo de G en las simetrías de X
Representación lineal

Question 32

Órbitas
Estabilizador
Fiel
Transitiva

Answer 32

Orbitas: G*Y
Estabilizador: Puntos de G que deja a los puntos de Y en Y
Estabilizador de un elemento: Puntos de G que dejan fijo al elemento
Fiel: Inyectiva
transitiva: Tipo sobreyectiva. Para todo x e y, existe un g tal que y = x.g

Question 33

Morfismo de G-Conjuntos

Answer 33

Es lo mismo hacer la acción y después f que hacer f en la segunda coordenada y después la acción en el de llegada.
Isomorfismo