Groupes Flashcards
Soit * une loi de composition interne
Commutativité
ab=ba
Soit * une loi de composition interne
Élément neutre
ae = ea = a
Soit * une loi de composition interne
Existence d’un symétrique pour x (lorsque e existe)
Il existe y dans E tel que xx⁻¹ = x⁻¹x = e
Soit * une loi de composition interne
Associativité
x(yz) = (xy)z
Définition groupe (E, *)
- Ensemble E muni d’une loi de composition interne ;
- Loi de composition interne est associative ;
- Admettant un élément neutre ;
- Tout élément de E admet un élément symétrique
Définition groupe commutatif (ou abélien)
Définition d’un groupe classique
+
Commutatif
Définition sous-groupe
Soit (E, *) un groupe.
Une partie H ⊂ G est un sous-groupe de E si:
- e ∈ H ;
- ∀x,y ∈ H, x*y ∈ H ;
- ∀x ∈ H, x⁻¹ ∈ H ;
Soit E et E’ deux ensembles, * et u deux lois de compositions internes sur E et E’.
Définition morphisme
u est un morphisme de (E, *) sur (E’, T) si
∀(x,y) ∈ E x E’, u(xy) = u(x)u(y)
Soit G un groupe noté multiplicativement. x,y ∈ G.
(xy)⁻¹ = ?
(xy)⁻¹ = y⁻¹*x⁻¹
Définition isomorphisme de groupes
Un morphisme bijectif est un isomorphisme
Définition groupes isomorphes
Deux groupes E, E’ sont isomorphes s’il existe un morphisme bijectif.
Soit f: A→ A’ un morphisme de groupes. Alors :
f(eₐ) = ?
f(eₐ) = eₐ’
Soit f: G→ G’ un morphisme de groupes. Alors :
∀x ∈ G, f(x⁻¹) = ?
f(x⁻¹) = (f(x))⁻¹
Soit f : A → A′ un morphisme de groupes.
Définition noyau :
Le noyau de f est :
Ker f = {x ∈ G | f (x) = eₐ’ }
Soit f : G → G′ un morphisme de groupes.
Définition image
L’image de f est :
Im f = { f (x) | x ∈ G }
Ce sont les éléments de G’ qui ont (au moins) un antécédent par f.
