Geometrie Flashcards
Définition point
Un point est ce qui n’a pas de partie
Définition ligne
Une ligne est une longueur sans largeur
Définition segment de droite
Un segment de droite est une longueur également placée entre ses points
Définition triangles congruents
Deux triangles sont congruents s’il existe une correspondance bijective entre leurs sommets telle que les côtés et les angles correspondants sont égaux
Définition parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles
Définition triangles semblables
Deux triangles sont semblables s’il existe une bijection entre leurs sommets telle que les angles correspondants sont égaux et les côtés correspondants sont dans une même proportion
Définition section d’or
La section d’or d’un segment AB est la donnée du point X sur le segment tel que le carré sur AX est de même aire que le rectangle de côtés AB et BX
Définition nombre d’or
Le nombre d’or est la proportion, pour X la section d’or du segment AB, de la PROPORTION AB/AX=AX/BX
1er postulat
On peut tracer un segment joignant deux points donnés
2eme postulat
On peut prolonger un segment en une droite
3eme postulat
On peut tracer un cercle de centre et point de passage donnés
4eme postulat
Tous les angles droits sont égaux
5eme postulat
Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux angles droits, alors ces droites, prolongées indéfiniment, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux angles droits
Pente d’une droite
Dans le plan muni d’un repère, la pente d’une droite non verticale est l’unique nombre réel dont la valeur absolue est |BX|/|AX| est le signe est déterminé par la position de la droite parallèle passant par O. La pente d’une droite verticale est, par convention, infinie.
Orientation d’un angle
Dans un plan muni d’un repère, si un angle a la même orientation que le repère, alors on dit qu’il est d’orientation positive, sinon on dit qu’il est d’orientation négative.
(cos(a),sin(a)) en fonction de a
(xc/ac,bx/bc) si a entre 0 et droit
(-xc/ac,bx/bc) si entre droit et 2 droits
(-xc/ac,-bx/bc) si entre 2 droits et 3 droits
(Xc/ac,-bc/bc) si entre 3 droits et 4 droits
Définition isométrie
Une isométrie de R2 est une bijection f:R2->R2 telle que
Dist((x,y),(x’,y’))=dist(f(x,2),f(x’,y’))
Interprétation passive de l’isométrie
Considérer le R2 du domaine de f comme la coordinatisation du plan euclidien par un repère R et de voir f comme l’expression analytique d’un changement de repère vers un autre repère R’ donnant lieu au R2 du codomaine de f
(Alias, autre nom)
Interprétation active de l’isométrie
Considérer le R2 du domaine et le R2 du codomaine de f comme la coordinatisation du plan euclidien par un même repère R et voir f comme l’expression analytique d’une transformation isométrique des points du plan.
(Alibi, autre lieu)
Définition homothétie
L’homothétie de R2 de facteur k dans R+* et de centre (a,b) est la fonction
F:R2->R2:(x,y)|->(k(x-a)+a,k(y-b)+b)
Définition similitude
Une similitude de ratio k dans R+* de R2 est une bijection f:R2->R2 telle que
Dist(f(x,y),f(x’,y’))=k dist((x,y),(x’,y’))
Définition point constructible
Dans le plan avec deux points O et I choisis, un point P est constructible s’il est l’intersection de droites passant par deux points déjà construits et/ou de cercles ayant un centre déjà construit et passant par un point déjà construit
Définition nombre constructible
Un nombre a dans R est constructible s’il peut être obtenu par addition, soustraction, multiplication, division et/ou racines carrées de 0 et de 1.
On peut ainsi dire qu’un point (a,b) dans R2 est constructible si et seulement si les nombres a et b dans R sont constructibles
Exemples de nombres non constructibles et implications
Racine cubique de 2 : on ne peut pas dupliquer le cube
Cos pi/9 : on ne peut pas trissecter l’angle (pi/3)
Racine carrée de pi : la quadrature du cercle est impossible
Théorème de Thalès
Soit un triangle ABC, X un point du segment AB et Y un point du segment AC.
On a XY//BC si et seulement si |AB/XB|=|AY/YC|
Théorème des équations réduites du second degré
A un changement de repère près, toute équation du second degré en deux variables peut s’écrire comme
Soit ax2+bx2=1
Soit ax2+bx2=0
Soit y=ax2
Équations réduites non dégénérées du second degré
A un changement de repère près, les équations non dégénérées du second degré en deux variables peuvent s’écrire comme
Soit ax2+by2=1 (ellipses)
Soit ax2-by2=1 (hyperbole)
Soit y=ax2 (parabole)
Changement de repère par translation
Si R’(cal) est un repère du plan, obtenu par translation d’un repère R(cal) de telle sorte que O’_R(cal)=(a,b), alors le changement de repère est
f:(Rˆ2,R(cal))->(Rˆ2,R(cal)’):(x,y)|->(x-a,y-b)
Changement de repère par rotation de centre O et d’angle theta
Si R(cal)’ est un repère du plan, obtenu par rotation de centre O et d’angle orienté theta d’un autre repère R(cal), alors le changement de repère est f:(Rˆ2,R(cal))->(Rˆ2,R(cal)’):(x,y)|->(cos(theta).x + sin(theta).y,-sin(theta).x+cos(theta).y)
Changement de repère par réflexion
Si R(cal)’ est un repère du plan, obtenu par réflexion par rapport à l’axe OI d’un repère R(cal), alors le changement de repère est f:(Rˆ2,R(cal))->(Rˆ2,R(cal)’):(x,y)|->(x,-y)
Critère analytique de perpendicularité
Soit une droite ax+by+c=0 et un point (X,Y).
Une droite perpendiculaire passant par ce point sera d’équation bx-ay+(aY-bX)=0
Structure algébrique des isométries
Les isométries de Rˆ2 forment un groupe pour la composition de fonctions
Théorème liant congruence et isométrie
Deux triangles ABC et A’B’C’ sont congruents si et seulement s’il existe une (nécessairement unique) isométrie
f:Rˆ2->Rˆ2 telle que f(A)=A’, f(B)=B’ et f(C)=C’
Corollaire/Théorème liant isométrie aux réflexions
Toute isométrie f:Rˆ2->Rˆ2 est la composée de au plus trois réflexions
Expression analytique d’une isométrie
Une fonction f=Rˆ2->Rˆ2 est une isométrie si et seulement si
f:Rˆ2->Rˆ2:(x\ y)|->(cos(theta)&-sin(theta)\ sin(theta)&cos(theta))(1&0\0&-1)^i(x\y)+(a\ b)
Structure algébrique des similitudes
Les similitudes de Rˆ2 forment un groupe, dont les isométries forment un sous-groupe
Classification des isométries
Une isométrie est soit une réflexion, soit une translation, soit une rotation, soit une réflexion glissée
Théorème de Descartes faisant le lien entre point constructible et nombre constructible
Un point du plan est constructible à partir de deux points O et I si et seulement si ses coordonnées (dans le repère construit sur O et I) peuvent être obtenues par une séquence finie d’opérations parmi {+,-,*,/,racine carrée} de 0 et 1
Structure algébrique des nombres constructibles
Les nombres algébriques forment un sous-corps K de R, comprenant le corps Q
