Geometrie

Question 1

Définition point

Answer 1

Un point est ce qui n’a pas de partie

Question 2

Définition ligne

Answer 2

Une ligne est une longueur sans largeur

Question 3

Définition segment de droite

Answer 3

Un segment de droite est une longueur également placée entre ses points

Question 4

Définition triangles congruents

Answer 4

Deux triangles sont congruents s’il existe une correspondance bijective entre leurs sommets telle que les côtés et les angles correspondants sont égaux

Question 5

Définition parallélogramme

Answer 5

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles

Question 6

Définition triangles semblables

Answer 6

Deux triangles sont semblables s’il existe une bijection entre leurs sommets telle que les angles correspondants sont égaux et les côtés correspondants sont dans une même proportion

Question 7

Définition section d’or

Answer 7

La section d’or d’un segment AB est la donnée du point X sur le segment tel que le carré sur AX est de même aire que le rectangle de côtés AB et BX

Question 8

Définition nombre d’or

Answer 8

Le nombre d’or est la proportion, pour X la section d’or du segment AB, de la PROPORTION AB/AX=AX/BX

Question 9

1er postulat

Answer 9

On peut tracer un segment joignant deux points donnés

Question 10

2eme postulat

Answer 10

On peut prolonger un segment en une droite

Question 11

3eme postulat

Answer 11

On peut tracer un cercle de centre et point de passage donnés

Question 12

4eme postulat

Answer 12

Tous les angles droits sont égaux

Question 13

5eme postulat

Answer 13

Si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux angles droits, alors ces droites, prolongées indéfiniment, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux angles droits

Question 14

Pente d’une droite

Answer 14

Dans le plan muni d’un repère, la pente d’une droite non verticale est l’unique nombre réel dont la valeur absolue est |BX|/|AX| est le signe est déterminé par la position de la droite parallèle passant par O. La pente d’une droite verticale est, par convention, infinie.

Question 15

Orientation d’un angle

Answer 15

Dans un plan muni d’un repère, si un angle a la même orientation que le repère, alors on dit qu’il est d’orientation positive, sinon on dit qu’il est d’orientation négative.

Question 16

(cos(a),sin(a)) en fonction de a

Answer 16

(xc/ac,bx/bc) si a entre 0 et droit
(-xc/ac,bx/bc) si entre droit et 2 droits
(-xc/ac,-bx/bc) si entre 2 droits et 3 droits
(Xc/ac,-bc/bc) si entre 3 droits et 4 droits

Question 17

Définition isométrie

Answer 17

Une isométrie de R2 est une bijection f:R2->R2 telle que

Dist((x,y),(x’,y’))=dist(f(x,2),f(x’,y’))

Question 18

Interprétation passive de l’isométrie

Answer 18

Considérer le R2 du domaine de f comme la coordinatisation du plan euclidien par un repère R et de voir f comme l’expression analytique d’un changement de repère vers un autre repère R’ donnant lieu au R2 du codomaine de f
(Alias, autre nom)

Question 19

Interprétation active de l’isométrie

Answer 19

Considérer le R2 du domaine et le R2 du codomaine de f comme la coordinatisation du plan euclidien par un même repère R et voir f comme l’expression analytique d’une transformation isométrique des points du plan.
(Alibi, autre lieu)

Question 20

Définition homothétie

Answer 20

L’homothétie de R2 de facteur k dans R+* et de centre (a,b) est la fonction
F:R2->R2:(x,y)|->(k(x-a)+a,k(y-b)+b)

Question 21

Définition similitude

Answer 21

Une similitude de ratio k dans R+* de R2 est une bijection f:R2->R2 telle que
Dist(f(x,y),f(x’,y’))=k dist((x,y),(x’,y’))

Question 22

Définition point constructible

Answer 22

Dans le plan avec deux points O et I choisis, un point P est constructible s’il est l’intersection de droites passant par deux points déjà construits et/ou de cercles ayant un centre déjà construit et passant par un point déjà construit

Question 23

Définition nombre constructible

Answer 23

Un nombre a dans R est constructible s’il peut être obtenu par addition, soustraction, multiplication, division et/ou racines carrées de 0 et de 1.

On peut ainsi dire qu’un point (a,b) dans R2 est constructible si et seulement si les nombres a et b dans R sont constructibles

Question 24

Exemples de nombres non constructibles et implications

Answer 24

Racine cubique de 2 : on ne peut pas dupliquer le cube
Cos pi/9 : on ne peut pas trissecter l’angle (pi/3)
Racine carrée de pi : la quadrature du cercle est impossible

Question 25

Théorème de Thalès

Answer 25

Soit un triangle ABC, X un point du segment AB et Y un point du segment AC.
On a XY//BC si et seulement si |AB/XB|=|AY/YC|

Question 26

Théorème des équations réduites du second degré

Answer 26

A un changement de repère près, toute équation du second degré en deux variables peut s’écrire comme
Soit ax2+bx2=1
Soit ax2+bx2=0
Soit y=ax2

Question 27

Équations réduites non dégénérées du second degré

Answer 27

A un changement de repère près, les équations non dégénérées du second degré en deux variables peuvent s’écrire comme
Soit ax2+by2=1 (ellipses)
Soit ax2-by2=1 (hyperbole)
Soit y=ax2 (parabole)

Question 28

Changement de repère par translation

Answer 28

Si R’(cal) est un repère du plan, obtenu par translation d’un repère R(cal) de telle sorte que O’_R(cal)=(a,b), alors le changement de repère est
f:(Rˆ2,R(cal))->(Rˆ2,R(cal)’):(x,y)|->(x-a,y-b)

Question 29

Changement de repère par rotation de centre O et d’angle theta

Answer 29

Si R(cal)’ est un repère du plan, obtenu par rotation de centre O et d’angle orienté theta d’un autre repère R(cal), alors le changement de repère est
f:(Rˆ2,R(cal))->(Rˆ2,R(cal)’):(x,y)|->(cos(theta).x + sin(theta).y,-sin(theta).x+cos(theta).y)

Question 30

Changement de repère par réflexion

Answer 30

Si R(cal)’ est un repère du plan, obtenu par réflexion par rapport à l’axe OI d’un repère R(cal), alors le changement de repère est
f:(Rˆ2,R(cal))->(Rˆ2,R(cal)’):(x,y)|->(x,-y)

Question 31

Critère analytique de perpendicularité

Answer 31

Soit une droite ax+by+c=0 et un point (X,Y).

Une droite perpendiculaire passant par ce point sera d’équation bx-ay+(aY-bX)=0

Question 32

Structure algébrique des isométries

Answer 32

Les isométries de Rˆ2 forment un groupe pour la composition de fonctions

Question 33

Théorème liant congruence et isométrie

Answer 33

Deux triangles ABC et A’B’C’ sont congruents si et seulement s’il existe une (nécessairement unique) isométrie
f:Rˆ2->Rˆ2 telle que f(A)=A’, f(B)=B’ et f(C)=C’

Question 34

Corollaire/Théorème liant isométrie aux réflexions

Answer 34

Toute isométrie f:Rˆ2->Rˆ2 est la composée de au plus trois réflexions

Question 35

Expression analytique d’une isométrie

Answer 35

Une fonction f=Rˆ2->Rˆ2 est une isométrie si et seulement si

f:Rˆ2->Rˆ2:(x\ y)|->(cos(theta)&-sin(theta)\ sin(theta)&cos(theta))(1&0\0&-1)^i(x\y)+(a\ b)

Question 36

Structure algébrique des similitudes

Answer 36

Les similitudes de Rˆ2 forment un groupe, dont les isométries forment un sous-groupe

Question 37

Classification des isométries

Answer 37

Une isométrie est soit une réflexion, soit une translation, soit une rotation, soit une réflexion glissée

Question 38

Théorème de Descartes faisant le lien entre point constructible et nombre constructible

Answer 38

Un point du plan est constructible à partir de deux points O et I si et seulement si ses coordonnées (dans le repère construit sur O et I) peuvent être obtenues par une séquence finie d’opérations parmi {+,-,*,/,racine carrée} de 0 et 1

Question 39

Structure algébrique des nombres constructibles

Answer 39

Les nombres algébriques forment un sous-corps K de R, comprenant le corps Q