Gauss-Elimination und Matrizen Flashcards
Definition: Rang r eines LGS
Anzahl Nicht-Nullzeilen im Endschema
Ein LGS ist für beliebig rechte Seiten lösbar, wenn…
Der Rang gleich der Anzahl Zeilen ist (r=m) -> keine Kompatibilitätsbedingungen in diesem Fall
Ein LGS ist nicht für beliebig rechte Seiten lösbar, wenn…
Der Rang kleiner ist als die Anzahl Zeilen (r nur lösbar wenn KB’s erfüllt wobei es m-r KB’s gibt
Ein LGS hat eine eindeutige Lösung, wenn…
Der Rang/ die Anzahl Pivote der Anzahl Spalten entspricht -> keine freien Variablen/Parameter
Ein LGS hat dann eine Lösungsschar, wenn…
Der Rang/ die Anzahl Pivote kleiner ist als die Anzahl Spalten -> es gibt n-r freie Variablen/Parameter
Definition: homogenes Gleichungssystem
Alle rechten Seiten sind null; KB’s sind immer erfüllt; triviale Lösung x1=x2=…=0; Lösungsschar wenn r
Definition: Quadratisches Gleichungssystem
n=m (gleich viele Spalten, wie Zeilen); symmetrisch
Definitionen: Diagonalmatrix; Nullmatrix; Einheitsmatrix/Identität
Nur Zahlen in der Diagonalen
Alles Nullen
n*n Matrix mit Einsen in der Diagonalen
Welche Rechenregeln gelten für Matrizen?
Das Assoziativ- und Distributivgesetz. Für die Multiplikation gilt das Kommutativgesetz NICHT!
Matrixschreibweise für ein LGS:
Ax=b
Wie transponiert man eine Matrix?
Die erste Zeile wird zur ersten Spalte, die zweite zur zweiten Spalte und so weiter
Wann ist eine Matrix symmetrisch?
Wenn die Transponierte gleich der Ausgangsmatrix ist;
alle Quadratischen Matrizen sind symmetrisch
Wann ist eine Matrix antisymmetrisch?
Wenn die Transponierte der negativen Ausgangsmatrix entspricht
Definition: reguläre Matrix
Die Matrix ist invertierbar; r=n
Gegenteil: singulär wenn r
Rechenregeln für Inverse von Matrizen: -> evtl siehe Physische Karteikarten
Aˆ-1 * A = Identitätsmatrix
(AB)ˆ-1 = Bˆ-1 * Aˆ-1 (Umgedreht!)
AˆT ist auch regulär
