ForSy Flashcards
Präfix
Vorsilbe
Suffixe
Endsilbe
Infix
Teilwort in der Mitte
Formale Sprache
Menge von Wörtern über einem Alphabet
Kleinste Sprache
Leere Sprache
Größte Sprache
Sprache aller Wörter
Wie viele Wörter gibt es?
Abzählbar viele Wörter über jedem Alphabet, jede Sprache ist endlich oder abzählbar unendlich
Wie viele Sprachen gibt es ?
Überabzählbar viele Sprachen über jedem beliebigen Alphabet
Terminalsymbole
Elemente vom Alphabet
Nichtterminalsymbole
Variablen
Sprache einer Grammatik
Allen Wörtern über einem Alphabet, die man von S ableiten kann
Typ–0 Grammatik
Unbeschränkt
Typ–1 Grammatik kontextsenstiv
W–>V |w|<= |v|
Typ–2 kontextfreie Grammatik
A–>v A ist eine Variable
Typ–3 Grammatik regulär
Rechte Seite ein Terminalsymbol und maximal ein weiters Nichtterminalsymbol, Nichtterminalsymbol muss immer auf einer Seite stehen
Wortproblem
Ist ein Wort in einer Sprache
Deterministisch endlicher Automat
M=(Zustandsmenge, Alphabet, Übergangsfunktion, Startzustand, Endzustand)
Sprache endlicher Automaten
Reguläre Sprachen
NFA
DFA mit Menge von Startzuständen und Endzuständen
NFA, Epsilon-NFA, NFA-Wort (Aussagkraft)
gleiche Aussagekraft
Abschlusseigenschaften: Vereinigung
Automaten nebeneinander
alle Sachen der Tupel vereinigen
neue Übergangsfunktion die beide Übergangsfunktionen enthält
Abschlusseigenschaften: Schnitt
alle Kombinationen von Zuständen
Startzustände: Kombination von zwei Startzuständen
Endzustände: Kombinationen von zwei Endzuständen
Übergänge: nur wenn von beiden Zuständen das Symbol eingelesen werden kann
Abschlusseigenschaften: Komplement
alles gleich
Endzustände: alle Zustände die im alten Automaten keine Endzustände sind
Abschlusseigenschaften: Konkatenation
Startzustand: Startzustand des ersten Automaten
Endzustand: Endzustand des zweiten Automaten
Übergänge: alle Übergänge aus alten Automaten, Epsilon Übergang vom alten Endzustand des ersten Automaten zum Startzustand des zweiten Automaten
reguläre Sprachen
sind endlich, genügt endlichen Automaten anzugeben, regulären Ausdruck, Typ-3-Grammatik, Pumping-Lemma (notwendiges Kriterium)
Kleenes Theorem
Eine Sprache wird genau dann von einem regulären Ausdruck beschrieben, wenn sie von einem endlichen Automaten erkannt wird
Umwandlung NFA -> regulärer Ausdruck
- entfernen unnötiger Zustände
- Gleichungssystem
- lösen durch einsetzten, Arden
- angeben Ausdruck
Äquivalenz von Zuständen
Zwei Zustände sind gleichwertig wenn man ausgehend von ihnen die gleiche Sprache akzeptiert
Reduktion von Automaten
- entfernen aller unerreichbaren Zustände
- Quotientenautomat
Nerode-Rechtskongruenz
zwei Wörter sind äquivalent wenn sie al Präfixe vor ein Wort gehängt werden können und das neue Wort immer noch Teil der Sprache ist
Satz von Myhill und Nerode
Eine Sprache ist genau dann regulär, wenn die Nerode-Rechtskongruenz endlich viele Äquivalenzklassen hat
Nicht-reguläre Sprachen
- unendlich viele Äquivalezklassen der Nerode-Rechtskongruenz
- Sprache wird von einem Kellerautomaten akzeptiert
Chomsky Normalform
alle Regeln der Form: A->AB oder A->c
Abschlusseigenschaften Typ-2-Sprachen
Vereinigung, Konkatenation, Kleene-Stern
Kellerautomat
(Menge von Zustände, Eingabe Alphabet, Kelleralphabet, Übergangsfunktion, Startzustände, Endzustände)
Deterministische Kellerautomaten
M =(endliche Menge von Zuständen, Eingabealphabet, Kelleralphabet, Übergangsfunktion, Startzustand, Endzustände)
Übergangsfunktion: (q,a,A), (q,a,Eps), (q,Eps,A), (q,Eps,Eps)
erkennen deterministisch kontextfreie Sprachen
deterministisch kontextfreie Sprache
erkannt durch DPDA
echte Untermenge der kontextfreien Sprachen
unter Komplement abgeschlossen
Turing-Mächtigkeit
TM ist das mächtigste Berechnungsmodelle, was nicht TM berechenbar ist gilt als unberechenbar (Programmiersprachen etc.)
Konjunktion
Und ^
Disjunktion
Oder ∨
Modell
w ist ein Modell von F, wenn w F erfüllt
logische Konsequenz
F erfüllt G, wenn jedes Modell von F auch ein Modell von G ist
Logische Konsequenz allgemeingültige Formel
Jede allgemeingültige Formel ist logische Konsequenz von allen anderen Formeln
Logische Konsequenz unerfüllbaren Formel
Eine unerfüllbaren Formeln hat jede andere Formel als logische Konsequenz
Semantische Äquivalenz
Zwei Formelmengen sind semantisch äquivalent wenn sie die selben Modelle haben
(alle Tautologien und unerfüllbaren Formel sind äquivalent)
Negationsform
besteht nur aus UND, ODER und NEGATIONS
-> Negation nur direkt vor Atomen
Konjunktive Normalform
Konjunktion von Disjunktionstermen
-> erfüllbar, wenn alle Klauseln erfüllbar
Disjunktive Normalform
Disjunktion von Konjunktionstermen
-> erfüllbar, wenn eins der Monome erfüllbar
Horn-Formel
KNF, pro Klausel höchstens ein nichtnegiertes Literal
SAT
-Erfüllbarkeit von aussagenlogischen Formeln
-entscheidbar
-LBA -> Typ-1
-speicherbeschränkt
-NP
-nachweis-polynomiell
-NP-vollständig
-DTIME(2^n)
DSPACE(n)
O(f)-zeitbeschränkt
Tm hält bestimmter Anzahl von Schritten in Abhängigkeit zu der Eingabe
O(f)-speicherbeschränkt
TM verwendet nur eine bestimmte Anzahl von Speicherzellen in Abhängigkeit von der Eingabe (LBA)
DTIME(f(n))
Klasse aller Sprachen, welche durch zeitbeschränkt TM entschieden werden können
DSPACE(f(n))
Klasse aller Sprachen die von speicherbeschränkten TM entschieden werden können
Komplexitätsklassen
P, Exp, L, PSpace
P
Polynomielle Zeit
DTime(n^d)
Exp
Exponentielle Zeit
DTime(2^(n^d))
L
Logarithmischer Speicher
DSpace(log n)
PSpace
Polynomieller Speicher
DSpace (n^d)
Beziehung Komplexitätsklassen
L⊆ P ⊆ PSpace ⊆ Exp
-> P ⊊ Exp
-> L ⊊ PSpace
O(f)-zeitbeschränkt (Nichtdeterministische TM)
jeder Berechnungspfad hält nach einer Anzahl von Schritten in Abhängigkeit von der Eingabe
NSpace(f(n))
Klasse aller Sprachen, welche durch eine speicherbeschränkte NTM entschieden werden können
O(f)-speicherbeschränkt (Nichtdeterministische TM)
jeder Berechnungspfad verwendet nur eine bestimmte Anzahl von Speicherzellen in Abhängigkeit von der Eingabe
NTime(f(n))
Klasse aller Sprachen, welche durch eine O(f)-zeitbeschränkte NTM entschieden werden können
Nichtdeterministische Komplexitätsklassen
NP, NExp, NL, NPSpace
NP
nichtdeterministische Polynomielle Zeit
NTime(n^d)
NExp
nichtdeterministische Exponentielle Zeit
NTime(2^(n^d))
NL
nichtdeterministischer polynomieller Speicher
NSpace (log n)
NPSpace
nichtdeterministischer polynomieller Speicher NSpace (n^d)
Beziehung aller Komplexitätsklassen
L ⊆ NL ⊆ P ⊆ NP ⊆ PSpace = NPSpace ⊆ Exp ⊆ NExp
Polynomieller Verifikator
Zertifikat = Lösung
Verifikator = prüft Lösung
TM die Lösungen prüfen
Nachweis-polynomiell
Sprache hat einen polynomiellen Verifikator
NP-schwer
wenn jede Sprache in NP darauf reduzierbar ist
NP-vollständig
NP-schwer, liegt in NP
P-schwer
wenn jede Sprachein P mit logarithmischen Speicherbedarf darauf reduzierbar ist