Final_MM

Question 1

y’-ay = 0 ?

Answer 1

y(x) = C_1 e^{ax}

Question 2

y’’ -ay’+2y = 0 ?

(3 cas)

Answer 2

2 Racines R:
y(x) = A e^{r_1 x} + B e^{r_2 x}
Racine R double:
y(x) = A e^{rx} + B x e^{rx}
Racine C:
y(x) = A cos(rx) + B sin(rx)

Question 3

y’’ + ay’ + c = 0

Answer 3

y = y_h + y_p

y_h:
y’’ +ay’ = 0

y_p:
y_p = alpha
choisir alpha qui ressemble à c
essayer dans l’equation initiale

Question 4

y’ +p(x) y = w(x)

Answer 4

F = exp{int p(x)dx}
(Fy)’ = Fw(x)
y = int(Fw(x)dx)/F

Question 5

x^2y’’ + ax’ +by = 0

Answer 5

y = x^m

2 Racines R:
y(x) = C_1 x^{r_1} +C_2 x^{r_1}
Racine R double:
y(x) = C_1 ln(x) x^r + C_2 x^r
Racine C:
y(x) = x^a (C_1cos(Bln(x)) + C_2sin(Bln(x))

Question 6

x’’ = lambda x , 0<x<L
x(0) = x(L) = 0

Answer 6

X_n(x) = A_n sin(nx) , n = 1,2,3,…

lambda_n = -n^2

Question 7

x’’ = lambda x , 0<x<L
x’(0) = x’(L) = 0

Answer 7

X_n(x) = A_n cos(nx) , n = 0,1,2,3,…

lambda_n = -n^2

Question 8

Quelle forme ont les problèmes de Sturm-Liouville?

Answer 8

y’’ + A(x)y’ + B(x)y = lambda C(x)y (1)

p(x) = exp(A(x)) (2)

(1) + (2):

d/dx(p(x) dy/dx) + q(x)y = lambda r(x)y

q(x) = p(x)B(x) ; r(x) = p(x)C(x)

Question 9

Comment définit-on le produit scalaire de fonctions

Answer 9

<f,g> := int[a,b] r(x) f*(x)g(x)dx

Question 10

Quel est la définition d’un opérateur hermitien

Answer 10

Adag = A

Question 11

Quel est l’opérateur de Sturm Liouville?

Answer 11

L(y) = d/dx(p(x) dy/dx) + q(x)y

Question 12

Comment vérifier qu’un opérateur de Sturm Liouville est Hermitien?

Answer 12

(f,L(g)) = (L(f),g)

Hermitien si:

p(x) [f(x)dg/dx -df/dx g(x)]|a->b = 0

Question 13

Quelle forme ont les séries de Fourrier généralisées ainsi que leurs coefficients?

Answer 13

f(x) = Sum[1,inf] a_n y_n(x)

a_n = <y_m,f>/<y_m,y_m>

Question 14

Quel est le Théorème de Fucks ainsi que ses conditions?

Answer 14

y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0

SI:
p et q sont Analytiques dans IR

Sin. de la forme:

y(x) = Sum[n=0,inf] a-n (x-x_0)^n

Question 15

xy’’ + y’ + xy = 0?

Answer 15

y(x) = a_0 J_o(x)

Question 16

Qu’est-ce que la méthode de Frobénius et quelles sont ses conditions?

Answer 16

x^2y’’ + xb(x)y’ + c(x)y = 0 (1)

SI:
b,c sont analytique en x=0

Alors il existe une sin de la forme:

y(x) = Sum[n=0,inf] a_n x^{n+r} (2)

équation indicielle:
r(r-1) + b(0)r +c(0) = 0
r1,r2 = …

(1) - > (2) =>relation de récurrence =>a_n

y_1 = x^{r_1} Sum[n=0,inf] a_n x^n

-Si r_ =/= r_2 et r_1 - r_2 E/ IN:

y_2 = x^{r_2}Sum[n=0,inf] A_n x^n

-Si r_ =/= r_2 et r_1 - r_2 E IN*:

y_2(x) = ky_1(x)ln(x) + x^{r_2}Sum[n=0,inf]A_n x^n

-Si r_ = r_2 :

y_2(x) = y_1(x)ln(x) + x^{r}Sum[n=0,inf]A_n x^n

Question 17

n!! =

Answer 17

n(n-2)(n-4)…

Question 18

Gamma(z) =

Answer 18

int[0,inf] t^{z-1}e^-t dt

Question 19

Gamma(z+1) =

Answer 19

zGamma(z)

Question 20

Gamma(m+1) =

Answer 20

m!

Question 21

Gamma(n+1/2)

Answer 21

sqrt(pi) (2n)!/4^n n!

Question 22

Beta(m,n) =

Answer 22

int[0,1] t^{m-1}(1-t)^{n-1}dt

Gamma(m)Gamma(n)/Gamma(m+n)

Question 23

Quelle est la forme de l’équation de Legendre ainsi que ses conditions?

Answer 23

(1-x^2)y’’ -2xy’ - lambda y = 0 , |x|<1

y’’ -2x/(1-x^2)y’ lambda/(1-x^2)y = 0

Réso par série de puissance

eq récurrence : lambda = -l(l+1)

C_{n+2} = (C_n n(n+1)+ lambda)/((n+2)(n+1))

SI lambda = -l(l+1):

y(x) = C_1 P_l(x) + C_2 Q_l(x)

Question 24

Quelle est la formule de Rodrigue pour les polynômes de Legendre

Answer 24

1/(2^l l!) d^l/dx^l(x^2 -1)^l

Question 25

Quel est le binôme de Newton

Answer 25

(a+b)^m =Sumj=0,ma^jb^{m-j}

Question 26

Quelles sont les formules de Rodrigues généralisées ainsi que leur conditions?

Answer 26

p(x)y’’ +q(x)y’ +ly =0

degré p(x) =<2
degré q(x) =<1

SI: l = l_n = 1/2 p’’ n(n-1) - q’n

y_n(x) = Cn/w(x) d^n/dx^n (w(x)(p(x))^n), Cn E IR est une constante

Question 27

Fonction génératrice des polynômes de Legendre

Answer 27

1/sqrt(1-2tx+t^2) = SUM[l=0;inf] P_l(x) t^l
|x|<1, 0=<t=<1

Question 28

Quelle forme ont les séries de Fourrier Legendre?

Answer 28

f(x) = Sum[l = 0;inf]a_l P_l(x)

où

a_l = (2l+1)/2int[-1;1]P_l(x)f(x)dx, l >=0

Question 29

int-1,1^2dx =

Answer 29

2/(2l+1)

Question 30

combinaison de 0 parmis n

Answer 30

1

Question 31

combinaison de 1 parmis n

Answer 31

n

Question 32

combinaison de 2 parmis n

Answer 32

n(n-1)/2