Final exam

Question 1

Quelles sont les 4 sortes d’équations?

Answer 1

Vectorielle, paramétrique, symétrique et cartésienne

Question 2

Comment trouver un point dans chaque sorte d’équation?

Answer 2

Dans l’équation vectorielle le point est indiqué après le (x,y) =
Dans l’équation paramétrique c’est la même chose, le point se situe après le x= y=
Dans l’équation symétrique le point se trouve à être le nombre seul avant le x ou y et il se trouve à être de nature inverse.
Dans l’équation cartésienne, le point doit être trouvé en remplaçant la valeur de x et en trouvant celle de y qui y est associée.

Question 3

Quelle est la particularité par rapport au vecteur directeur dans l’équation cartésienne?

Answer 3

Il n’y en a pas, il y a le vecteur normal.

Question 4

Comment trouver le vecteur directeur à partir du vecteur normal dans R^2?

Answer 4

En inversant les deux chiffres puis en changeant le signe de l’un d’eux.

Question 5

Comment trouver la position relative de deux droites dans R^2?

Answer 5

Il faut d’abord trouver si les droites sont parallèles en vérifiant si le même facteur se retrouve entre toutes les variables. Si elles sont parallèles alors il faut vérifier si un point de la première droite appartient également à la deuxième droite. Si c’est le cas alors les droites sont parallèles confondues. Si ce n’est pas le cas, elles sont parallèles distinctes. Dans le cas où les droites ne sont pas parallèles au départ, il faut trouver le point d’intersection.

Question 6

Quelle est la meilleure façon de trouver le point d’intersection entre deux droites concourantes dans R^2?

Answer 6

Avec la forme cartésienne et la forme paramétrique. Il faut remplacer les valeurs de x et y de la forme paramétrique dans les valeurs de x et y de la forme cartésienne puis isoler k. On remplace ensuite ce k dans l’équation paramétrique afin de trouver le point d’intersection.

Question 7

Quelles sont les façons de savoir si deux droites de R^2 sont parallèles?

Answer 7

En faisant le rapport des composantes ou en multipliant le vecteur directeur et le vecteur normal. Si le résultat est 0, alors les droites sont parallèles. Si le résultat n’égal pas 0, alors les droites sont concourantes.

Question 8

Comment calculer l’angle entre deux droites de R^2?

Answer 8

Avec cos (θ) = Directeur de D1 • Directeur de D2 / || Directeur de D1 || || Directeur de D2 ||

et θ2 = 180 - θ

Le plus petit des deux angles est le bon angle.

Question 9

Comment calculer la distance entre un point et une droite dans R^2?

Answer 9

Il nous faut un point sur la droite et la normale de la droite. On fait ensuite la projection orthogonale de la distance entre le point de la droite et le point sur la normale de la droite.

On calcule finalement avec la formule | PA • n | / ||n||

Question 10

Comment trouver le point sur une droite le plus près d’un point dans R^2?

Answer 10

On sait que PM = PA sur n
On fait alors PO + OM = PA sur n
On termine avec OM = OP + PA sur n
On calcule finalement avec PA sur n qui égal à :
(PA • n / n • n ) • n puis en additionnant le point OP.
Ça nous donne OM et donc les coordonnées du point M.

Question 11

Comment trouver le vecteur directeur d’une droite en sachant seulement par quels deux points elle passe dans R^2?

Answer 11

En soustrayant les deux points.

Question 12

Comment trouver la distances entre deux droites parallèles dans R^2?

Answer 12

On prend un point sur chacune des droites, puis on trouve la normale qui est la même pour les deux droites puisqu’elles sont parallèles. On calcule avec | PA • n | / ||n||

Question 13

Comment trouver l’équation de la trajectoire d’un point telle que sa distance à la droite est donnée? Dans R^2

Answer 13

On prend un point sur la droite (A) et le vecteur normal de la droite. On ne connait pas les coordonnée du point P.

On fait | AP • n | / | |n|| = à la valeur de la distance donnée

Comme le haut de l’équation est en valeur absolue, la réponse de l’autre coté de l’équation est +/- .

On ramène finalement tout du même coté de l’équation, et nous avons deux valeurs comme réponse, celle avec le + et celle avec le -.

Question 14

Comment déterminer l’équation d’une droite dont chacun des points est situé deux fois plus loin de D1 que de D2 dans R^2?

Answer 14

Comme le point est situé deux fois de D1 que de D2, la distance
d (D, P) = 2 d (D2, P)

Pour faire le reste, nous avons besoin d’un point de chacune des droites et d’un vecteur normal pour chacune des droites. (4 éléments différents)

On remplace ensuite les deux cotés de l’équation plus haut par
| PA • n | / | |n||

Comme on ne connait pas les coordonnées du point P, on obtient des valeurs inconnues.

Comme il y a une valeur absolue, un coté de l’une des équations sera négatif.

On obtient deux équations différentes qui égales à 0 au final.

Question 15

Nommez les plans et les droites perpendiculaires à ces plans dans R^3

Answer 15

XOZ, perpendiculaire à j
YOZ perpendiculaire à i
XOY perpendiculaire à k

Question 16

Comment vérifier si un point appartient à la droite d’équation vectorielle dans R^3?

Answer 16

On met l’équation sous la forme paramétrique puis on trouve les valeurs de k, si elles sont pareilles pour toutes les variables alors le point appartient à la droite.

Question 17

Quelle sorte d’équation de droite il n’y a pas dans R^3?

Answer 17

L’équation cartésienne.

Question 18

Comment donner la position relative de deux droites dans l’espace? dans R^3?

Answer 18

Les deux droites peuvent être parallèles si leurs vecteurs directeurs sont parallèles (rapport des composantes).

Si elles le sont, il faut alors vérifier si elles sont distinctes ou confondues en vérifiant si un point de la première droite se retrouve dans la deuxième droites. Pour se faire, on remplace les valeurs dans l’équation symétrique ou paramétrique et on vérifie si on obtient les mêmes valeurs de k pour toutes les variables, si c’est le cas, alors les droites sont parallèles confondues.

Si les droites ne sont pas parallèles alors elles sont soit sécantes (concourantes) ou gauche (elles ne se rencontrent pas). Pour vérifier si elles sont sécantes ou gauche, on fait le produit mixtes des vecteurs de chacune avec la distance entre un point sur chacune des droites. Si le résultat = 0 alors les droites sont concourantes et il y a un point d’intersection. Si le résultat n’égal pas 0, les droites sont gauches et n’ont pas de point d’intersection.

Dans le cas où les droites sont concourantes donc ont un point d’intersection, on met les deux équations sous la forme paramétrique puis on fait égaler les deux côtés. On crée ainsi une matrice 2 x 3 qu’on résous avec Gauss-Jordan. Les valeurs obtenues sont les valeurs de k et de r au point d’intersection. On remplace donc ce k ou ce r dans on équation respective et le résultat obtenu est le fameux point d’intersection.

Si les droites sont gauches, on peut écrire que puisque que d1, d2 et A1A2 ne sont pas coplanaires, les droites sont gauches et il n’y a pas de point d’intersection.

Question 19

Comment calculer l’angle formé par deux droites dans l’espace (R^3)?

Answer 19

Avec cos θ = d1 • d2 / La norme de d1 • la norme de d2
θ2= 80 - θ
On choisi le plus petit angle qui doit se retrouver entre 0 et 90 degrés

SEULEMENT AVEC VECTEUR DIRECTEUR

Question 20

Comment calculer la distance entre un point et une droite dans R^3?

Answer 20

On a besoin d’un point de la droite et de son vecteur directeur.

On calcule ensuite | AP • d | / norme de d

La distance entre le point et la droite se trouve à être la racine carré de AP^2 - le résultat qu’on vient d’obtenir (projection orthogonale de AP sur d)

Question 21

Comment trouver le point M de D le plus près d’un point donné dans R^3?

Answer 21

Comme on travaille avec le vecteur directeur, on prend AM = AP projection sur d et on manipule jusqu’a obtenir:

OM = OA + AP sur d

On calcule ensuite en se rappelant que AP sur d = (AP • d / d•d ) • d

Le résultat final OM est le point M recherché.

Question 22

Comment trouver la distance entre les droites D1 et D2 dans R^3?

Answer 22

On procède de la même façon mais il faut choisir un point qui sera P dans l’une des droites.

Bien se rappeler que le vecteur directeur que comme on projète sur le vecteur directeur parce qu’il n’y a pas de vecteur normal pour les droites dans R^3, c’est AP, A étant le point sur la droite pour laquelle on a sélectionné le vecteur directeur.

Question 23

Comment calculer la distance entre deux droites non-parallèles dans R^3?

Answer 23

Pour se faire il nous faut absolument un vecteur normal.

D’abord on a besoin d’un point sur chacune des droites. (P et A). La distance entre les deux droites se trouve à être la distance entre Q1 et Q2 qu’on ne connait pas et elle se trouve à être la projection orthogonale de PA sur le vecteur normal qui correspond aux deux droites qui nous allons trouver.

Il faut trouver les vecteurs directeurs des deux droites, en faisant le produit vectoriel de ces deux vecteurs d1 x d2, on trouve la normale qui correspond aux deux droites.

Avec les deux points on trouve la distance entre P et A puis on remplace le tout dans l’équation de la projection qui est la suivante
|PA • n| / ||n||

Si les droites sont sécantes, (pas gauche, on obtient une distance de 0)

Question 24

Comment trouver les coordonnées des points les plus rapproché sur les droites D1 et D2 connaissant les équations des deux droites dans R^3?

Answer 24

Il faut trouver un point sur chacune des droites puis faire égaler OP1 = OA1 + sd1, même chose pour la deuxième droite.

Ensuite on doit formuler P1P2 qui égal à OP2 - OP1

Comme P1P2 est perpendiculaire à d1 et d2, il faut faire en sorte que P1P2 • d1 = 0 et P1P2 • d2 = 0

On obtient alors deux équations avec s et t inconnus, on résous alors le système d’équation avec Cramer ou Gauss-Jordan, puis on remplace les valeurs de s et de t trouvées dans nos équations ce qui donne les coordonnées des points P1 et P2.

Question 25

Comment déterminer le lieu géométrique de tout les points (P (x,y,z) qui sont à une distance de 3 unités de la droite dont on connait l’équation? (R^3)

Answer 25

Le rayon du cylindre qu’on va obtenir est la distance donnée.

On fait en sorte que 3= Racine carrée de norme de AP^2 - norme projection orthogonale AP sur d ^2.

On choisit un point A sur la droite et on calcule AP qui va donner des binômes avec des variables inconnues de x, y et z. La norme de AP est la racine carré de ce résultat.

La projection orthogonale de AP sur d se trouve de la même façon que d’habitude.

On met ensuite les résultats ensembles selon la formule avec = 3 puis on résout

Question 26

Comment déterminer l’équation cartésienne d’un plan à partie de 3 points.

Answer 26

On forme deux vecteurs qui commencent au même point et on fait leur produit vectoriel pour obtenir la normale du plan.

Une fois obtenue on entre les valeurs de la normale dans l’équation cartésienne, cela nous donne une équation partielle puisque nous n’avons pas la valeur de d.

Pour trouver la valeur de d on prend un point du plan et on l’insère dans la formule jusqu’à isoler d.

Question 27

À quoi ressemble l’équation vectorielle d’un plan?

Answer 27

Elle a deux vecteurs directeurs donc deux k.

Question 28

Comment trouver facilement d’autres vecteurs directeurs d’un plan?

Answer 28

En inversant tout les signes. OU en trouvant des combinaisons linéaires des vecteurs directeurs déja trouvés.

Question 29

Comment déterminer des points d’un plan?

Answer 29

En changeant les valeurs de k, elles n’ont pas besoin de valeur 1 toutes les deux, une peut être 1, l’autre 2.

Question 30

Comment savoir si un point appartient au plan?

Answer 30

On entre le point dans l’équation paramétrique puis on forme une matrice augmentée. On la résous avec Gauss-Jordan. Si il n’y a aucune solution, alors le point n’appartient pas au plan. Si on trouve deux valeurs de k, alors le point appartient au plan.

Question 31

Comment déterminer l’équation cartésienne d’un plan?

Answer 31

On trouve la normale en faisant le produit vectoriel de deux vecteurs puis en trouvant d avec un point.

Question 32

Comment trouver l’équation vectorielle du plan à partir de l’équation cartésienne?

Answer 32

On trouve 3 points non-alignés, (Avec une seule variable et le reste 0 si possible) puis on trouve AB et AC. On entre ensuite les valeurs dans l’équation avec un point.

Question 33

Comment trouver la position relative de deux plans?

Answer 33

On fait le rapport des composantes entre les vecteurs normale des deux plans. Si la même valeur se retrouve entre toutes les composantes, alors ils sont parallèles. On vérifie ensuite si un point du plan 1 appartient au plan 2, en entrant ses valeurs dans l’équation du plan 2. Si on obtient pas 0 (équation cartésienne), alors le point n’appartient pas au plan et les plans sont parallèles distincts. Si il l’était alors ils seraient confondus.

Si les plans ne sont pas parallèles alors ils sont sécants et se rencontrent en une droite d’intersection. Pour la déterminer, on résous un système d’équation en entrant les deux équations cartésienne dans une matrice. On résous ensuite en posant z = k et on pose l’équation de la droite sous la forme paramétrique.

Question 34

Comment trouver deux plans contenant la droite D ?

Answer 34

Tout vecteur normale à la droite est aussi un vecteur normal d’un plan. Ainsi, à partir des vecteurs, on trouve deux plans tel que d1 • n = 0 puis on insère les vecteurs dans l’équation cartésienne du plan.

Question 35

Comment trouver l’angle formé par deux plans?

Answer 35

Nommé l’angle dièdre on calcule à l’aide de cos θ = n1 • n2 / norme de n1 • norme de n2.

On fait 180 - cet angle

Le plus petit est le bon angle.

Question 36

Comment déterminer la position relative d’une droite et d’un plan?

Answer 36

on fait le vecteur directeur de la droite • la normale du plan. Si ça donne 0 alors ils sont parallèles. Si ça ne donne pas 0, les droites ne sont pas parallèles. On prend un point de la droite et on l’insère dans la formule du plan pour voir si la droite est contenue dans la plan, si ça donne 0, alors c’est dans le plan, sinon c’est parallèle distinct.

Si ils ne sont pas parallèle, on trouve alors le point d’intersection avec la droite sous forme paramétrique et le plan sous forme cartésienne. On remplace les valeurs de x y et z puis on isoler k. On entre finalement la valeur de k dans l’équation paramétrique du début et on trouve le point.

Question 37

Comment trouver l’angle formé par une droite et un plan?

Answer 37

On a besoin d’un vecteur directeur de la droite et de la normale du plan.
Il se nomme l’angle de percée, on le trouve avec cos θ = d • n / norme de d • norme de n. Si le résultat est négatif, on applique la valeur absolue. On fait ensuite 90 - cet angle et c’est la réponse.

Question 38

Comment calculer la distance entre un point et un plan?

Answer 38

On prend un point A de notre plan et son vecteur normal. On fait ensuite la projection orthogonale de PA sur n qui = PA • n / norme de n

Question 39

Comment trouver le point d’un plan le plus près d’un point donné?

Answer 39

Ce point peut être nommé le point M,
On trouve un point A du plan et on fait
PM = PAn jusqu’à obtenir OP = (PA • n / n • n) • n
On trouve ainsi le point à la fin.

Question 40

Comment trouver la distance entre deux plans parallèles?

Answer 40

Même chose qu’avec un point mais on doit trouver un point pour les deux plans.

Question 41

Comment calculer la distance entre un plan et une droite parallèles?

Answer 41

Même chose qu’avec un point mais on doit trouver un point sur la droite.

Question 42

Comment déterminer le rayon d’une sphère si on connait le coordonnée de son centre et du plan qui lui est tangent ?

Answer 42

C’est comme calculer la distance entre un point et un plan.

Question 43

Comment trouver le point de tangence entre un plan et une sphère?

Answer 43

En trouvant les coordonnées du point T (x,y,z) comme à l’habitude. Avec OT = OC + CAn

Question 44

****Comment déterminer le point Q symétrique de P par rapport à une droite d’équation donnée?

Answer 44

On doit trouver les coordonnées du point M d’abord. On le fait avec AM = APd, avec un point sur le droite et un vecteur directeur.
Quand on a trouvé M, on trouve PM et comme PM = MQ, on fait égaler les deux côtés de l’équation puis on résous pour trouver les coordonnées du point Q.

Question 45

***** Comment déterminer l’équation du plan perpendiculaire à D situé à une telle distance?

Answer 45

Comme le plan est perpendiculaire à la droite, le vecteur directeur de la droite est le vecteur normal du plan. On trouve ainsi l’équation partielle du plan.

Pour trouver d, nous avons besoin d’un point du plan, ce que nous n’avons pas, nous le trouvons en faisant la distance entre l’origine et le plan avec OA • n / norme de n

On multiplie OA par n ce qui donne des valeurs de x, y et z inconnues qu’on fait égaler à notre valeur obtenue qui est +/- à cause de la valeur absolue. Deux réponses possibles, une avec -, une avec +.

Question 46

*****Comment déterminer l’équation de la projection orthogonale de la droite D sur un plan donné?

Answer 46

Il faut d’abord trouver le point d’intersection entre d et le plan
Pour se faire, on remplace les valeurs de l’équation paramétrique de la droite dans l’équation cartésienne du plan et on trouve k qu’on remet dans l’équation pour trouver x,y,z.

Ensuite, le deuxième point est le point M du plan le plus près du point de la droite.

OM = OP + PM
OM = OP + PIn (I étant le point d’intersection)
On trouve la valeur de M au final puis on calcule IM

On entre ensuite le point d’inteserction et IM à la place du vecteur directeur dans l’équation de la droite.

Question 47

** Comment trouver l’équation cartésienne du plan contenant les droites parallèles sous forme symétrique?

Answer 47

Comme D1 et D2 sont contenus dans le plan, ils sont donc des vecteurs directeurs du plan.
On en prend un à partir d’une des droites et l’autre doit être trouvée pour être indépendante de la première.

On trouve ce vecteur en créant P1P2 à partir des points des deux droites.

On trouve le vecteur normal en faisant le produit vectoriel des deux vecteurs directeurs. On trouve ainsi l’équation partielle.

Pour trouver D, on prend un point contenu dans le plan, donc également dans l’une des droites puis on l’insère et on isole d.

Question 48

**Comment déterminer le lieu géométrique des points P(x, y) qui sont équidistants du point Q (-3,5) de la droite D : y-3 = 0

Answer 48

On cherche des points tel que d(P,Q) = d(P,D)

d(P,Q) = la norme de QP donc racine carrée de (x+3)^2 + (y-5)^2

d(P,D) = |y-3|

On fait égaler les deux puis on isole y.