Extra Flashcards
Wenn man bei einem Test alpha = 0 wählt, kann man niemals einen Fehler begehen.
Richtig/Falsch?
Falsch
Ein einseitiger Test wird- wenn möglich - so aufgebaut, dass die Hypothese, die statistisch zu beweisen ist, als Nullhypothese formuliert wird.
Richtig/Falsch?
Falsch
In den Hypothesen eines statistischen Parametertests wird eine Annahme über die bekannten Verteilungsparameter der Grundgesamtheit formuliert.
Richtig/Falsch?
Falsch
—> UNBEKANNTEN
Die Gütefunktion ist eine Funktion des zu testenden Parameters.
Richtig/Falsch?
Richtig
Wenn bei einem Test auf müh in Wahrheit die Gegenhypothese richtig ist, so ist die Wahrscheinlichkeit für die Verwerfung der Nullhypothese gleich 1 - Beta.
Richtig/Falsch?
Richtig
—> P(„H1“, H1) entspricht 1 - Beta
Bei der Durchführung eines statistischen Tests kann man stets den Fehler 1.Art und den Fehler 2.Art begehen.
Richtig/Falsch?
Falsch
Die Gütefunktion eines Tests lässt sich erst berechnen, wenn die Testentscheidung vorliegt.
Richtig/Falsch?
Falsch
Die Festlegung der Hypothese H0 und H1 beim Signifikanztest muss abhängig vom Stichprobenereignis erfolgen.
Richtig/Falsch?
Falsch
P(„H1“|H0) = ??
alpha
P(„H0“|H1) = ?
beta
P(„H1|H1) = ?
1 - beta
P(„H0“,H0) = ?
1 - alpha
Testergebnis inhaltlich interpretieren.
Standardbeginn: ?
Basierend auf einer Zufallsstichprobe von n=20/z.B. 20 Käse
konnte bei einem Signifikanzniveau von alpha = … statistisch nicht bewiesen/bewiesen werden, dass ….
—> immer auf H1 bezogen!
Welche Gründe könnte es für die Wahl einer verbundenen Stichprobe bei einem Test auf Vergleich zweier Mittelwerte geben? (3)
- weniger Probanden nötig —> weniger Erhebungskosten
- Prüfung auf Varianzhomogenität entfällt
- je stärker beide Untersuchungsgrößen positiv korreliert sind, um so Stärke wird die Varianz der Differenzvariablen reduziert
Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - Cov(X,Y)
Zweistichprobentest?
Falsch!
Differenztest (abhängig/verbundene Stichproben)
Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)
Zweistichprobentest?
Wahr (unabhängig)
Cov(X,Y) < 0
—> sollte man Zweistichprobentest oder Differenzentest durchführen?
Differenzentest: Var(X,Y) = Var(X) + Var(y) - Cov(X,Y)
Zeichstichprobentest: Var(X,Y) = Var(X) + Var(Y)
Var(X,Y) Zweist. < Var(X,Y) Differenzent.
—> weil bei negativer Cov(X,Y): -(-) = +
Somit: Zweistichprobentest, weil vorhandener Unterschied zwischen µx und µy folglich schneller beim Zweistichprobentest erkannt wird
Cov(X,Y) > 0
—> sollte man Zweistichprobentest oder Differenzentest durchführen?
Differenzentest: Var(X,Y) = Var(X) + Var(y) - Cov(X,Y)
Zeichstichprobentest: Var(X,Y) = Var(X) + Var(Y)
Var(X,Y) Zweist. > Var(X,Y) Differenzent.
—> weil bei positiver Cov(X,Y): -(+) = -
Somit: Differenzentest, weil vorhandener Unterschied zwischen µx und µy folglich schneller beim Differenzentest erkannt wird(?)
Falls Testfunktionen unter H0 des Zweistichprobentests und des Differenzentests jeweils t-Verteilt sind und nx = ny = nD < 16
Welcher Annahmebereich ist dann größer?
Zweistichprobentest f= nx + ny -2
Differenzentest f= nD -1
—> also Anzahl der Freiheitsgrade beim Zweistichprobentest doppelt so groß wie beim Differenzentest
—> alpha Fraktile der t-Verteilung werden mit wachsenden Freiheitsgraden kleiner!
—> daher:
Annahmebereich (Zweist.) < Annahmebereich (Diff.)
Welchen Test sollte man wählen?, wenn…
Annahmebereich Zweistichprobentest
<
Annahmebereich Differenzentest
—> Zweistichprobentest
—> denn kleinerer Annahmebereich = kleineres Fehlerrisiko 2.Art
Die Summe von zwei unabhängigen und gleichverteilten Zufallsvariablen ist nicht wieder gleichverteilt
Wahr/Falsch?
Wahr
Eine Zufallsvariable heißt stetig, wenn ihr Wertebereich abzählbar unendlich ist.
Wahr/Falsch?
Falsch!
Sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F(x), die für x <= 0 gleich Null ist.
Dann gilt F(x = 0,75) - F(0) = 0,75
Wahr/Falsch?
Wahr
Während der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable durchaus negative Werte annehmen kann, können sich für die Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariable niemals negative Werte ergeben.
Wahr/Falsch?
Wahr
Der allgemeine Fall eines zweistufigen Auswahlverfahren lässt sich folgendermaßen charakterisieren: Teilerhebung im 1. und 2. Auswahlvorgang.
Wahr
Die TSCHEBYSCHEFF’sche Ungleichung lässt sich auch dann anwenden, wenn die betrachtete Zufallsvariable normalverteilt ist.
Wahr
—> beliebig verteilt
((—> beliebig verteilt auch Stichwort für Ungleichung von Tschebyscheff, bzw. gar keine Angaben zur Verteilung —> beliebig verteilt))
Maximum-Liklihood-Methode (ML)
Welcher Parameter klein teta wird zur Schätzung gewählt?
der Parameter klein teta für den (vornherein) das Zustandekommen der vorliegenden Stichprobe am plausibelsten ist
Maximum-Likelihood-Methode
L = (entspricht)
Eintrittswahrscheinlichkeit der vorliegenden Stichprobe in Abhängigkeit von klein teta
Voraussetzungen für Maximum-Likelihood-Methode? (2)
- einfache Stichprobe
- Verteilungstyp in Abhängigkeit von klein teta muss bekannt sein
Eigenschaften des Maximum-Likelihood-Schätzers: ?
3
- mindestens asymptotisch erwartungstreu
- konsistent, suffizient
- asymptotisch wirksamst
Vorgehensweise Maximum-Likelihood-Methode: ?
—> 5 Schritte
1) L-Fkt.- aufstellen
2) Logarithmieren
3) ableiten nach klein teta
4) umstellen nach teta Dach
5) ML Schätzer (groß teta Dach) aufstellen
KQ (Kleinste Quadrate Methode)
Voraussetzungen: ? (2)
- einfache Stichprobe
- Erwartungswert müh(klein teta) in Abh. von klein teta ist bekannt
Eigenschaften der KQ-Methode: (2)
- erwartungstreu
- unter allen linearen, erwartungstreuen Schätzfkt. wirksamst
Vorgehensweise KQ-Methode: (5)
1) Q-Fkt. aufstellen
2) Ableiten nach klein teta
3) nach klein teta umstellen
4) KQ-Schätzer(groß teta Dach KQ) bestimmen
gängige Schätzfunktionen(von groß Teta Dach):
Müh =
Pi =
Omega^2 =
Lambda (Poissonverteilung) =
Lambda (Exponentialverteilung =
müh = X quer
Pi = Y / n
Omega^2 = S^2 (ungleich Z^2)
Lambda (PV) = X quer
Lambda (EV) = 1 / X quer
—> beste Schätzfkt. um Parameter zu schätzen
—> wenn Parameter eh schon bekannt, dann nicht X quer verwenden
Var(a * x) =
Var( Summenzeichen x) =
Var(n * x) =
Var(X +a) =
Var(a * x) = a^2 Var(x)
Var( Summenzeichen x) = Summenzeichen * Var(x)
—> … = n* Var(x)
Var(n * x) = n* Var(X)
Var(X +a) = Var(x) mit a Element von R
Die Frage der „Güte“ lässt sich stets für Schätzfunktionen, aber nicht für Schätzwerte beurteilen.
Wahr
Klein teta = r^2 * pi
E(groß teta Dach) = (pisigma^2) / n + pir^2
- erwartungstreu?
- asymptotisch erwartungstreu?
Nicht erwartungstreu, da ungleich r^2* pi
ABER: asymptotisch erwartungstreu, da:
lim E(groß teta Dach) = r^2* pi = klein teta n —> unendlich
Alle Schätzfunktionen unterschätzen die wahren Parameter!
Wahr
ln(a*b) =
ln(a) + ln(b)
ln a^1/n =
1/n ln a
Stichprobenfunktion
Teta Dach = 1/3 * ( 2*X1 + X3)
Was entspricht dies?
———————-
erwartungstreu? (Rechenweg)
X quer gewichtet
(X* = 2 < n )
——————-
E(1/3*(2X1 + X2)) = E(2/3X1 + 1/3X2) =(identisch) E(X) = müh
—> erwartungstreue Schätzfunktion auf müh
E(Xi) = E(x) , falls?
falls Xi identisch
oft Xi i.i.d
Var( 1/3 Summenzeichen Xi) =
(1/3)^2 * Summenzeichen (i=1 bis n) * Var(Xi)
=(falls unabhängig + identisch, oft Xi ~ i.i.d) =
1/9 * 3 * Var(X) = omega^2 / 3
Var(Xi) = Var(X), falls ?
falls unabhängig + identisch
Oft Xi ~ i.i.d
1/4 Var(X2) + 1/4 Var(X3) = falls unabhängig und identisch = ?
1/2 Var(x)
Wie kann man Konsistenz überprüfen?
Voraussetzung?
Voraussetzung: asymptotisch erwartungstreu
Lim(n—> unendlich) MSE(groß teta Dach)
= lim(n —> unendlich) von berechneter Varianz bzw. Var(groß Teta Dach)
= 0
(siehe zum Bsp. J2 und mehr Block J)
Ist Xquer gewichtet konsistent?
kommt wohl drauf an
Eine Schätzfunktion ist umso effizienter , je kleiner die Streuung(VARIANZ!) der Schätzwerte um den Parameter ist
Varianten vergleichen, kleinste Varianz
—> ?? am effizientesten
Schätzfunktion
X quer wirksamster Schätzer für müh, aber nicht ?
robust, weil Schwäche für Ausreißer
Man kann robuste und effiziente Statistik gut miteinander vereinen
Falsch oft Frage ob man effiziente oder robuste Statistik will
Beste Schätzfunktion mit den Eigenschaften?
Erwartungstreue, Konsistenz, Effizienz(wirksamst), Suffizienz
Wann ist ein Schätzwert suffizient (erschöpfend)?
Wenn er alle in den Daten einer Stichprobe enthaltenen Informationen berücksichtigt.
δ (unbekannte Gesamtzahl) =
N * pi
N*pi = ?
δ
δ/N =
pi
Groß Teta Dach1= N/n Summenzeichen(i=1 bis n) Xi
Groß Teta Dach2 = N/2 * (X1 + Xn)
Welche der beiden Stichprobenfunktionen ist suffizient?
Groß Teta Dach1
—> weil beinhaltet alle Informationen der Stichprobe
—> anderer beinhaltet nur X1 und Xn
Welcher von beiden ist der bessere Schätzwert?
Die Frage der Güte lässt sich nicht für Schätzwerte beurteilen!
—> nur für SchätzFUNKTIONEN
Die Frage der „Güte“ bzw. welcher ist besser lässt sich nur für Schätzfkt. nicht aber für Schätzwerte beurteilen
Wahr
Wie konstruiere ich Schätzfunktion?
- Maximum Likelihood
- Kleinste Quadrate
- Momentenmethode
asymptotische Erwartungstreue überprüfen
vs.
Konsistenz überprüfen
Wie?
asymptotisch:
lim (n —> unendlich) E(groß Teta Dach) = klein teta
—> Erwartungswert der Schätzfkt. konvergiert gegen echten Parameter klein teta
Konsistenz:
lim(n —> unendlich) Var(groß Teta Dach) = 0
Varianz der Schätzfunktion möglich gering (gegen Null)
z.B. MSE (X quer) = 0
Maximum-Likelihood + KQ-Schätzer
—> Aufgabe J6 machen!!!!!!
….
Wie überprüft man ob Schätzfunktionen unverzerrt sind?
Man überprüft ob sie erwartungstreu sind.
Löse Var(U + 2V) falls U und V nicht unabhängig:
Var(U) + Var(2V) + Cov (U,2V) (+ Cov weil +2V)
= Var(U) + 2^2 Var(V) + 2^2 Cov(U,V)
Wenn man schauen will welche Schätzfunktion wirksamer ist. Auf den ersten Blick ist es allerdings nicht direkt erkennbar welche Varianz kleiner ist.
—> Was tun?
Var(groß Teta Dach) - Var(groß Teta Dach)
—> schauen ob negativer Wert rauskommt oder nicht
J8 Aufgabe rechnen
—> leicht + Maximum-Likelihood mit Exponential
…
Man entscheidet sich stets für diejenige Verteilung unter der die vorliegenden Beobachtungswerte am ehesten zustande kommen (am wahrscheinlichsten ist)
—> Maximierung der Likelihood
Wahr/Falsch
Wahr
—> schaue unbedingt J10 an!
—> perfektes Beispiel, da auch tabellarische Wahrscheinlichkeitsverteilung damit gemeint!
—> bei kleinste Quadrate nimmt man die kleinste aufsummierte quadratische Abweichung zws. Beobachtungswert und geschütztem Wert(Verteilung mit kleinster errechneter Wert)
MC:
Das „Mean Square Error - Konzept“ betrachtet den mittleren tatsächlichen Schätzfehler einer Schätzfunktion.
Wahr/Falsch?
Falsch !
Eine Likelihoodfunktion L(teta) kann auch negative Werte annehmen.
Wahr/Falsch?
Falsch!
Kann KEINE negativen Werte annehmen!
Eine Schätzfunktion, die weder erwartungstreu noch asymptotisch erwartungstreu ist, ist auch nicht konsistent.
Wahr/Falsch?
Wahr
Wegen Bias im MSE ?
Die Maximum – Likelihood - Methode besagt, dass zu einem festen Stichprobenergebnis (x1, x2, … ,xn) derjenige Schätzwert für den unbekannten (zu schätzenden) Parameter θ zu wählen ist, unter dem im Nachhinein die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Stichprobenergebnisses am größten ist.
Wahr/Falsch?
Falsch!
—> ohne Beachtung des oberen: die Verteilung für welche die vorliegenden Beobachtungswerte am wahrscheinlichsten sind
(Likelihood am größten ist!)
Von zwei konsistenten Schätzfunktionen 𝜃 und 𝜃 ist diejenige wirksamer zum
Schätzen des unbekannten Parameters θ, die die kleinere Varianz besitzt.
Falsch
—> erwartungstreuen!!!
Wenn bei Konfidenzintervallen die Varianz unbekannt ist, was ist zu beachten?
Es wird statt sigma —> S genommen
—> S mit S^2 auf FS S.1 berechnen, falls nicht angegeben
Wann verwenden verwendet man bei Konfidenzintervallen die t-Verteilung?
Wenn n <= 30 (bzw. f= n-1 <= 30) und Varianz unbekannt !!!
In allen anderen Fällen nimmt man c aus N(0,1)
—> bei n > 30 mit ZGS
Wie berechnet man die Länge eines Konfidenzintervalls?
L = 2 * c * sigma / Wurzel n
—> falls KI mit t-Vert.:
L = 2 * c * S / Wurzel n
—> falls KI für pi:
L = 2 * c * Wurzel aus [(Y/n - (1-Y/n))/ n]
Oft auch mit logischem Denken umstellbar/ersichtlich
KI bei pi?
—> Konfidenzanteilswert pi approximativ N(…)
—> wie lautet die approximative Bedingung?
[Y/n - c* Wurzel aus ((Y/n * (1-Y/n))/ n); selbe mit + c….]
________________________________
Y ist approximativ [5 <= Y <= n - 5 ]~ N( müh; sigma^2/n)
—> lerne K1 B und K3 B auswendig!
__________________________________
—> Schätzintervall:
P( Y/n - c*… <= pi <= Y/n + c * …) = 1 - alpha
(—> natürlich meist kleinere Werte weil pi geschätzt wird)
Achtung was fehlt bei KI in Formelsammlung, wenn man
= 1- alpha setzt?
—> sprich: Schätzintervall aufstellen soll!
P(…<= müh <= …) = 1- alpha
—> weil Wahrscheinlichkeit mit P und runden Klammern, ohne eckige!
Bei KI ist des hilfreich zu Beginn zu schauen ob
n <= 30 (bzw. f= n-1 <= 30) ist.
Denn, wenn dies der Fall ist, dann ist die Varianz unbekannt und man weiß, dass man c aus t- Verteilung nimmt und mit der Standardabweichung S rechnet.
(manchmal Standardabweichung S gegeben oder berechenbar)
….
Geben sie explizit das KI zum Niveau 1- alpha an
P(…<= … <=…) = 1- alpha
….
Wie groß muss man Stichprobenumfang wählen, damit das Schätzintervall maximal … breit ist (Länge … hat)
Lösung am Ende n >= oder n<=
n >= bestimmen, da wenn Stichprobenumfang kleiner wird dann wird das Schätzintervall ungenauer und so die Breite von … überschritten.
L = 2* c * s / Wurzel n
—>Wie kann man Einfluss auf Länge des KI nehmen?
—> Konfidenzniveau erhöhen/ reduzieren
—> Stichprobe erhöhen/ verringern
Wie würde sich das Schätzintervall verändern, wenn die Varianz sigma^2 nun bekannt wäre (sigma ist so groß wie S zuvor, ansonsten alles gleich)?
—> Schätzintervall würde kleiner werden
—> man würde also ein besseres Schätzergebnis erhalten
—> Begründung: weil man das c nicht mehr aus der t-Verteilung ziehen würde sondern aus der Standardnormalverteilung, weil Varianz ja nun bekannt ist.
—> dadurch erhält kleiner c und somit kleineres Schätzintervall
—> siehe K4 6) , 4) dabei eventuell mal ansehen
Das Konfidenzintervall wird kleiner, wenn der Stichprobenumfang vergrößert wird
Wahr/Falsch
Wahr
Konfidenzintervall wird kleiner, wenn Varianz kleiner wird
Wahr/Falsch
Wahr!
Und wird also größer, wenn Varianz größer wird
KI wird kleiner, wenn Konfidenzniveau (1-alpha) kleiner wird
Wahr/Falsch?
Wahr
(auch mit Formel ersichtlich, da c1-alpha größere Werte nun aus Tabelle gibt)
—> aber die Qualität nimmt halt ab
Eine Maximum-Likelihood-Schätzfunktion ist eine Zufallsvariable.
Wahr!
—> Betonung auf Funktion
Durch Nullsetzten von der abgeleiteten ML findet man immer den ML-Schätzer
FALSCH
—> nicht immer
Der ML-Schätzer ist der Wert von teta (groß), der die Daten am plausibelsten erscheinen lässt
Wahr
Auflösen der Gleichung ln(L(teta)) = 0 nach teta(groß beide) ergibt den ML-Schätzer
Falsch!
—> nur fast richtig, richtig wäre: Auflösen der Gleichung Ableitung nach teta von ln(L(teta)) = 0 ergibt den ML-Schätzer
Wenn bei Verteilung Grenzfälle wie n = 30 noch in Tabelle, aber man könnte auch schon approximieren, was tun?
Nicht approximieren, da Genauigkeit dadurch verloren geht!
Maximum-Likelihood aufstellen.
Es ist sehr wichtig die Häufigkeiten im Exponenten nicht zu vergessen(irgendwie bezeichnen).
Besonders bei tabellarischen Wahrscheinlichkeiten.
Oft am Ende mit n zusammenfassbar.
—> Achtung:eher nicht bei Poissonverteilung etc., da dort beispielsweise Lambda für alle gilt!!!
!!!!
Machen wie beispielsweise bei M6
Freiheitsgrade bei CHI-Quadrat-Anpassungstest, wenn Gleichverteilung und Intervall angegeben?
I = 6 aber i= 6 nicht im Intervall.
f = 5 - 1 - 0 = 4
- I = 5 weil 6 nicht im Intervall
- k= 0 weil Intervall gegeben ist, nichts muss geschätzt werden
Aufgabe M1
CHIquadrat-Anpassungstest
Poissonverteilung
Welche Schätzfunktion muss nach dem Maximum−Likelihood−Pr inzip verwendet werden, falls zur Durchführung dieses Tests ein Parameter geschätzt werden muss?
X quer berechnen = Lambda
Ein „Niveau-alpha-Test“ heißt konservativ, falls der Test die vorgegebene Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2.Art nicht voll ausschöpft.
Wahr/Falsch?
FALSCH!
—> siehe Len. MC
Aus der Gütefunktion eines Tests kann man ablesen, ob man eine falsche Entscheidung getroffen hat.
Wahr/Falsch?
Falsch
Parametrische Tests sind dadurch gekennzeichnet, dass die theoretische Verteilung des zugrundeliegenden Merkmals durch einzelne Parameter eindeutig charakterisiert werden kann.
Somit ist es möglich, den Test ausschließlich auf den Wert eines solchen Parameters zu beziehen.
Wahr
Vorzeichentest —>
Vorzeichenrangtest von Wilcoxon —>
T-test —>
Welcher ist nominal, welcher auch ordinal und welcher auch Kardinal?
Wann schöpft welcher Test den Informationsgehalt der Daten bestmöglich aus? (Jew. für nominal, or., kard.)
Vorzeichentest —> nominal
Vorzeichenrangtest von Wilcoxon —> ordinal
T-Test —> kardinal
- Wenn nominale Daten —> Vorzeichentest
—> aber glaub auch Wilcoxon möglich - bei ordinalen Daten am besten Vorzeichenrangtest
Beim VZtest verwendet man nur das VZ der Differenz ohne deren Größenordnung zu bestimmen.
—> nominal
Wahr
Beim Vorzeichenrangtest nach Wilcoxon werden die Größen der Differenzen relativ zueinander berücksichtigt
—> ordinal
Wahr
Beim VZrangtest nach Wilcoxon verwendet man nur das VZ der Differenz ohne deren Größenordnung zu bestimmen.
—> nominal
Falsch!
Größen der Differenzen werden relativ zueinander berücksichtigt
—> ordinal!
T-Test
die Nullhypothese kann wegen der Normalverteilung auch als Test auf den Erwartungswert aufgefasst werden
—> Berücksichtigung der absoluten Differenzen
—> der T-Test ist somit ?
Kardinal
Zeichne Gütefunktion von einem zweiseitigen Einstichproben Gaußtest auf müh.
—> Lsg. Block L1
…
Prüfgröße bei einem Einstichproben Gaußtest auf müh ist?
X quer unter H0 N(müh, Varianz/n)
—> Achtung falls n sich verändert oder Varianz für einen Tag angegeben ist und man soll aber für ne Woche testen, dann jeweils multiplizieren etc.
Wert der Gütefunktion berechnen. Wie?
In FS!
—> P(„H1“, gegebenes müh Element von H0 oder H1)
—> P(Ablehnbereich von H0, …)
Bsp.: Ablehnbereich mit v < -2 (bzw. Xquer < -25,4)
—> Gütefkt.wert für müh = -24,8
—> P(„H1“| müh=-24,8 Element von H0)
= P( Xquer < -25,4|müh = -24,8)
= standardisieren P(Z < -25,4 -(-24,8) / (Omega/ Wurzel n) )
—> WICHTIG NICHT MIT müh0 rechnen! (Xquer - gegebenes müh)
—> Rest klar
Zeichne ideale Gütefunktion
Siehe Aufzeichnungen!
Zeichne einseitige Gütefunktion (Bsp.).
Siehe Aufzeichnungen
…
Wahre mittlere Wert bei Gaußtest auf müh.
—> Wahrscheinlichkeiten berechnen
—> was gemeint?
müh-Wert (der wahre)
Wahrscheinlichkeit einer richtigen Testentscheidung.
Wie berechnen?
Entweder P(„H1“|H1) oder P(„H0“ | H0) —> hängt vom Fall ab
Ablehnbereich B für X quer bestimmen, Wie?
B:{X quer| X quer < müh0 - c1-alpha * sigma/ Wurzel n}
B:{X quer| X quer > müh0 + c1-alpha * sigma/ Wurzel n}
Bei zweiseitigen beides nur mit c1-alpha/2
—> bei S: S anstelle von sigma
Wie setzt sich der Variationskoeffizient v zusammen?
v = S/X quer
—> kann man nach X quer umstellen, wenn man zum Beispiel Testergebnis benötigt
Wie würde sich die Gütefunktion verändern, wenn nur der Stichprobenumfang zunimmt?
Gütefunktion würde steiler verlaufen, da der Beta-Fehler kleiner wird und die Trennschärfe (1- Beta) zunimmt
Wenn X quer gegeben und man soll Testentscheidung durchführen.
—> zwei Wege. Welche?
1) Ablehnbereich für mit v festlegen
—> X quer in Testfunktion einsetzten und V berechnen
—> schauen ob V im Ablehnbereich oder nicht
2) Ablehnbereich für X quer festlegen
—> schauen ob Xquer drin oder nicht
HAT die Firma bei der Testentscheidung einen Fehler begangen?
Kann man nicht sagen (weiß man nicht) !!!!
—> es kann sein, kann aber auch nicht sein
Block L2, Aufgabe L4, Fall 1
Nr.7
—> wahren mittleren Wert (müh) finden für 0,85 Wahrscheinlichkeit
—> P(V > …) =! 0,85
—> wie umstellen?
—> 1 - P(V > ...) =! 0,85 —> P(V<= ...) =! 0,15 —> nicht in Tabelle —> darum P(V <= ...) =! 0,85 —> c Wert aus Tabelle suchen und negativ setzten —> ... = negativer cWert —> nach müh auflösen
—> ansonsten siehe auf Blatt
Wie groß ist bei diesem Test die Wahrscheinlichkeit einer Fehlentscheidung, wenn der wahre mittlere Wert müh = 12,2 beträgt?(Erkläre das Vorgehen)
H0: müh >= müh0 ( =12)
H1: müh < müh0 (=12)
B: {V|V>1,65}
B: {Xquer|Xquer>12,33}
1.Schritt: Nach Hypothesen: wahres müh Element von H0
Also Fehlentscheidung: P(„H1“| müh = 12,2 Element von H0)
3.Schritt: Standardisieren
—> P(Z > X quer wert - wahren mittleren müh Wert) / (omega oder S/ Wurzel n))
—> (12,33 - 12,2 /…)
—> P (Z > … ) = …
Gütefunktion Block L Teil 2
—> L7 C ansehen!
…
Einstichproben Gaußtest auf müh
1) Wann benutze ich S anstelle von sigma ?
—> bzw. wann weiß ich, dass die Varianz unbekannt ist obwohl die Standardabweichung bekannt ist?
2) welche Verteilung muss ich dann nehmen
1)
S —> Symbol bei Standardabweichung für eine Stichprobe
Typische Sätze:
- und die Standardabweichung sich zu 50g AUS DER STICHPROBE ergab
- errechnet sich aus den Stichprobenwerten ein Xquer = … bei einer Standardabweichung von 20g
2)
- unter H0 t- Verteilung falls f= n-1 (f<30)
- unter H0 approximativ (f>30) N(0,1)
- falls X beliebig verteilt (+Varianz unbekannt) dann unter H0 approximativ (n > 30) N(0,1)
Anteilstest —> großer Stichprobenumfang —> steht beispielsweise nicht in Tabelle —> welchen Weg gibt es? —> NICHT SICHER/EIGENE IDEE GEWESEN
B(n; pi)
—> approximativ (npi >= 5 und n(1-pi) >= 5)
—> N(npi; npi*(1-pi))
—> steht in FS1 !
Bsp. für Konvertieren bei Anteilstest
P(„H1“| pi = 0,65 Element von H1)
P(Y>10| pi = 0,65)
—> wie konvertieren bei n=30?
—> konvertieren da pi > 0,5
P(Y > 10| pi = 0,65) = P(Y^c < 20| pi^c = 0,35)
= P(Y^c <= 19| pi^c = 0,35) = 0,9996
Gütefunktionswerte für pi (z.B. bei Anteilstest)
B: {Y|Y < 1} , n = 22
—> g(pi = 0,1} = ??
—> g(pi = 0,2)= ??
—> g(pi = 0) = ??
—> wie sieht Gütefunktion dann aus?
- g(pi = 0,1) = 0,0985
—> muss immer P(„H1“| pi = … Element von…) sein !
—> Annahmebereich von H1 ist Verwerfungsbereich von H0
—> also einfach P(Y < 1| pi = …)
—> bei Anteilstest diskret, also P( Y <= 0| pi = …)
—> Wert aus Tabelle! - g(pi = 0,2) = 0,0074
—> selbes Vorgehen
-g(pi = 0) = 0
…
- Gütefkt. siehe Block L3 in ISIS Lsg. Block L2 (Nr. L15, 8))
Auf einem statistischen Test auf pi basierend auf einer einfach Stichprobe vom Umfang n=25 sei der Annahmebereich des Tests
{Y|Y >= 6}. Alpha = 0,1
Wie komme ich auf den Sollwert und Hypothesen? Schritte für Vorgehen?
- Ablehnbereich aufstellen (B: {Y|Y < 6})
- linksseitiger Test also! sprich H1: müh < müh0
- H0 ist Gegenteil von H1
- Sollwert bestimmen
—> in allen Tabellen der Binomialverteilung schauen bei welcher Y = 6 eine Wahrscheinlichkeit von 0,1 (alpha) überschreitet
—> Achtung bei rechtsseitig wäre es 1-0,1 = 0,9 überschreitet - Pi-Wert der Binomialverteilung in dem das der Fall ist entspricht dem Sollwert.
- alphaex bestimmen(Achtung nach normalen Regelungen)
Block L3, Aufgabe L16
—> B machen!
…
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung falls es in Wahrheit pi = 0,1 sind
H0: pi <= pi0 (=0,2)
H1: pi > pi0 (=0,2)
P(„H1“|pi = 0,1 Element von H0)
P(Y > 10| pi = 0,1 Element von H0)
—> Umstellen und ausrechnen
—> Y > 10 war Annahmebereich von H1/ Verwerfungsbereich von H0
Beispiel für konvertieren bei Wahrscheinlichkeit
Bestimme Wahrscheinlichkeit für richtige Entscheidung falls in Wahrheit pi = 0,65 (n=30)
H0: pi <= pi0 (=0,2)
H1: pi > pi0 (=0,2)
B: {Y| Y > 10}
P(„H1“| pi = 0,65 Element von H1)
P(Y >10| pi = 0,65) —> nicht in einer Tabelle!!!
konvertieren!
P(Y^c < 20 (n-x)| pi^c = 0,35)
—> Achtung Binomialverteilung hat Unterschied zwischen < und <= weil diskret
P(Y^c <= 19| pi^c = 0,35) = …
Anteilstest bzw. Binomialtest
B:{Y|Y<2 oder Y > 8}
Annahmebereich?
B:{ Y|2 <= Y <= 8 }
Anteilstest
Wie groß ist ungünstigstenfalls die EXAKTE Wahrscheinlichkeit, sich fälschlicherweise für H1 zu entscheiden?
Oder
Wie groß EXAKT ist die Wahrscheinlichkeit, sich bei diesem Test fälschlicherweise für H1 zu entscheiden?
Welcher Wert gesucht?
Alpha EXAKT gesucht
—> P(„H1“|Ho) entspricht alpha
—> da hier EXAKT steht ist eben alpha exakt gesucht
Anteilstest
—> alpha exakt berechnen bei zweiseitigem Anteilstest
—> Wie ?
- Einfach erst alphaexakt für Y < … suchen wie normalerweise bei linksseitigen
- dann alphaexakt für Y > … suchen wie normalerweise bei rechtsseitigen
—> also 1 - Wert
Ergebnis: beide alphaexakt-Werte addieren!
Gütefunktionswerte für pi bei zweiseitigen Anteilstest
B: {Y|Y < 2 oder Y > 8 }
—> g(pi = 0,1} = da Entscheidung bei Gütefunktion immer H1 ist
—> P(„H1“| …)
—> P( Y <2 oder Y>8|…)
—> wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit?
P(Y <= 1| pi = 0,1) + (1- P ( Y <= 8| pi = 0,1) )
Ablehnungebereich mit V, was ist bei einem linksseitigen Test zu beachten bzw. zweiseitigen im Vergleich zum Anteilstest mit Y ?
V < - c
Negativ!!!
auch bei Zweistichprobentest etc. Nicht vergessen!
UNGÜNSTIGSTENFALLS NICHT VERGESSEN BEI EINSEITIGEN parametrischen TESTS!
…
„H0“ ; alpha = 0,01
Könnte die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung beispielsweise 94,9 % betragen?
Denn P(„H0“|H1) = Beta Fehler (Fehler 2.Art)
Ja, denn Beta ist kleiner 1-alpha=0,99
Ist Zwischen Null und kleiner 1-alpha
Tabelle mit Stichprobenergebnissen, ansonsten keine Angaben.
Kann ich die Varianz einfach berechnen und als bekannt annehmen?
NEIN, man kann nur die S^2 bzw. S ausrechnen, da Stichprobe.
Aber nicht sigma^2.
Glaub:D zumindest mal als unbekannt annehmen bei Tests
Mindeststichprobenumfang berechnen Wie?
Siehe zwei Aufgabe an:
Aufgabe auf Zetteln und zweite Aufgabe ist Block L3 Nr.L25 !!!
________________________________________________________________________
—> wichtig ist man setzt quasi den gesamten Ablehnbereich also den gesamten Xquer-Term beim Standardisieren ein(weil man durch das unbekannte n nicht den Wert berechnen kann und diesen einsetzten)
—> also Standardisieren mit
P((Term von Xquer- wahres müh)/(omega oder S/ Wurzel n)|…)
= c-Wert der Wahrscheinlichkeit den man aus Tabelle durch vorgegebene Wahrscheinlichkeit bestimmen konnte
Dann einfach den gleichsetzten und nach n auflösen
Bei größerem alpha steigt ?
Alpha entspricht Signifikanzniveau!
Wahrscheinlichkeit für signifikanteres Ergebnis steigt
—> alpha entspricht Risiko, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie stimmt (Fehler 1. Art)
—> Irrtumswahrscheinlichkeit steigt
____________
Wenn beispielsweise ein Pharmaunternehmen unbedingt zeigen will, dass das neue Präparat zu 60% eine längere Wirkungsdauer hat, dann würden sie größeres alpha wählen um eine höhere Wahrscheinlichkeit zu haben H0 zu verwerfen und sich für H1 zu entscheiden.
Dadurch steigt zwar die Irrtumswahrscheinlichkeit, aber das nehmen sie in Kauf um eigenes Produkt auf den Markt bringen zu können.
Wenn das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst gering gehalten werden soll, bspw. Neueinführung eines Medikaments, Krankenkasse will es nur einführen wenn es wirklich Verbesserungen hat, da man aus Kostengründen lieber am alten Präparat festhalten will
Wie sollte alpha gewählt werden ?
Möglichst kleines alpha um Irrtumswahrscheinlichkeit gering zu halten
( —> Achtung: Nicht mega zu klein weil sonst auch Fehler 2.Art zu groß werden kann)
Bei eher großem alpha, Gütefunktion steiler oder flacher?
- steiler
—> da 1-alpha kleiner und somit beta-Fehler kleiner, da dieser kleiner als 1-alpha sein muss
—> durch kleineres Beta wird 1-Beta größer und somit Gütefkt. Trennschärfer
—> siehe auch eigene Notizen Blatt 31
1) ei linksseitigen Tests wo beginnt Gütefkt.?
2) bei rechtsseitigen Test dann wo?
1) Beginnt bei eins und fällt dann ab, endet relativ kurz nach müh0 (bzw. Pi 0, …)
2) bei rechtsseitigen Test kurz vor müh 0 (bzw. Pi 0 etc.) und steigt dann und endet bei 1
—> siehe auch eigene Notizen S.31
Achsenbeschriftung von Gütefunktion, wie ?
- y-Achse g(Parameter)
—> z.B. auch g(mühx - mühy) - x-Achse Parameter
—> z.B. auch mühx - mühy
Achtung was am Anfang von hier beispielsweise Gaußtest nicht vergessen?
X aufstellen, sagen dass X:“…“ und wie X verteilt ist
—> z.B. beliebig verteilt oder normal verteilt
—> mit E(X) = müh und Var(X) = sigma^2
Welcher Test liegt vor, Achtung falls es approximativ ist
—> APPROXIMATIVER Einstichproben-Gaußtest auf müh
…
Welcher Fehler ist bei der Testentscheidung unterlaufen?
Allgemeine Antwort?
Hoffentlich keiner. Kann man nicht sagen.
—> nur möglicher zu sagen welcher kann/könnte unterlaufen sein
Achtung SEHR SEHR WICHTIG:
Wenn Standardabweichung von Zufallsvariable, was ist zu verwenden?
Ist die Varianz bestimmbar?
Sigma
—> JA!
Eine Zufallsvariable mit einer Standardabweichung von 0,9%.
Welche Standardabweichung? Sigma oder s?
Varianz bekannt oder unbekannt?
Sigma
—> Varianz bekannt!
Falls wahres müh gesucht ist, bei richtiger bzw. falscher Entscheidung und vorgegebener Wahrscheinlichkeit.
Was solltest du beachten?
-Aufschreiben wie sonst bei richtig/falsch, nur wahres müh undefiniert.
Wichtiges Beispiel zu richtiger Entscheidung mit Fall -c:
(z.B. Ablehnbereich B: {Xquer| Xquer > 5,588} und 90,32%)
P(„H1“| müh = ?? Element von H1) = 0,9032
…
P(Z > (5,588 - müh) / (omega/Wurzel n)) = 0,9032
—> zugehöriger c-Wert aus Tabelle suchen
—> hier 1,3
—> da aber Z >, muss es -c sein, also -1,3
—> somit gleichsetzen (5,588 - müh) / (omega/Wurzel n) = -1,3
—> auflösen nach wahrem müh!
Gütefunktion von zuvor errechneten Punkten zeichnen.
Wie?
X-Achse müh Werte abtragen für die man Wahrscheinlichkeiten berechnet hat und dann die zugehörige Wahrscheinlichkeit eintragen.
(—> zu Kurve verbinden, bzw. Punkte davor danach ungefähr auf null und eins ??)
(—> nicht wie sonst müh Null oder alpha etc. eintragen, nur bei Aufforderung)
Summenzeichen (i = 1 bis n) * (Xi - 1)
—> theoretische einfache Stichprobe X1,…,Xn hat sich zum Stichprobenergebnis x1,…,xn realisiert.
Berechne!
Lösung: n*Xquer - n
Maximum-Likelihood-Funktion durch Maximum-Likelihood-Schätzwert, wie?
Einfach Großbuchstaben statt klein.
—> z.b. Auch klein xquer wird zu groß Xquer
Var(Xquer) = ??
sigma^2 / n
Achtung:
Wenn Zufallsvariable beliebig verteilt ist mit müh und omega^2 angegeben? Wie kann ich Wahrscheinlichkeiten bestimmen?
- Tschebyscheffsche Ungleichung oder bei n >30 ZGS
—> Achtung: kann nur in Teilaufgaben kommen zum Beispiel eine Variable beliebig verteilt und die anderen waren normalverteilt
—> nun soll man eine Wahrscheinlichkeit von der bel. verteilten berechnen
—> nicht irgendeine nehmen, sondern Tschebyscheff oder ZGS!!!!!!!!
Xü„ Anzahl der Gäste, denen übel wird [ pro Std ] “ ;
Xs: „ Anzahl der Gäste, die Streit suchen [ pro Std ] ;
Xü ist P(0,5)
Xs ist P(0,25)
Nenne die drei Eigenschaften eines Poissonprozesses und problematisiere kurz, inwiefern jede dieser Eigenschaften im vorliegenden Fall verletzt sind.
1) Stationarität:
In den letzten Partystunden dürfte durch den gestiegenen Alkoholspiegel die Übelkeitsrate bei den Gästen höher sein als in den ersten Partystunden, d.h. Lamda = 0,5 für jede Partystunde ist unrealistisch!
2) Nachwirkungsfreiheit:
Wenn einer Streit sucht, fühlen sich andere vielleicht auch animiert ; wenn einem übel wird, kann dies bei anderen die gleiche Wirkung zeigen!
3) Ordinarität:
Wenn einer Streit mit einem anderen sucht, sind also immer mindestens zwei gleichzeitig betroffen
WICHTIG! (auswendig!)
1-alpha war 0,95
—> erhalten Schätzintervall [1,93;2,07]
1) Interpretiere das erhaltene Schätzergebnis inhaltlich und statistisch exakt!
2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der wahre mittlere Wert müh in diesem Intervall?
1)
Wendet man das Verfahren der Konfidenzschätzung ( theor. ) unendlich oft an, so werden durchschnittlich 95 % richtige Ergebnisse resultieren, also Schätzintervalle, in denen der wahre unbekannte mittlere Alkoholspiegel liegt.
(Ob unser Schätzintervall [ 1,93 ; 2,07 ] eines dieser richtigen Schätzergebnisse ist, wissen wir nicht, hoffen es aber)
2)
Mit keiner Wahrscheinlichkeit! Er liegt im Schätzintervall oder auch nicht!
Überprüfen ob Schätzfkt. konsistent.
2 Schritte.
1) mind. asymptotisch erwartungstreu? (Bed.)
—> lim (n —> unendlich) E(SchätzerFKT.)= Schätzer
2) lim (n —> unendlich) MSE (Schätzfkt.) = 0
—> bzw. die Varianz
Zweistichprobentest
-> wichtige Punkte, die man beachten sollte?:
- zwei unabhängige Stichproben
- am Anfang X und Y festlegen und die Verteilung
—> beliebig verteilt?, normalverteilt? - Prüfgröße aufstellen (Dquer)
—> dafür zuvor Xquer und Yquer aufstellen mit
N(mühx; Varianzx/nx) und N(mühy; Varianzy / ny )
—> Dquer: Differenz der durchschnittlichen…
—> Dquer ist N[mühx-mühy; (Varianzx / nx) + (Varianzy / ny]
—> falls normalverteilt?
—> und mühx - mühy ist Delta0 - sind die Varianzen bekannt oder unbekannt?
—> bekannt
—> unbekannt (Fall: X, Y bel. Verteilt oder Fall: Varianzen gleich groß)
—> je nach dem Testfunktion aufstellen
Wie lautet die Prüfgröße beim Zweistichprobentest formal und verbal?
Dquer= Xquer - Yquer: „Differenz der durchschnittlichen … und der durchschnittlichen … bei jeweils einfachen untereinander unabhängigen Stichproben vom Umfang nx= und ny= .“
Dquer ist N((Delta0 ; (Varianzx /nx)+ (Varianzy / ny))
—> falls X und Y normalverteilt?
—> Delta0 ist mühx - mühy
Achtung Zweistichprobentest
X und Y normalverteilt
Wenn Varianzen gleichgroß und jeweils bekannt, welcher Fall?
1.Fall
—> da sie nicht unbekannt sind!
—> bei unbekannt wäre 2.Fall
- für 3 Fall müssten X und Y bel. Verteilt sein und Varianzen unbekannt, sowie ungleich?
Wann darf man beim Ablehnbereich das minus nicht vergessen?
Bei {v| v < -c1-alpha}
Natürlich auch bei zweiseitigen auf einer Seite so.
Länge des Konfidenzintervalls angegeben, berechne n. Soll so groß sein, dass es bestimmte Länge nicht von … nicht überschreitet.
—> schneller Weg: ??
n >= (c / l )^2
Eine Auswahl, die nicht zufällig und nicht bewusst erfolgt, nennt man…!
„Aufs Geratewohl“ oder „nach Gutdünken“
Eine Auswahl heißt Zufallsauswahl, wenn jedes Element der Grundgesamtheit……Chance hat, in die Auswahl zu gelangen!
„von Null verschiedene“, d.h. „positive“
Wenn nur Elemente der GG in die Auswahl gelangen sollen, die von wesentlicher Bedeutung sind, nennt man ein solches Auswahlverfahren.
Konzentrationsverfahren
Erwartungswert und Varianz(bzw. Standardabweichung) können gegeben sein, aber wenn nicht normalverteilt bzw. Verteilung allgemein dabei steht, dann ist Zufallsvariable beliebig verteilt mit angegeben Erwartungswert und Varianz.
Mit was dann rechnen?
- Ungleichung von Tschebyscheff (wenn n<=30)
- n > 30 ZGS
—> normalverteilt (nicht N(0,1))
Die Ungleichung von Tschebyscheff steht in der Formelsammlung für welche Zufallsvariable?
- für X
—> sei beliebig verteilt mit E(X) = müh und Var(X) = sigma^2
—> P(müh - c * sigma <= X <= müh + c* sigma) >= 1- 1/c^2
—> mit Epsilon = c * sigma
—> ACHTUNG NICHT VERWECHSELN MIT KONFIDENZINTERVALLEN
Wenn die Frage ist nach Konfidenzintervallen, dann in Formelsammlung eine der vier Varianten raussuchen, die passt!
…
Relationen umdrehen bei Anteilstest
—> ACHTUNG GLEICHHEIT BLEIBT ERHALTEN!
P(Y <= y) = P(Y^c >= n-x)
!
Anteilstest
n > 30, was tun?
approximativ ( n > 30 ZGS) N(Erwartungswert; Varianz)
—> siehe Erwaetungswert und Varianz Binomialverteilung
Anteilstest
n > 30, was tun?
approximativ ( n > 30 ZGS) N(Erwartungswert; Varianz)
—> siehe Erwaetungswert und Varianz Binomialverteilung
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Testentscheidung falsch ist?
diese Entscheidung gibt es nicht
—> die getroffene Entscheidung ist entweder richtig oder falsch!
—> aufpassen wegen fälschlicherweise und so.
„Trennschärfe“ eines Tests:
Ein „trennscharfer“ Test trennt die Hypothesenbereiche H0 und H1 in dem Sinne scharf, dass er bereits Abweichungen in Richtung H1 mit hohen berechtigten Ablehnewahrscheinlichkeiten (bzw. kleinere Abweichungen in Richtung H0 mit kleinen unberechtigten Ablehnwahrscheinlichkeiten) registriert
Wahr/ Falsch
Wahr —> lernen!
Falls X beliebig verteilt ist, Varianz aber bekannt ist, was tun?
Beim Einstichproben Gaußtest auf müh
Schauen ob n > 30
—> denn dann ist die Prüfgröße Xquer approximativ (n >30 ZGS)
~ N(müh, Varianz/ n)
—> Testfunktion ist dann nach Fall 1, Varianz bekannt
—> also vermutlich auch X normalverteilt dann(?)
—> bei n <30 und bel. Verteilt Test nicht durchführbar !(?)
Das Verfahren der Intervallschätzung liefert Schätzintervalle, in denen der gesuchte Parameter mit (1-alpha)%-iger Wahrscheinlichkeit liegt.
FALSCH!
Die Maximum-Likelihood-Methode besagt, dass zu einem festen Stichprobenergebnis (X1,…,xn) derjenige Schätzwert für den unbekannten (zu schätzenden) Parameter teta zu wählen ist, unter dem im VORHINEIN die WAHRSCHEINLICHKEIT für das EINTRETEN dieses STICHPROBENERGEBNISSES am größten ist.
Wahr
Eine Zufallsauswahl, die uneingeschränkt ist, muss keine gleichgewichtige Zufallsauswahl sein.
Wahr
Nach dem „Mean Square Error-Konzept“ soll der (quadrierte) zu erwartende theoretische Schätzfehler minimiert werden.
Wahr
Der Wert der Gütefunktion eines Tests an der Stelle teta Element von H1 ist das Komplement der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2.Art an der Stelle teta.
WAHR
Komplement einer Menge A ist die Menge, die alle Elemente beinhaltet die nicht in A liegen!
ACHTUNG:
—> bei durchschnittlicher … (also Xquer)
—> kann man auch Tschebyscheff anwenden?
—> wenn ja was muss man was beachten?
JA!!!
—> BEACHTE: AUCH HIER nur SIGMA und nicht sigma/ Wurzel n !!!!!!
Sei (X1 ,…,Xn)eine einfache Stichprobe mit E(Xi )=μ und Var(Xi )= σ2. Nach dem ( schwachen ) Gesetz der großen Zahlen gilt:
„Für großes n nimmt Xn mit hoher Wahrscheinlichkeit Werte nahe bei μ an.“
Wahr
Der p-value (die Überschreitungswahrscheinlichkeit) ist das kleinste Signifikanzniveau bei dem wir die Nullhypothese gerade noch verwürfen.
Wahr
Ist der p-value (die Überschreitungswahrscheinlichkeit) größer als das Signifikanzniveau α , dann wird die Nullhypothese verworfen.
FALSCH
P(X = 5) bei stetiger Gleichverteilung, Expo, Normalverteilung
—> bei allen stetigen Verteilungen
= Null !!!!!
