Examen final

Question 1

(u, v, w) 
vector u, v 
vector w
pentru i = 1, n
       wi = ui + vi
retur

Answer 1

adunarea vectorilor w=u+v

Question 2

(a, v, w) 
real a
vector v 
vector w 
pentru i = 1, n
      wi = avi
retur

Answer 2

inmulteste vectorul v cu scalarul a

Question 3

tip vector euclidian
funct¸ie produs(u, v)
    euclidian u, v 
    real p 
    p = 0
    pentru i = 1, n
          p = p + uivi
ˆıntoarce p

funct¸ia norma (u)
    euclidian u, v
    real norma
         norma = pprodus(u, u)
ˆıntoarce norma

Answer 3

definirea unui spatiu euclidian

Question 4

tip vector polinom
procedur˘a xxxx(n, r, q, p); 
     intreg n
    polinom r, q 
    polinom p 
    ˆıntreg i, j, k
    pentru i = 0, 2n
        pi = 0
   pentru i = 0, n
        pentru j = 0, n
              k = i + j 
             pk = pk + riqj
retur

Answer 4

inmultirea polinoamelor p=rq

Question 5

funct¸ie yyyy(n, p, x)
     intreg n 
     polinom p 
     real x 
     real v
     v = pn
     pentru i = n − 1, 0, −1
         v = pi + vx
ˆıntoarce v

Answer 5

evaluarea polinomului p(x)

Question 6

tip tablou real matrice (n, n)
procedur˘a xxxx(a, b, c) 
matrice a, b 
matrice c 
pentru i = 1, n
pentru j = 1, n
cij = aij + bij
retur

Answer 6

adunarea matricelor

Question 7

procedur˘a yyyy(α, b, c)
real α
matrice b 
matrice c 
pentru i = 1, n
pentru j = 1, n
cij = αbij
retur

Answer 7

inmultirea matricei b cu scalarul α

Question 8

procedur˘a xxxx(a, b, c)
matrice a, b
matrice c
pentru i = 1, n
pentru j = 1, n
cij = 0
pentru k = 1, n
cij = aikbkj + cij
retur

Answer 8

inmultirea matricelor

Question 9

procedur˘a yyyy(u, v, w) 
complex u, v 
complex w
w.re = u.re + v.re
w.im = u.im + v.im
retur

Answer 9

suma numerelor complexe

Question 10

procedur˘a xxxx(u, v, w)
complex u, v
complex w 
w.re = u.re · v.re − u.im · v.im
w.im = u.re · v.im + u.im · v.re
retur

Answer 10

produsul numerelor complexe

Question 11

procedur˘a yyyy(u, v, w) 
complex u, v
complex w
w.re = u.re − v.re
w.im = u.im − v.im
retur

Answer 11

diferenta numerelor complexe

Question 12

procedur˘a xxxx(u, v, w)
complex u, v 
complex w
real v2
v2 = v.re · v.re + v.im · v.im
w.re = (u.re · v.re + u.im · v.im)/v2
w.im = (u.im · v.re − u.re · v.im)/v2
retur

Answer 12

raportul numerelor complexe

Question 13

funct¸ia yyyy(u)
complex u
real m
m =
p
(u.re · u.re + u.im · u.im)
ˆıntoarce m

Answer 13

modulul numarului complex

Question 14

funct¸ie xxxx (n, p, x)
ˆıntreg n
polinom p 
real x
real v 
real xk 
v = p0
pentru i = 1, n
xk = pi
pentru k = 1, i
xk = xk · x
v = v + xk
ˆıntoarce v

Answer 14

evaluarea polinomului

Question 15

real err
err=1
repet˘a
err=err/2
pˆan˘a cˆand (1 + err = 1)
scrie err

Answer 15

calcularea erorii relative de rotunjire

Question 16

real tip inregistrare interval
real val
real er

procedura xxxx (x,y,s) 
interval x, y, s
s.val = x.val + y.val
s.er = err + (|x.val · x.er| + |y.val · y.er|)/|s.val|
retur

Answer 16

suma erorii relative

Question 17

procedura yyyy(x,y,d) 
interval x, y, d
d.val = x.val − y.val
d.er = err + (|x.val · x.er| + |y.val · y.er|)/|d.val|
retur

Answer 17

diferenta erorii relative

Question 18

procedura xxxx(x,y,p) 
interval x, y, p
p.val = x.val · y.val
p.er = err + |x.er| + |y.er|
retur

Answer 18

produsul erorii relative

Question 19

procedura yyyy(x,y,c) 
interval x, y, c
c.val = x.val/y.val
c.er = err + |x.er| + |y.er|
retur

Answer 19

diferenta erorii relative

Question 20

funct¸ia xxxx(x)
real x, t, s
ˆıntreg k
t = x
s = t
k = 1
repet˘a
k = k + 2
t = −tx2/k/(k − 1)
s = s + t
pˆan˘a cˆand |t|

Answer 20

functia sinus

Question 21

procedura yyyy(n, a, b, x)
tablou real a(n, n), b(n), x(n)
pentru k = 1, n − 1 
pentru i = k + 1, n 
p = aik/akk
pentru j = k + 1, n 
aij = aij − akjp 
bi = bi − bkp
xn = bn/ann
pentru i = n − 1, 1, −1
s = bi
pentru j = n, i + 1, −1
s = s − aijxj
xi = s/aii
retur

Answer 21

Gauss fara pivotare

Question 22

funct¸ia xxxx (n, a, b, x)
tablou real a(n, n), b(n), x(n)
pentru k = 1, n − 1
max = k
pentru m = k + 1, n
dac˘a |amx| > |amax,k| atunci max = m
dac˘a amax,k = 0 atunci ˆıntoarce 1
dac˘a max 6= k atunci
pentru m = k, n
temp = akm
akm = amax,m
amax,m = temp
temp = bk
bk = bmax
bmax = temp 
pentru i = k + 1, n 
dac˘a aik 6= 0 atunci
p = aik/akk
pentru j = k + 1, n
aij = aij − akj · p 
bi = bi − bk · p
; retrosubstitut¸ie
dac˘a an,n = 0 atunci ˆıntoarce 1 
xn = bn/an,n
pentru i = n − 1, 1, −1
s = bi
pentru j = n, i + 1, −1
s = s − aij · xj
xi = s/aii
ˆıntoarce 0

Answer 22

metoda Gauss cu pivotare partiala

Question 23

procedur˘a yyyy(n, m, a, B, X)
întreg n 
întreg m 
tablou real a[n][n] 
tablou real B[n][m]
tablou real X[n][m]
întreg i, j, k
real p, s
pentru k = 1, n − 1 
pentru i = k + 1, n
p = −aik /akk 
pentru j = k + 1, n
aij = aij + pakj
•
pentru j = 1, m
bij = bij + pbkj
•
•
•
pentru k = 1, m
xnk = bnk /ann
pentru i = n − 1, 1, −1
s = 0
pentru j = i + 1, n
s = s + aij xjk
•
xik = (bik − s)/aii
•
•
retur

Answer 23

Gauss simultan

Question 24

procedur˘a xxxx(n, p, q, r, b, x)
întreg n
tablou real p[n], q[n], r[n] 
tablou real b[n] 
tablou real x[n] 
întreg i, k
pentru k = 1, n − 1 
m = −pk+1/qk
qk+1 = qk+1 + mrk
bk+1 = bk+1 + mbk
•
xn = bn/qn
pentru i = n − 1, 1, −1
xi = (bi − ri xi+1
)/qi
•
retur

Answer 24

Gauss pentru matrice rara

Question 25

pentru k = 1, n − 1 
pentru i = k + 1, n
p = −aik /akk
pentru j = k + 1, n
aij = aij + pakj
•
aik = −p
•
•
procedur˘a factorizare_LU(n, a)

; varianta xxxx
; declara¸tii
· · ·
pentru k = 1, n − 1 
pentru i = k + 1, n
aik = aik /akk
pentru j = k + 1, n 
aij = aij − aik akj ; Factorizare "pe loc" : "A = L + U − I"
•
•
•
retur

Answer 25

varianta doolittle

Question 26

procedur˘a rezolva_LU( ˘ n, a, b, x)
; rezolva sistemul de ecua¸tii ˘ ax = b prin factorizare LU
; matricea este presupusa a fi deja factorizat ˘ a în loc ˘
; varianta Doolittle
; declara¸tii
· · ·
; substitu¸tie progresiva˘
y1 = b1
; formula (55), unde l11 = 1
pentru i = 2, n
s = 0
pentru j = 1, i − 1
s = s + aij yj
; formula (56), unde L este memorat în a
•
yi = bi − s ; deoarce l
ii = 1
•
; substitu¸tie regresiva˘
xn = yn/ann ; formula (57), unde U este memorat în a
pentru i = n − 1, 1, −1
s = 0
pentru j = i + 1, n
s = s + aij xj
•
xi = (yi − s)/aii
•
retur

Answer 26

doolittle dupa factorizare

Question 27

procedura yyyy (n,a,b,x,nrit,eps)
tablou real a(n,n),b(n),x(n)
ˆınteg nrit
real eps
tablou real xn(N)
k = 0 
pentru i=1,n
xi = 0 
repet˘a 
err= 0; 
pentru i= 1,n 
s = b(i)
pentru j=1,n 
s = s − a(i, j)x(j)
s = s + a(i, i)x(i)
xn(i) = s/a(i, i) 
s = |xn(i) − x(i)|
dac˘a err < s atunci err = s
pentru i= 1,n
x(i) = xn(i)
k = k + 1
pˆan˘a cˆand (err < eps) sau (k > nrit)
retur

Answer 27

metode iterative - Jacobi

Question 28

procedura Gauss-Seidel(n,a,b,x,nrit,eps)
tablou real a(n,n), b(n), x(n)
ˆıntreg nrit
real eps
init¸ializ˘ari
k = 0
pentru i=1,n
x(i) = 0 
repet˘a
err = 0 
pentru i=1,n
s = b(i)
pentru j=1,n
s = s − a(i, j)x(j)
s = (s + a(i, i)x(i))/a(i, i)
err = err + (s − x(i))
x(i) = s
k = k + 1 
err = sqrt(err)
pˆan˘a cˆand (err < eps) sau (k > nrit)
retur

Answer 28

metode iterative - Gauss - Seidel