Examen 2 Flashcards
Var(x)
Var[X] = E[X]^2− (E[X])^2
La variable aléatoire centrer réduite
Y = X − E[X]/
racine carré de (Var(X))
.
Loi de Bernoulli FX (x) =
1 − p k = 0
p k = 1
0 ailleurs ,
Loi de Bernoulli E[X] =
E[X] = p
Loi de Bernoulli Var(X) =
= p(1 − p)
Loi de Bernoulli Mx (t) =
,
Mx (t) = (1 − p) + pe^t
,
Loi de Bernoulli Px (t) =
Px (t) = (1 − p) + pt.
Loi binomiale P(X = x) =
( n )
( x ) p^x (1 − p)^n-x
Loi binomiale E[X] =
E[X] = np
Loi binomiale Var(X) =
Var(X) = np(1 − p)
Loi binomiale Mx (t) =
Mx (t) =(1 − p) + pe^t)^n
Loi binomiale Px (t) =
Px (t) = ((1 − p) + pt)^n
Loi de Poisson P(X = k) =
((λ^k)/k!) x (e^−λ)
Loi de Poisson E[X] =
E[X] = λ
Loi de Poisson Var(X) =
Var(X) = λ
Loi de Poisson Mx (t) =
MX (t) = λ((e^t)-1)
e^
Loi de Poisson Px (t) =
Px (t) = e^ ( λ(t−1))
.
Loi géométrique P(X = k) =
P(X = k) = (p(1 − p)^(k−1) k = 1, 2, 3, . . .
0 ailleurs.
Loi géométrique E[X] =
E[X] = 1/p
Loi géométrique Var(X) =
Var(X) = (1 − p)/
p^2
Loi géométrique MX (t) =
Mx (t) = pe^t/
1 − (1 − p)e^t
Loi géométrique Px (t) =
PX (t) = pt/
1 − (1 − p)t
.
Loi géométrique FX (x) =
FX (x) = (0 x < 1)
(1 − (1 − p)^[x] x ≥ 1
Loi Binomiale Négative P(X = k) =
X ∼BinNeg(r, p).
P(X = k) = ( k -1 ) p^r ( 1 - p )^(k-r)
( r - 1 )
Loi Binomiale Négative E[X] =
E[X] = r/p
Loi Binomiale Négative Var(X) =
Var(X) = r(1 − p)/
p^2
Loi Binomiale Négative Mx (t) =
Mx (t) = ((pe^t)/ ) ^ r
( 1 − (1 − p)e^t)
Loi Binomiale Négative Px (t) =
Px (t) = ((pt)/ ) ^ r
( 1 − (1 − p)t)
La fonction de masse de probabilité d’une variable aléatoire X
satisfait les propriétés suivantes :
1 ≥ p(xi) ≥ 0, i = 1, 2, . . .
somme de p(xi) = 1
p(x) = 0 pour tout x ∈ /{ x1, x2, . . .}
La fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire
continue X est une fonction fx satisfaisant les deux propriétés
suivantes :
fx(x) ≥ 0, ∀x
Intégrale( en ∞ et -∞) de fx (x)dx = 1.
Construction et graphique de la fonction de répartition d’une variable aléatoire (discrète/continue) à partir de la fonction de masse /densité.
Voir
La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue x
avec fonction de densité de probabilité fx est définie par
FX (x) = P(X ≤ x) = (symbole intégral) x fx (y)dy.
−∞
La fonction de répartition inverse (quantile) pour une variable aléatoire continue est définie de la même façon que dans le cas d’une variable aléatoire discrète. Cependant, on parvient parfois a obtenir une forme analytique de la fonction de répartition inverse pour certaines variables aléatoires continues. On rappelle ci-dessous la définition de la fonction de répartition inverse et on poursuit avec un exemple.
F^−1x(u) = inf {x ∈ R : Fx(X) ≥ u}
Moyenne
E[X] donne la moyenne pondérée
Médiane
fx(0,5)
0,2e^0,5t + 0,3^t + 0,5e^2t
0,2 k= 0,5
0,3 k= 1
0,5 k= 2
Calcul et applications de la fgm et fgp pour retrouver la moyenne, la variance, les moments d’ordre k,etc.
p.56 chapitre 4
loi d’une fonction d’une variable aléatoire.
Approximation d’une loi binomiale (par une loi de Poisson ou une loi normale)
np = λ, ou λ est fixe. Alors, pour tout x
((1 − p) + pt)^n = e^ ( λ(t−1))
sans mémoire
Soit X une variable aléatoire telle que X ´ ∼ Exp(λ)
Alors,
P(X > s + t | X > t) = P(X > s).
