Examen 2

Question 1

Var(x)

Answer 1

Var[X] = E[X]^2− (E[X])^2

Question 2

La variable aléatoire centrer réduite

Answer 2

Y = X − E[X]/
racine carré de (Var(X))
.

Question 3

Loi de Bernoulli FX (x) =

Answer 3

1 − p k = 0
p k = 1
0 ailleurs ,

Question 4

Loi de Bernoulli E[X] =

Answer 4

E[X] = p

Question 5

Loi de Bernoulli Var(X) =

Answer 5

= p(1 − p)

Question 6

Loi de Bernoulli Mx (t) =
,

Answer 6

Mx (t) = (1 − p) + pe^t
,

Question 7

Loi de Bernoulli Px (t) =

Answer 7

Px (t) = (1 − p) + pt.

Question 8

Loi binomiale P(X = x) =

Answer 8

( n )
( x ) p^x (1 − p)^n-x

Question 9

Loi binomiale E[X] =

Answer 9

E[X] = np

Question 10

Loi binomiale Var(X) =

Answer 10

Var(X) = np(1 − p)

Question 11

Loi binomiale Mx (t) =

Answer 11

Mx (t) =(1 − p) + pe^t)^n

Question 12

Loi binomiale Px (t) =

Answer 12

Px (t) = ((1 − p) + pt)^n

Question 13

Loi de Poisson P(X = k) =

Answer 13

((λ^k)/k!) x (e^−λ)

Question 14

Loi de Poisson E[X] =

Answer 14

E[X] = λ

Question 15

Loi de Poisson Var(X) =

Answer 15

Var(X) = λ

Question 16

Loi de Poisson Mx (t) =

Answer 16

MX (t) = λ((e^t)-1)
e^

Question 17

Loi de Poisson Px (t) =

Answer 17

Px (t) = e^ ( λ(t−1))
.

Question 18

Loi géométrique P(X = k) =

Answer 18

P(X = k) = (p(1 − p)^(k−1) k = 1, 2, 3, . . .
0 ailleurs.

Question 19

Loi géométrique E[X] =

Answer 19

E[X] = 1/p

Question 20

Loi géométrique Var(X) =

Answer 20

Var(X) = (1 − p)/
p^2

Question 21

Loi géométrique MX (t) =

Answer 21

Mx (t) = pe^t/
1 − (1 − p)e^t

Question 22

Loi géométrique Px (t) =

Answer 22

PX (t) = pt/
1 − (1 − p)t
.

Question 23

Loi géométrique FX (x) =

Answer 23

FX (x) = (0 x < 1)
(1 − (1 − p)^[x] x ≥ 1

Question 24

Loi Binomiale Négative P(X = k) =

Answer 24

X ∼BinNeg(r, p).

P(X = k) = ( k -1 ) p^r ( 1 - p )^(k-r)
( r - 1 )

Question 25

Loi Binomiale Négative E[X] =

Answer 25

E[X] = r/p

Question 26

Loi Binomiale Négative Var(X) =

Answer 26

Var(X) = r(1 − p)/
p^2

Question 27

Loi Binomiale Négative Mx (t) =

Answer 27

Mx (t) = ((pe^t)/ ) ^ r
( 1 − (1 − p)e^t)

Question 28

Loi Binomiale Négative Px (t) =

Answer 28

Px (t) = ((pt)/ ) ^ r
( 1 − (1 − p)t)

Question 29

La fonction de masse de probabilité d’une variable aléatoire X
satisfait les propriétés suivantes :

Answer 29

1 ≥ p(xi) ≥ 0, i = 1, 2, . . .
somme de p(xi) = 1
p(x) = 0 pour tout x ∈ /{ x1, x2, . . .}

Question 30

La fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire
continue X est une fonction fx satisfaisant les deux propriétés
suivantes :

Answer 30

fx(x) ≥ 0, ∀x

Intégrale( en ∞ et -∞) de fx (x)dx = 1.

Question 31

Construction et graphique de la fonction de répartition d’une variable aléatoire (discrète/continue) à partir de la fonction de masse /densité.

Answer 31

Voir

Question 32

La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue x
avec fonction de densité de probabilité fx est définie par

Answer 32

FX (x) = P(X ≤ x) = (symbole intégral) x fx (y)dy.
−∞

Question 33

La fonction de répartition inverse (quantile) pour une variable aléatoire continue est définie de la même façon que dans le cas d’une variable aléatoire discrète. Cependant, on parvient parfois a obtenir une forme analytique de la fonction de répartition inverse pour certaines variables aléatoires continues. On rappelle ci-dessous la définition de la fonction de répartition inverse et on poursuit avec un exemple.

Answer 33

F^−1x(u) = inf {x ∈ R : Fx(X) ≥ u}

Question 34

Moyenne

Answer 34

E[X] donne la moyenne pondérée

Question 35

Médiane

Answer 35

fx(0,5)

Question 36

0,2e^0,5t + 0,3^t + 0,5e^2t

Answer 36

0,2 k= 0,5
0,3 k= 1
0,5 k= 2

Question 37

Calcul et applications de la fgm et fgp pour retrouver la moyenne, la variance, les moments d’ordre k,etc.

Answer 37

p.56 chapitre 4

Question 38

loi d’une fonction d’une variable aléatoire.

Question 39

Approximation d’une loi binomiale (par une loi de Poisson ou une loi normale)

Answer 39

np = λ, ou λ est fixe. Alors, pour tout x

((1 − p) + pt)^n = e^ ( λ(t−1))

Question 40

sans mémoire

Answer 40

Soit X une variable aléatoire telle que X ´ ∼ Exp(λ)
Alors,
P(X > s + t | X > t) = P(X > s).