Examen 2 Flashcards

1
Q

Var(x)

A

Var[X] = E[X]^2− (E[X])^2

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Q

La variable aléatoire centrer réduite

A

Y = X − E[X]/
racine carré de (Var(X))
.

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3
Q

Loi de Bernoulli FX (x) =

A

1 − p k = 0
p k = 1
0 ailleurs ,

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4
Q

Loi de Bernoulli E[X] =

A

E[X] = p

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5
Q

Loi de Bernoulli Var(X) =

A

= p(1 − p)

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6
Q

Loi de Bernoulli Mx (t) =
,

A

Mx (t) = (1 − p) + pe^t
,

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7
Q

Loi de Bernoulli Px (t) =

A

Px (t) = (1 − p) + pt.

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8
Q

Loi binomiale P(X = x) =

A

( n )
( x ) p^x (1 − p)^n-x

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9
Q

Loi binomiale E[X] =

A

E[X] = np

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10
Q

Loi binomiale Var(X) =

A

Var(X) = np(1 − p)

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11
Q

Loi binomiale Mx (t) =

A

Mx (t) =(1 − p) + pe^t)^n

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12
Q

Loi binomiale Px (t) =

A

Px (t) = ((1 − p) + pt)^n

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13
Q

Loi de Poisson P(X = k) =

A

((λ^k)/k!) x (e^−λ)

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14
Q

Loi de Poisson E[X] =

A

E[X] = λ

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15
Q

Loi de Poisson Var(X) =

A

Var(X) = λ

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16
Q

Loi de Poisson Mx (t) =

A

MX (t) = λ((e^t)-1)
e^

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17
Q

Loi de Poisson Px (t) =

A

Px (t) = e^ ( λ(t−1))
.

18
Q

Loi géométrique P(X = k) =

A

P(X = k) = (p(1 − p)^(k−1) k = 1, 2, 3, . . .
0 ailleurs.

19
Q

Loi géométrique E[X] =

A

E[X] = 1/p

20
Q

Loi géométrique Var(X) =

A

Var(X) = (1 − p)/
p^2

21
Q

Loi géométrique MX (t) =

A

Mx (t) = pe^t/
1 − (1 − p)e^t

22
Q

Loi géométrique Px (t) =

A

PX (t) = pt/
1 − (1 − p)t
.

23
Q

Loi géométrique FX (x) =

A

FX (x) = (0 x < 1)
(1 − (1 − p)^[x] x ≥ 1

24
Q

Loi Binomiale Négative P(X = k) =

A

X ∼BinNeg(r, p).

P(X = k) = ( k -1 ) p^r ( 1 - p )^(k-r)
( r - 1 )

25
Loi Binomiale Négative E[X] =
E[X] = r/p
26
Loi Binomiale Négative Var(X) =
Var(X) = r(1 − p)/ p^2
27
Loi Binomiale Négative Mx (t) =
Mx (t) = ((pe^t)/ ) ^ r ( 1 − (1 − p)e^t)
28
Loi Binomiale Négative Px (t) =
Px (t) = ((pt)/ ) ^ r ( 1 − (1 − p)t)
29
La fonction de masse de probabilité d’une variable aléatoire X satisfait les propriétés suivantes :
1 ≥ p(xi) ≥ 0, i = 1, 2, . . . somme de p(xi) = 1 p(x) = 0 pour tout x ∈ /{ x1, x2, . . .}
30
La fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire continue X est une fonction fx satisfaisant les deux propriétés suivantes :
fx(x) ≥ 0, ∀x Intégrale( en ∞ et -∞) de fx (x)dx = 1.
31
Construction et graphique de la fonction de répartition d'une variable aléatoire (discrète/continue) à partir de la fonction de masse /densité.
Voir
32
La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue x avec fonction de densité de probabilité fx est définie par
FX (x) = P(X ≤ x) = (symbole intégral) x fx (y)dy. −∞
33
La fonction de répartition inverse (quantile) pour une variable aléatoire continue est définie de la même façon que dans le cas d’une variable aléatoire discrète. Cependant, on parvient parfois a obtenir une forme analytique de la fonction de répartition inverse pour certaines variables aléatoires continues. On rappelle ci-dessous la définition de la fonction de répartition inverse et on poursuit avec un exemple.
F^−1x(u) = inf {x ∈ R : Fx(X) ≥ u}
34
Moyenne
E[X] donne la moyenne pondérée
35
Médiane
fx(0,5)
36
0,2e^0,5t + 0,3^t + 0,5e^2t
0,2 k= 0,5 0,3 k= 1 0,5 k= 2
37
Calcul et applications de la fgm et fgp pour retrouver la moyenne, la variance, les moments d'ordre k,etc.
p.56 chapitre 4
38
loi d'une fonction d'une variable aléatoire.
39
Approximation d'une loi binomiale (par une loi de Poisson ou une loi normale)
np = λ, ou λ est fixe. Alors, pour tout x ((1 − p) + pt)^n = e^ ( λ(t−1))
40
sans mémoire
Soit X une variable aléatoire telle que X ´ ∼ Exp(λ) Alors, P(X > s + t | X > t) = P(X > s).