Examen 1. Flashcards
Une matrice est…?
Un tableau de nombres
Le format ou la dimension d’une matrice est…?
le nombre de lignes x le nombre de colonnes
Dim(A)= m x n
Dimension de la matrice, format de la matrice
Les nombres composant une matrice sont appelés…
Éléments
Adresse de l’élément
i= numéro de la ligne j= numéro de la colonne
Le format de la matrice
m= nombre de lignes n= nombre de colonnes
Le pivot d’une ligne est…
le premier élément non nul de cette ligne
Une matrice écholonnée est une matrice présentant 2 caractéristiques..?
- le pivot de chaque ligne est situé à droite du pivot de la ligne précédente.
- Si la matrice possède des lignes nulles, elles doivent se situer sous les lignes non nulles.
Une matrice échelonnée réduite est une matrice qui possède trois caractéristiques…?
- C’est une matrice échelonnée.
- Chaque pivot vaut obligatoirement 1.
- Tous les élements d’une colonne contenant un pivot sont nuls.
Une matrice ligne est une matrice de format?
1 x n
Une matrice colonne est une matrice de format?
m x 1
Une matrice carrée est?
Une matrice qui comporte le même nombre de ligne et de colonnes.
Quel est le format est la matrice carrée?
format n x n et est dite d’ordre n.
Comment s’appel la diagonale de la
matrice carrée?
La diagonale principale.
Qu’est-ce que la trace d’une matrice carrée?
C’est la somme des éléments de la
diagonale principale.
Les matrices aij et bij sont égales si et seulement si…
- Elles ont le même format
2. leurs éléments correspondants sont égaux, pour tout i et pour tout j.
Qu’est-ce qu’une matrice nulle?
C’est une matrice dont tous les éléments sont nuls.
De quel format est la matrice nulle?
De format m x n, notée par la lettre O,
O mxn
Cette matrice carrée dont tous les éléments situés en-dessous de la diagonale principale sont nuls.
Matrice triangulaire supérieure
Cette matrice carrée dont tous les éléments sont situés au dessus de la diagonale principale sont nuls.
Matrice triangulaire inférieure
Qu’est-ce qu’une matrice diagonale?
C’est une matrice carrée dont tous les éléments qui ne sont pas situés sur la diagonale principale sont nuls.
Qu’est-ce qu’une matrice scalaire?
C’est une matrice dont tous les éléments de la diagonale principale sont égaux.
Qu’est-ce qu’une matrice identité?
C’est une matrice scalaire dont tous les éléments de la diagonale principale sont des 1.
Qu’est-ce qu’une matrice symétrique?
Les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux.
Qu’est-ce qu’une matrice antisymétrique?
Les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux, mais de signes contraires.
Pour que l’égalité soit respectée, aij = -aij, il faut que tous les éléments de la diagonale principale d’une matrice antisymétrique soient?
Des 0. En effet seul 0 = -0
On constate que pour pouvoir additionner ou soustraire deux matrices, celles-ci doivent?
Être de même format.
La matrice opposée de A est notée?
-A.
Qu’est-ce que la matrice transposée?
C’est la matrice obtenue en intervertissant les lignes et les colonnes. Elle est notée At.
Une matrice est symétrique si et seulement si?
At = A
Une matrice est antisymétrique si et seulement si?
At = -A
A + B =
B + A
(A + B) + C
A+(B+C)
A + Omxn =
A
A+(-A)=
Omxn
r(A+B)=
rA+rB
(r+s)A=
rA+sA
(rs)A=
r(sA)
1A=
A
0A=
Omxn
rOmxn=
Omxn
(At)t=
A
(kA)t=
kAt
(A+B)t=
At+Bt
(A-B)t=
At-Bt
Pour que le produit matriciel soit défini..?
Il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième matrice.
La matrice résultante est alors?
Une matrice possèdant le même nombre de lignes que la première matrice et le même nombre de colonnes de la deuxième matrice.
AB n’est pas égale à BA.
Le produit matriciel n’est pas commutatif.
Une matrice carrée A d’ordre n est idempotente si et seulement si?
A2 = A
Une matrice carrée A d’ordre n est nilpotente si et seulement si?
Il existe un entier positif k tel que
Ak = Onxn
- On nomme indice de nilpotence, le plus petit entier positif k tel que Ak = Onxn
(AB)C=
A(BC)
k(AB)=
(kA)B ou A(kB)
Ain=
A
inB=
B
A(B+C)=
AB+AC
(D+E) F=
DF+EF
(AB)t=
Bt At
AB=AC
On ne peut pas conclure que B=C
AB= 0
On ne peut pas conclure que A=0 ou que B=0
Un déterminant est?
Une fonction qui associe un nombre réel à une matrice carrée A d’ordre n. On le note detA ou |A|
Si detA = 0 alors on dit que la matrice est?
singulière
Si det A n’est pas égale à 0, alors on dit que la matrice est?
régulière
Déterminant d’ordre 2?
ad-bc
Déterminant d’ordre 3 ou plus?
La matrice des signes
Qu’est-ce qu’un sous-déterminant?
On l’obtient quand on enlève la ligne et la colonne de notre nombre. (le carrée prêt à multiplier)
Qu’est-ce qu’un mineur?
C’est le déterminant obtenue en supprimant la ie ligne et la je colonne de A. Associé à Mij.
Qu’est-ce qu’un cofacteur?
Le facteur (-1)ij est le signe (+ ou -) correspondant à l’adresse de l’élément.
Règle de sarrus
seulement pour les matrices 3x3
On peut développer un déterminant selon la ligne ou la colonne que l’on veut. Pour simplifier les calculs, on choisit celle qui contient le plus de?
0
L’inversion de deux lignes ou de deux colonnes dans une matrices amène un?
Changement de signe dans le déterminant.
Le déterminant d’une matrice triangulaire est?
Égale au porsuit des éléments de sa diagonale principale.
Le déterminant de la transposée d’une matrice carrée est?
Égale au déterminant de la matrice initiale.
Le déterminant d’une matrice carrée A qui contient une ligne ou une colonne contenant seulement des 0 vaut?
0
Si B est une matrice qu’on obtient en multupliant une ligne ou une colonne d’une matrice carrée A par une constante c, alors?
detB = cdetA
Si on multiplie une matrice carrée par une constante, le déterminant sera multiplié par cette constante exposant?
le nombre de lignes
det(cA) = cn det(A)
Le déterminant d’une matrice A qui contient deux lignes ou deux colonnes identiques vaut
0
Le déterminant d’une matrice qui contient deux lignes ou deux colonnes dont l’une est le multiple de l’autre vaut
0
DetA x DetB = det(AB) mais
det( A+-B) n’est pas égale au
detA +- detB
Si on veut faire apparaître des zéros dans une colon e pour simplifier le calcul d’un déterminant d’une matrice de format 3x3 ou plus, on peut effectuer les opérations élémentaires ?
Multipler une ligne par une autre pour obtenir des 0.
a et b sont des nombres réels sauf 0.
