Espacios Vectoriales

Question 1

Vector libre

Answer 1

• Tienen su punto de aplicación en el lugar que nos convenga ==> podemos sumarlos
• Se pueden multiplicar por escalares
• a*v –> mismo sentido
• (-a)*v –> sentido opuesto

Question 2

Conjunto Rⁿ

Answer 2

Formado por las n-uplas ordenadas de números reales para cualquier número natural n.

Question 3

El vector cero de un espacio vectorial es ´unico.

Answer 3

Si w verifica que w + u = u , entonces w + u + (−u) = u + (−u) de donde w + 0 = 0 y w = 0.

En consecuencia, el vector cero es ´unico.

Question 4

Espacio vectorial

Answer 4

Conjunto V a cuyos elementos llamamos vectores, con dos leyes de composición.

• A cada par de vectores (u,v) se le asocia otro al que llamamos suma de esos dos. (u+v) V x V → V
• A cada par escalar-vector (ÿ,v) le asocia otro vector al que llammos producto del escalar ÿ por el vector v y denotamos como ÿv. R x V → V

Question 5

Espacio vectorial de dimensión finita

Answer 5

Aquél que contiene un sistema generador que sea un conjunto finito.

Question 6

Sistema generador

Answer 6

Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto suyo G, con la propiedad de que todos losvvectores de V se pueden expresar como combinación lineal de G; será un sistema generador.

Question 7

Subconjuntos

Answer 7

• Libre ninguno de sus vectores es combinación lineal de los demás.
• Ligado caso contrario.

Question 8

Base

Answer 8

Subconjunto libre y sistema generador de un espacio vectorial.

Question 9

Dimensión

Answer 9

Nº de elementos de una base de V.

Question 10

Coordenadas

Answer 10

Aquellos escalares que cumplen que:

v = ÿ_{1 *} v₁ + … + ÿ_{n *} v_n

Ejemplo:

P(X) = X² + X + 5

• Coordenadas: 3, 1, 1
• Base: [1, 1 + X, + 1 * (1 + X)]

Question 11

Equivalencia de sistemas generadores

Answer 11

Sea V un espacio vectorial sobre IK. Se dice que dos conjuntos de vectores son sistemas equivalentes si generan el mismo subespacio vectorial:

A, B equivalentes ⇐⇒ L{A} = L{B}.

Question 12

0*u = 0

Answer 12

Como 0u = (0 + 0)u = 0u + 0u , si sumamos a cada lado de la igualdad el opuesto de 0u , tenemos que

0u + (−0u) = 0u + 0u + (−0u)

luego 0 = 0u + 0 = 0u .

Question 13

(−1)u = −u .

Answer 13

Veamos que (−1)u es el opuesto u :

u + (−1)u = 1u + (−1)u = (1 + (−1))u = 0u = 0

Question 14

El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es ´unico.

Answer 14

Si w verifica que w + u = 0 , entonces w + u +(−u) = 0 +(−u) de donde w + 0 = −u y w = −u.

En consecuencia, el vector opuesto es ´unico.

Question 15

ku = 0 ⇐⇒ k = 0 ´o u = 0 .

Answer 15

Si ku = 0 y k ~= 0, entonces (1/k) ku = (1/k) 0 = 0 .

Luego 0 = 1 k ku = ( 1 k k)u = 1u = u .

Question 16

Aplicación lineal

Answer 16

Siendo U y V dos espacios vectoriaales; si se cumple que:

• T(u₁+u₂) = T(u₁) + T(u₂) Para u1 u2 exist en U
• T(ŷ * u) = ŷ * T(u) Para ŷ perteneciente R

Question 17

Monomorfismo

Answer 17

• Una aplicación f : A → B es inyectiva si ∀a1, a2 ∈ A,

con a1 ~= a2, entonces f(a1) ~= f(a2).

• f es un monomorfismo si y sólo si Ker(f) = {¯0} (dim(Ker(f)) = 0).
• f es un monomorfismo si y sólo si para todo conjunto de vectores l.i. de V , {v1, . . . , vm}, se tiene que {f(v1), . . . , f(vm)} también es l.i..

Question 18

Epimorfismo

Answer 18

• Una aplicación f : A → B es sobreyectiva si ∀b ∈ B existe a ∈ A tal que f(a) = b o, equivalentemente, si f(A) = B.
• f es un epimorfismo si y sólo si Im(f) = V 0 (r(f) = dim(V 0 )).
• f es un epimorfismo si y sólo si para todo sistema de generadores de V , {v1, . . . , vm}, se tiene que {f(v1), . . . , f(vm)} es sistema de generadores de V 0 .

Question 19

Isomorfismo

Answer 19

• Una aplicación f : A → B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
• f es un isomorfismo si y sólo si para toda base de

V , {v1, . . . , vn}, se tiene que {f(v1), . . . , f(vn)} es base de V 0 .

Question 20

Endomorfismo

Answer 20

Una aplicación lineal f : V → V , definida de un espacio vectorial en sí mismo, se denomina endomorfismo. De ser isomorfismo, la llamamos automorfismo.

Question 21

Nucleo

Answer 21

Dada una aplicación lineal f : V → V 0 , se define el núcleo de f, Ker(f), como el conjunto Ker(f) = {v ∈ V tal que f(v) = 0}

Question 22

Imagen

Answer 22

Llamamos imagen de f, Im(f), al conjunto

Im(f) = {f(v) tal que v ∈ V } = f(V )