Espacios métricos y normados , sucesiones, compacidad... Flashcards
¿Cuáles son los cuatro axiomas que carazterizan un espacio métrico (X,d)?
- ∀x∈X, d(x,x)
- ∀x,y∈X : x≠y d(x,y)>0
- ∀x,y∈X, d(x,y) = d(y,x)
- ∀x,y,z∈X, d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)
Definición de sucesión convergente en un espacio métrico (X,d)
∀ε>o, ∃N∈ℕ : d(xn,x)=N
Definición de sucesión convergente en un espacio métrico (X,d) en términos de bolas
∀ε>o, ∃N∈ℕ : xn∈B(x,ε) , ∀n≥N
Una sucesión convergente a x…
- ⇒es de cauchy
- ⇒es acotda
- ⇒toda subsucesión converge a x
- ⇒ toda subsucesión tiene a su vez una subsucesión que converge a x
x0 es un punto interior de A un subconjunto de un espacio métrico (X,d) si…
∃r>0 : B(x0,r)⊂A
x0 es un punto exterior de A un subconjunto de un espacio métrico (X,d) si…
∃r>0 : B(x0,r)∩A = Ø
x0 es un punto adherente de A un subconjunto de un espacio métrico (X,d) si…
∀r>0 : B(x0,r)∩A ≠ Ø
Sea (X,d) un espacio métrico, A un subconjunto del espacio métrico y x un punto de X tal que x es un punto adherente entonces…
- ⇒ x∈int(A) o x∈δA
2. ⇒ ∃xn en A tal que xn converge a x.
Sea (X,d) un espació métrico y A un subconjunto de este
A es abierto…
⇔a = int(a) ⇔∀x∈A, ∃r>0 : B(x,r)⊂A
Sea (X,d) un espació métrico y A un subconjunto de este
A es cerrado…
⇔A⊂cl(A)
⇔toda sucesión en A tiene límite en A
⇔ A’⊂A
Sea (X,d) un espació métrico y A un subconjunto de este, el diámetro de a es…
sup{d(x,y): x,y∈A}
Sea (X,d) un espació métrico y A un subconjunto de este, A está acotado…
⇔ ∃x∈X y ε>o : A⊂B(x,ε)
x0 es un punto de acumulación de A un subconjunto de un espacio métrico (X,d) si…
x∈A’ ⇔ ∀ε>o, (B(x,ε){x})∩A ≠ Ø
⇔ Existe una sucesión (xn) en A convergente a x tal que xn≠x ∀n∈ℕ
Si una sucesión (xn) de cauchy con una subsucesión convergente a x, se tiene que..
xn converge a x
Sea (X,d) un espació métrico y A un subconjunto de este, A es secuencialmente compacto si
⇒ toda sucesión en A tiene una subsucesión convergente a un punto en A.
⇔ A es compacto (por bolzano) ⇒ Todo recubrimiento abierto de A admite un subrecubrimiento finito.
