Espacial Flashcards
O que é um triedro?
Uma figura geométrica formada por três segmentos de reta com a mesma origem não coplanares
Quais são as principais propriedades dos triedros?
- | β − γ | < α < β + γ
- α + β + γ < 360°
Em que γ ,α ,β são as faces do triedro
O que é um Triedro trirretângulo?
É aquele que possui todos os ângulos das faces iguais a 90°
Fórmulas para o Triedro trirretângulo
- 1/h² = 1/a² + 1/b² + 1/c²
* [𝐴𝐵𝐶]² = [𝐴𝑉𝐵]² + [𝐴𝑉𝐶]² + [𝐵𝑉𝐶]²
O que caracteriza um prisma regular?
É reto (ângulo da base com a aresta lateral é de 90°) e sua base é um polígono regular
O que é um prisma oblíquo?
É um prisma que o ângulo entre a areata lateral e a base é diferente de 90°
Quantas faces e arestas tem um prisma?
- 𝑛 faces laterais;
- 𝑛 arestas laterais;
- 𝑛 + 2 faces (faces laterais + duas bases);
- 3𝑛 arestas.
O que é secção normal/reta?
É a figura formada quando cortamos o prisma com um plano perpendicular às arestas laterais
Área da superfície do prisma
At = A𝑙 + 2Ab
- A𝑙 = a ⋅ 2p
•a: aresta lateral do prisma
•2p: perímetro da secção normal
O que é um paralelepípedo?
É um prisma cuja base é um paralelogramo
Diagonal do paralelepípedo reto-retângulo
d = √(a² + b² + c²)
Área do paralelepípedo reto-retângulo
At = 2(ab + ac + bc)
Área total do cubo
At = 6a²
O que é o princípio de Cavalieri?
Dados dois sólidos cujas bases estão contidas num mesmo plano, se qualquer plano secante, paralelo ao plano da base, forma superfícies de áreas iguais nos sólidos, então os sólidos têm volumes iguais.
Qual o volume de um prisma?
V = a ⋅ An
O que caracteriza uma pirâmide regular?
A base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice é o centro da base
Volume da pirâmide
Vpirâmide = ⅓ Ab ⋅ h
Pirâmides semelhantes
S/S’ = k² e V/V’ = k³
Volume de tronco de pirâmide de bases paralelas
Vt = ⅓ ht ( S₁ + S₂ + √S₁S₂)
Volume de tronco de prisma triangular
Vt = ⅓ ( a + b + c ) ⋅ S
Relação de Euler
V - A + F = 2
- Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo!
Condições de um poliedro convexo
- Dois polígonos quaisquer não estão no mesmo plano;
- Qualquer aresta de um polígono é comum a apenas dois polígonos;
- O plano de qualquer polígono deixa os demais no mesmo semiespaço
Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo
𝑆 = (𝑉 − 2) ⋅ 360°
O que são poliedros de Platão?
- Todas as faces possuem o mesmo número de arestas;
- De cada vértice, parte um mesmo número de arestas;
- Admite a relação de Euler.
Exemplos: . Tetraedro; Hexaedro; Octaedro; Dodecaedro; Icosaedro
Poliedros regulares
- Todas as faces possuem o mesmo número de arestas;
- De cada vértice, parte um mesmo número de arestas;
- Todas as faces são polígonos regulares.
Exemplos: Tetraedro regular; Hexaedro regular (cubo); Octaedro regular; Dodecaedro regular; Icosaedro regular.
Área lateral do cilindro
AL = 2πRh
Área total do cilindro
At = 2𝜋R (h + R)
Volume do cilindro
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋R²h
Cilindro equilátero
g = 2R = h
*g: Secção meridiana
Volume de tronco de cilindro
Vt = ½𝜋R²(a + b)
Área lateral do tronco de cilindro
A𝑙 = 𝜋R (a + b)
Tronco de cilindro com uma base reta e a outra inclinada (formando uma elipse)
Aelipse = 𝜋R² / cos 𝜃
Ângulo formado pela elipse em um tronco de cilindro inclinado
tg 𝜃 = (b - a) / 2R
Cone reto
Também chamado de cone de revolução
• g² = h² + R²
Área lateral do cone
Al = 𝜋Rg
Área total do cone
AT = 𝜋R( g + R)
Volume do cone
Vcone = ⅓ 𝜋R²h
Volume do tronco de cone de bases paralelas
Vt = ⅓ 𝜋.ht (R² + r² + Rr)
Área lateral do tronco de cone
Alt = 𝜋gt(R + r)
O que é o círculo máximo da esfera?
É o plano secante que passa pelo centro da esfera
O que é clepsidra?
É uma figura formada pela união de dois cones com vértice comum
O que é uma anticlepsidra?
É a figura obtida quando, tomando um cilindro, é removida uma clepsidra dele.
Volume da esfera
Ve = ¾𝜋R³
Área da superfície esférica
As=4𝜋R²
O que é fuso esférico?
“Fatia da superfície esférica”
Resultado da rotação de 𝛼 graus de uma semicircunferência em torno do diâmetro de uma superfície esférica
Quanto é o fuso esférico?
Af = 2R²𝛼
O que é Cunha esférica?
“Fatia de uma esfera”
É a parte da esfera formada pela rotação de 𝛼 graus de um semicírculo em torno da superfície esférica.
Quanto vale a cunha esférica?
Acunha = ⅔R³𝛼
Qual o volume do segmento esférico?
V = ⅙𝜋h (3(r₁² + r₂²)+ h²)
Área da superfície do segmento esférico
A = 2𝜋Rh
Esfera inscrita em cubo
r = a/2
Esfera circunscrita ao cubo
R = a√3/ 2
Esfera tangente às arestas do cubo
r’ = a√2/2
Esfera inscrita em um octaedro regular
r = a√6/6
Esfera circunscrita em um octaedro regular
R = a√2/2
Esfera tangente às arestas do octaedro regular
r’ = a/2
Cilindro circunscrito a uma esfera
h = 2R
Cilindro inscrito em uma esfera
(2R)² = (2r)² + h²
R: Raio da esfera
r: Raio da base do cilindro
h: altura do cilindro
Esfera inscrita em um cone
(h-R)² = (g-r)² + R²
𝜃 = 2arctg(R/r)
Esfera circunscrita ao cone
R = (h² + r²) / 2h
Esfera inscrita em um tetraedro regular
r = a√6/12
Esfera circunscrita ao tetraedro regular
R = a√6/4
Esfera tangente às arestas do tetraedro regular
r’ = √Rr
Esfera inscrita em um tronco de cone reto de bases paralelas
r = √R₁R₂
Volume de sólidos de revolução
_
V = 2𝜋xA
Área de sólidos de revolução
_
V = 2𝜋xL
