Aula 01: Equivalências lógicas Flashcards
O que é uma equivalência lógica?
Duas proposições A e B são equivalentes (A ⇔ B
A ≡ B) quando todos os valores lógicos assumidos por elas são iguais para todas as combinações de valores lógicos atribuídos às proposições simples que as compõem (apresentam a mesma tabela-verdade).
Quais são as três equivalências fundamentais
- Equivalência contrapositiva da condicional;
- Transformação da condicional (se…então) em disjunção inclusiva (ou); e
- Transformação da disjunção inclusiva (ou) em condicional (se…então).
Equivalência contrapositiva
p→q ≡ ~q→~p
1. Invertem-se as posições do antecedente e do consequente; 2. Negam-se ambos os termos da condicional.
Ex.:
p: “Hoje choveu.”
q: “João fez a barba.”
Considere a seguinte condicional p→q:
p→q: “Se [hoje choveu], então [João fez a barba].”
A condicional a seguir é equivalente à condicional original:
~q→~p: “Se [João não fez a barba], então [hoje não choveu].”
Transformação da condicional (se…então) em disjunção inclusiva (ou)
p→q ≡ ~p∨q
1. Nega-se o primeiro termo;
2. Troca-se a condicional (se…então; →) pela disjunção inclusiva (ou; ∨); e
3. Mantém-se o segundo termo.
Ex.: p→q: “Se [hoje choveu], então [João fez a barba].”
~p∨q: “[Hoje não choveu] ou [João fez a barba].”
Transformação disjunção inclusiva (ou) em condicional (se…então)
p∨q ≡ ~p→q
1. Nega-se o primeiro termo;
2. Troca-se a disjunção inclusiva (ou; ∨) pela condicional (se…então; →); e
3. Mantém-se o segundo termo.
Ex.: p∨q: “[Pedro estuda] ou [Maria trabalha].”
~p→q: “Se [Pedro não estuda], então [Maria trabalha].”
O que são negações lógicas?
Uma negação lógica acaba sendo uma equivalência proveniente da negação de uma proposição. Por exemplo, a negação de p∧q, que pode ser representada por ~(p∧q), corresponde a ~p∨~q. ~p∨~q terá o valor lógico da negação de p∧q, dada por ~(p∧q), para todas as linhas da tabela-verdade:
Negação da conjunção (e; ∧) (Lei de Morgan)
~(p∧q) ≡ ~p∨~q
1. Negam-se ambas as parcelas da conjunção (e; ∧); e
2. Troca-se a conjunção (e; ∧) pela disjunção inclusiva (ou; ∨).
Ex.: p∧q: “[Comi lasanha] e [bebi refrigerante].”
~(p∧q) ≡ ~p∨~q: “[Não comi lasanha] ou [não bebi refrigerante].”
Negação da disjunção inclusiva (ou; ∨) (Lei de Morgan)
~ (p∨q) ≡ ~p∧~q
1. Negam-se ambas as parcelas da disjunção inclusiva (ou; ∨); e
2. Troca-se a disjunção inclusiva (ou; ∨) pela conjunção (e; ∧).
Ex.: p∨q: “[Comi lasanha] ou [bebi refrigerante].”
~(p∨q) ≡ ~p∧~q: “[Não comi lasanha] e [não bebi refrigerante].”
Negação da condicional (se… então)
~(p→q) ≡ p∧~q
1. Mantém-se o primeiro termo;
2. Troca-se a condicional (se… então; →) pela conjunção (e; ∧);
3. Nega-se o segundo termo.
Ex.: p→q: “Se [eu comi lasanha], então [eu bebi refrigerante].”
~ (p→q) ≡ p∧~q: “[Eu comi lasanha] e [eu não bebi refrigerante].”
Negações da conjunção (e) para a forma condicional (se…então)
1) ~(p∧q) ≡ p→~q
2) ~(p∧q) ≡ q→~p
Ex.: p∧q: “[Comi lasanha] e [bebi refrigerante].”
Além de negar por De Morgan, também é possível:
~(p∧q) ≡ p→~q: “Se [comi lasanha], então [não bebi refrigerante].”
~(p∧q) ≡ q→~p: “Se [bebi refrigerante], então [não comi lasanha].
Prove que ~(p∧q) e p→~q são equivalentes.
1- Negação por De Morgan:
~(p∧q) ≡ ~p∨~q
2- Equivalência fundamental que correlaciona a disjunção inclusiva com a condicional:
p∨q ≡ ~p→q.
3- Aplicando esse procedimento para ~p∨~q, temos:
~(p∧q) ≡ ~(~p)→~q
4- Resultado:
~(p∧q) ≡ p→~q
Prove que ~(p∧q) e q→~p são equivalentes.
1- Temos a seguinte equivalência:
~(p∧q) ≡ p→~q
2- Aplicando a equivalência contrapositiva em p→~q, ficamos com:
~(p∧q) ≡ ~(~q)→~p
3- Resultado:
~(p∧q) ≡ q→~p
Equivalências envolvendo conjunção de condicionais e um termo em comum
- Quando o termo comum é o consequente, a equivalência apresenta uma disjunção inclusiva no antecedente.
(p→r)∧(q→r) ≡ (p∨q)→r - Quanto o termo comum é o antecedente, a equivalência apresenta uma conjunção no consequente.
(p→q)∧(p→r) ≡ p→(q∧r)
Equivalências da disjunção exclusiva (ou…ou)
1 - p⊻q ≡ (~p)⊻(~q)
2- p⊻q ≡ (~p)↔q
3- p⊻q ≡ p↔(~q)
Ex.: p⊻q: “Ou [jogo bola], ou [jogo sinuca].”
1- (~p)⊻(~q): “Ou [não jogo bola], ou [não jogo sinuca].”
2- (~p)↔q: “[Não jogo bola] se e somente se [jogo sinuca].”
p↔(~q): “[Jogo bola] se e somente se [não jogo sinuca].”
Negação da disjunção exclusiva (ou…ou)
1- ~(p⊻q) ≡ p↔q
2- ~(p⊻q) ≡ (~p)⊻q
3- ~(p⊻q) ≡ p⊻(~q)
Ex.: p⊻q: “Ou [jogo bola], ou [jogo sinuca].”
1- ~(p⊻q) ≡ p↔q: “[Jogo bola] se e somente se [jogo sinuca].”
2- ~(p⊻q) ≡ (~p)⊻q: “Ou [não jogo bola], ou [jogo sinuca].”
3- ~(p⊻q) ≡ p⊻(~q): “Ou [jogo bola], ou [não jogo sinuca].”
Equivalências da bicondicional (se e somente se)
- p↔q ≡ (p→q)∧(q→p)
- p↔q ≡ (~p)↔(~q)
- p↔q ≡ (~p)⊻q
- p↔q ≡ p⊻(~q)
p↔q: “[Durmo] se e somente se [estou cansado]”
(p→q)∧(q→p): “[Se (estou cansado), então (durmo)] e [se (durmo), então (estou cansado)]”.
(~p)↔(~q): “[Não durmo] se e somente se [não estou cansado].”
(~p)⊻q: “Ou [não durmo], ou [estou cansado].”
p⊻(~q): “ Ou [durmo], ou [não estou cansado].”
Negações da bicondicional (se e somente se)
~ (p↔q) ≡ p⊻q
~ (p↔q) ≡ (~p)↔q
~ (p↔q) ≡ p↔(~q)
~ (p↔q) ≡ (p∧~q)∨(q∧~p)
p↔q: “[Durmo] se e somente se [estou cansado]”
~(p↔q) ≡ p⊻q: “Ou [Durmo], ou [estou cansado]”
~(p↔q) ≡ (~p)↔q: “[Não durmo] se e somente se [estou cansado]”
~(p↔q) ≡ p↔(~q): “[Durmo] se e somente se [não estou cansado]”
~ (p↔q) ≡ (p∧~q)∨(q∧~p):
Mostre que ~ (p↔q) e p⊻q são equivalentes.
Podemos demonstrar essa equivalência utilizando outra equivalência da negação da disjunção exclusiva:
~(p⊻q) ≡ p↔q
Podemos negar os dois lados desse resultado da seguinte forma:
~(~(p⊻q)) ≡ ~(p↔q)
Negando duas vezes uma proposição, ela retorna à proposição original. Logo:
p⊻q ≡ ~(p↔q) ou
~(p↔q) ≡ (p⊻q)
Mostre que ~ (p↔q) e (p∧~q)∨(q∧~p) são equivalentes.
Vamos utilizar a seguinte equivalência para a bicondicional já conhecida:
p↔q ≡ (p→q)∧(q→p)
Se negarmos ambos os lados da equivalência teremos o seguinte:
~(p↔q) ≡ ~((p→q)∧(q→p))
Veja-se que o lado direito da equivalência é a negação de uma conjunção, que pode ser reescrita utilizando De Morgan:
~ (p↔q) ≡ ~(p→q)∨~(q→p)
Agora devemos negar os dois condicionais, (p→q) e (q→p).
~ (p↔q) ≡ (p∧~q)∨(q∧~p)
Propriedade comutativa dos conectivos
Todos os conectivos, exceto o condicional (se…então; →), gozam da propriedade comutativa. É possível trocar a ordem dos componentes em uma proposição composta sem afetar o resultado da tabela-verdade:
p∧q ≡ q∧p
p∨q ≡ q∨p
p⊻q ≡ q⊻p
p↔q ≡ q↔p
Ex.: A negação de p→q: “Se [eu correr], então [chego a tempo].” é ~ (p→q) ≡ p∧~q: “Corro e não chego a tempo.”, mas também pode ser a alternativa ~ (p→q) ≡ p∧~q ≡ ~q∧p: “Não chego a tempo e corro.”
Propriedade associativa dos conectivos
- A propriedade associativa nos diz que em uma multiplicação de diversos termos, podemos realizar as operações de multiplicação na ordem que bem entendermos que o resultado será o mesmo:
(𝟑 × 𝟓) × 𝟕 = 𝟑 × (𝟓 × 𝟕) - O mesmo vale para a adição de termos:
(𝟑 + 𝟓) + 𝟕 = 𝟑 + (𝟓 + 𝟕)
Na álgebra de proposições temos algo muito semelhante. Dizemos que a conjunção (e; ∧) e a disjunção inclusiva (ou; ∨) gozam da propriedade associativa, sendo válidas as equivalências:
(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)
(p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)
Obs.: Não mistura em uma mesma expressão os conectivos e e ou.
Propriedade distributiva dos conectivos
Na álgebra elementar, a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição consiste em realizar
a seguinte operação:
3 × (5 + 7) = 3 × 5 + 3 × 7
Ou
3 × 5 + 3 × 7 = 3 × (5 + 7)
Na álgebra de proposições temos as seguintes propriedades distributivas:
* Da conjunção (e; ∧) com relação à disjunção inclusiva (ou; ∨); e
* Da disjunção inclusiva (ou; ∨) com relação à conjunção (e; ∧);
Propriedade distributiva da conjunção com relação à disjunção inclusiva
p∧(q∨r) ≡ (p∧q) ∨ (p∧r)
ou
(p∧q)∨(p∧r) ≡ p∧(q∨r)
Propriedade distributiva da disjunção inclusiva com relação à conjunção
p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)
ou
(p∨q)∧(p∨r) ≡ p∨(q∧r)
Tem como utilizar a propriedade distributiva com uma condicional?
No geral, quando temos um condicional e queremos utilizar a álgebra de proposições, é necessário transformar a condicional em disjunção inclusiva:
p→q ≡ ~p∨q; ou
Transformar a negação da condicional em uma conjunção:
~(p→q) ≡ p∧~q
Propriedade da identidade
Sendo t uma tautologia e c uma contradição:
- Propriedade da identidade para a conjunção:
p∧t ≡ p
p∧c ≡ c
- Propriedade da identidade para a disjunção inclusiva:
p∨t ≡ t
p∨c ≡ p
Propriedade da absorção
p∨(p∧q) ≡ p
p∧(p∨q) ≡ p
Como descobrir se uma proposição composta é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência utilizando equivalências lógicas ou álgebra de proposições?
A ideia consiste basicamente em desenvolver a proposição composta original
Bicondicional em problemas de tautologia, contradição e contingência
Em uma bicondicional cujas parcelas são duas proposições compostas X e Y:
X↔Y
* Se X e Y forem proposições equivalentes, ambas as parcelas terão sempre o mesmo valor lógico. Nesse caso, a bicondicional será sempre verdadeira, ou seja, a bicondicional será uma tautologia.
* Se X e Y forem proposições em que uma é a negação da outra, ambas as parcelas terão sempre valores lógicos contrários. Nesse caso, a bicondicional será sempre falsa, ou seja, a bicondicional será uma contradição.
