Endomorphismes et matrices symétriques

Question 1

L’ensemble des endomorphismes symétriques de E est un sous espace vectoriel de :

Answer 1

L(E)

Endomorphisme de E

Question 2

Une matrice symétrique réelle est :

Answer 2

Une matrice A=(a (i,j)) appartenant à Mn(R) telle que, pour tout (i,j) appartenant à {1,…,n}^2, on a
(a(i,j))=(a(j,i))
AUSSI
^t(A)=A

Question 3

Def matrice anti symétrique

Answer 3

-A = ^t(A)

Question 4

L’endomorphisme f de E est symétrique si et seulement si :

Answer 4

1. Il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de f est symétrique.
2. Pour toute base orthonormée de E, la matrice de f dans cette base est symétrique

Question 5

Si f est un endomorphisme symétrique de E et

Si F est un sev de E stable par f :

Answer 5

Alors F orthogonal est aussi stable par f

Question 6

Si u(1), …, u(p) sont p vecteurs propres d’un endomorphisme symétrique f associés à p valeurs propres distinctes, :

Answer 6

Alors la famille ( u(1),…,u(p)) est orthogonale.

Question 7

Les sous espaces propres d’un endomorphisme ( matrice) symétrique de E ( Mn(R)) sont :

Answer 7

Deux à deux orthogonaux

Question 8

Def du projecteur orthogonal

Answer 8

Soit F un sev de E. On appelle projecteur orthogonal de F, noté pF, le projecteur sur F parallèlement à F( orthogonal)

Question 9

Soit F un sev de E, soient x, y appartenant à E.

y=pF(x) si et seulement si :

Answer 9

y appartient à F et x-y appartient à F ( orthogonal)

Question 10

Soient F un sev de E et ( u(1), …, u(k)) une base orthonormée de F.

Answer 10

Pour tout x appartenant à E, pF(x)= sum(u(i))

pour i allant de 1 à k.

Question 11

Soit F un sev de E, soit B une base orthonormée de E et soit (u(1),…,u(k)) une base orthonormée de F. Si U(1),….,U(k) sont les vecteurs colonnes des coordonnées des vecteurs u(1),…,u(k) dans la base B, alors :

Answer 11

La matrice du projecteur orthogonal pF sur F est :
matB(pF)=sum(U(i)*(t^ U(i)))
Pour i allant de 1 à k

Question 12

Soit p un projecteur de E. Alors p est un projecteur orthogonal Si et seulement si :

Answer 12

p est un endomorphisme symétrique

Question 13

Soit F un sev de E. Soit x appartenant à E, y=pF(x) si et seulement si :

Answer 13

||x-y||=min {||x-z||, z appartenant à F}

Propriété de minimisation des distances

Question 14

Soit A appartenant à Mn,p(R) une matrice de rang p, et soit B appartenant à Mn,1(R). Alors il existe un unique vecteur colonne X0 appartenant à Mp,1(R) tel que :

Answer 14

||AX0-B||=min{||AX-B||, X appartenant à Mp,1(R)}
De plus le vecteur colonne X0 est l’unique solution de l’équation
t^AAX=t^AB
Problèmes des moindres carrés

Question 15

Tout endomorphisme symétrique de E admet

Answer 15

Au moins une valeur propre réelle

Question 16

Soit f un endomorphisme symétrique de E.

Answer 16

Alors f est diagonalisable et il existe une base orthonormée de E formée de vecteurs propres de f.
The spectral

Question 17

Tout matrice symétrique de Mn(R) admet

Answer 17

Au moins une valeur propre réelle.

Question 18

Soit A une matrice symétrique de Mn (R)

Answer 18

Alors A est diagonalisable Et il existe une base orthonormée de Mn,1(R) formée de vecteurs propres de A

Question 19

Soit A une matrice symétrique de Mn(R) . Alors il existe :

Answer 19

Une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que D=P^(-1)AP=t^PAP

Question 20

Un endomorphisme f de E est symétrique si:

Answer 20

Pour tous (x,y) appartenant à E^2, =