Domande di teoria Flashcards
Cosa è un segmento orientato?
Un segmento orientato è un segmento di retta con una direzione e un verso. Se ha estremi coincidenti si dice banale ed è un punto.
Si dicono orientati se possono essere confrontati.
Cosa sono una relazione di equipollenza, una classe di equipollenza e un vettore geometrico?
Una relazione di equipollenza è una relazione che mette a confronto due segmenti orientati.
Questi si dicono equipollenti se sono PARALLELI, hanno STESSA LUNGHEZZA e STESSO ORIENTAMENTO.
La classe di equipollenza è l’insieme dei segmenti equipollenti tra loro.
Un vettore geometrico è una classe di Equipollenza.
Cosa è il prodotto scalare e quali sono le sue proprietà?
Sia V uno spazio vettoriale, un prodotto scalare è un’ applicazione che associa ad ogni coppia di vettori V un numero reale.
v ・ w = x1y1 + x2y2 + x3y3
v ・ w = ||v||・||w|| cos ⍬
PROPRIETÀ:
-Commutatività
-linearità
-positività
il prodotto vettoriale è una forma biliniare simmetrica definita positiva.
Cosa è la norma di un vettore e quali sono le sue proprietà?
é la lnghezza (o modulo) di un vettore
dato v=(x1, x2, x3)
||v||=sqrt( v ・ v )
||v||=sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
PROPRIETÀ:
||v||>=0
|| ⍺ v||= || ⍺||・ || v||
||u+v||<= ||u||+||v||
||u・v||<= ||u||・||v||
Cosa è il prodotto vettoriale e quali sono le sue proprietà?
un prodotto vettoriale è un’ applicazione che associa ad ogni coppia di vettori di uno spazio vettoriale un vettore.
v x w = ( x2y3-x3y2, x3y1-x1y3, x1y2-x2y3 )
v ・ w = ||v||・||w|| sin ⍬
PROPRIETÀ:
-antisimmetria
w x v = -(v x v)
-linearità
-v x (w + u) = (v x w)+(v x u)
-v x (⍺ w)= ⍺( v x w) = (⍺ v) x w
- w x v = 0 <=> v e w sono PROPORZIONALI ( =>PARALLELI)
Cosa è e come si svolge il prodotto misto?
Cosa è uno spazio vettoriale?
Uno spazio vettoriale su un campo C è un insieme di vettori non vuoto doatto di due operazioni( addizione tra vettori e moltiplicazione di un vettore per uno scalare) che soddisfano le seguenti 8 proprietà:
- Commutativa della somma
v + w = w + v
-associativa della somma
(v+w)+z=v+(w+z)
-esistemza elemento neutro della somma
v + 0= v
-esistenza opposto della somma
v + (-v) = 0
-distributiva del prodotto rispetto alla somma tra scalari
v・(a + b) = av + bv
-distributiva del prodotto rispetto alla somma tra vettori
v・(w + z) = vw + vz
-associatva del prodotto per uno scalare
a・(bv) = (ab)・v
-elemento neutro del prodotto
1・v = v
Cosa è un sottospazio vettoriale?
sia V uno spazio vettoriale, un sottoinsieme vettoriale W di V si definisce SOTTOSPAZIO VETTORIALE di V se W è a sua volta uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per uno scalare di V.
ovvero se rispetta:
-per ogni w1 e w2 di W => w1 + w2 appartiene a W
-per ogni w1 e w2 di W => ⍺1w1 + ⍺2w2 appartiene a W
-per ogni w di W => ⍺w appartiene a W
Cosa è un sottospazio generato dai vettori?
Dato un insieme di vettori S si definisce SOTTOSPAZIO GENERATO DAI VETTORI l’insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori di S.
<v1, v2, v3,…,vn> é { ⍺1v1 + ⍺2v2 + ⍺3v3 +…+ ⍺nvn}
qualsiasi vettore appartenente al sottospazio vettoriale può essere scritto come combinazione lineare dei vettori generatori.
Cosa è una combinazione lineare?
Si dice che un vettore v di V è combinazione lineare dei k vettori v1, … , vk di V se esistono k scalari ⍺1, … , ⍺k t.c. :
v = ⍺1v1 + ⍺2v2+ … + ⍺kvk
gli scalari ⍺1, … ,⍺k si dicono coefficenti della combinazione lineare
Cosa è la dipendenza lineare tra vettori?
n vettori si dicono LINEARMENTE DIPENDENTI se uno di essi si può scrivere come combinazione lineare degli altri.
v1 = ⍺2v2+ … + ⍺nvn
n vettori si dicono LINEARMENTE INDIPENDENTI se la loro combinazione lineare è uguale a zero se e solo se tutti i coefficienti della combinazione lineare sono uguali a zero
Cosa è una base di un sottospazio vettoriale?
La base di un sottospazio vettoriale è un insieme di vettori generatori linearmente indipendenti tra loro.
Il numero di vettori che costituiscono una qualsiasi base del sottospazio è detto dimensione del sottospazio.
Cosa è un monoide?
Un Monoide è un insieme nel quale viene definita una legge di composizione interna ed esiste l’elemento neutro
Cosa è un Gruppo?
Un Gruppo è un Monoide in cui per ogni elemento del l’insieme esiste un inverso
soddisfa le seguenti proprietà:
-associativa
-esistenza di un elemento neutro
-esistenza di un inverso per ogni elemento
Cosa è un Gruppo Abeliano?
sia (G,µ) gruppo, se µ è commutativa, si dice che (G,µ) è un GRUPPO ABELIANO.
Z,Q,R,C sono GRUPPI ABELIANI rispetto all’addizione
Q,R,C* sono GRUPPI ABELIANI rispetto alla moltiplicazione
