Differentialregning

Question 1

Hvad er differentialregning?

Answer 1

-analytisk matematik.
-hvor hurtigt funktioner vokser/aftager i et bestemt punkt.
-hældningen af tangenten

Differentialregning er en vigtig disciplin indenfor
+analytisk matematik. Det går kort og godt ud på at bestemm+ hvor hurtigt funktioner vokser/aftager i et bestemt punkt. Med andre ord ønsker man at bestemme hældningen af tangenten i det enkelte punkt.

Question 2

Hvad kan man brug differentialregning til?

Answer 2

Man kan således bruge det til at bestemme funktioners maksimums- og minimumspunkter, funktioners monotoniforhold, optimering af funktioner og meget andet.

Question 3

hvad er en sekant?

Answer 3

En sekant er en ret linje, der skærer grafen for en funktion i to punkter. Man kan tegne sekanten ved at tegne de to punkter på grafen og (vha. en lineal) tegne linjen gennem dem.

Question 4

hvad er en tangent?

Answer 4

modsætning til en sekant, så rører en tangent kun funktionsgrafen i ét punkt.

Question 5

Hvad er forskel mellem kontinuert funktion og differentiable funktion?

Answer 5

kontinuerte funktioner (de sammenhængend og knæk

differentiable funktioner (sammenhængende og glatte+smooth)

Question 6

Hvilken funktion kan man differentiere?

Answer 6

Det er kun de differentiable funktioner, man kan differentiere.

Alle de differentiable funktioner er også kontinuerte (fordi de er sammenhængende). Derved kan man sige, at differentiabilitet er en “finere” egenskab end kontinuitet.

Question 7

hvad betyder at differentiere?

Answer 7

Når man differentierer en funktion, finder man tangenthældningen i et bestemt punkt. Den hældning, man finder, kaldes differentialkvotienten i punktet.

Question 8

Hvad er funtionstilvækst?

Answer 8

Man bruger indenfor matematikken tit det græske bogstav Δ (delta) til at beskrive en tilvækst. Hvis man har et fast punkt x0 og man ønsker at se, hvor meget funktionen ændres (vokser/aftager), hvis man går et lille stykke, h, hen på x-aksen, så kan man beregne funktionstilvæksten, Δy.

Question 9

Hvad er funktionstilvækst?

Answer 9

hvor meget funktionen vokser. Man bruger indenfor matematikken tit det græske bogstav Δ (delta) til at beskrive en tilvækst.

Question 10

hvad er formelen for at beregn funktionstilvækst?

Answer 10

Δy=y2−y1=f(x0+h)−f(x0)
Hvis man har et fast punkt x0 og man ønsker at se, hvor meget funktionen ændres (vokser/aftager), hvis man går et lille stykke, h, hen på x-aksen, så kan man beregne funktionstilvæksten, Δy.

Question 11

Forklar den graf for funktionstilvækst

Answer 11

Hvis man har et fast punkt x0 og man ønsker at se, hvor meget funktionen ændres (vokser/aftager), hvis man går et lille stykke, h, hen på x-aksen, så kan man beregne funktionstilvæksten, Δy.

y_2=(x0+h)
y_1=(x0)

https://youtu.be/21LunqQVRi4

Question 12

hvad sker når man differentierer en funktion?

Answer 12

Når man differentierer en funktion, finder man tangenthældningen i et bestemt punkt. Den hældning(pendiente), man finder, kaldes differentialkvotienten i punktet.

Question 13

Hvad et det skridt til for at find ud funktionstilvækst?

Answer 13

Overarching formula Δy=y2−y1=f(x0+h)−f(x0)
fx
funktion f(x) = x^2 - 2x
Punkt x0=3

Skridt 1
y2=(x0+h)
Sæt (x0+h) ind i funktion
Δy=f(3+h)−f(3)=h^2+4h+3

Skridt 2
y1=(x0)
Sæt (x0) ind i funktion
(3)=3^2−2⋅3=9−6=3

Skridt 3
Sæt y2−y1 værdi sammen
Δy=f(3+h)−f(3)=(h^2+4h+3)−(3)=h^2+4h

Afhængig af, hvor stor h er (hvor stort et skridt vi tager på x-aksen), kan vi altså bestemme, hvor stor funktionstilvæksten vil blive ved at sætte denne h-værdi ind.
fx
h= 1 så Δy=5

Question 14

hvad er differenskvotienten/(sekanthældningen)?

Answer 14

Man kalder sekanthældningen for differenskvotienten. Differenskvotienten er altså funktionstilvæksten divideret med h.

f(x0+h)−f(x0)/ h

Navnet kommer af, at der er tale om en kvotient (en brøk) hvor tælleren(numerador) er differensen mellem funktionsværdierne (f(x0+h)−f(x0)).

Question 15

hvad er differentialkvotienten/tangenthældning?

Answer 15

Når man differentierer en funktion, finder man tangenthældningen i et bestemt punkt. Den hældning, man finder, kaldes differentialkvotienten i punktet.

Man siger, at differentialkvotienten er grænseværdien af differenskvotienten for h gående mod 0.

Question 16

hvordan finder man differentialkvotienten/tangenthældning?

Answer 16

Question 17

Hvordan siger graffen ud?
Hvad fortælle om udviklingen af væskens temperature?

Answer 17

https://www.youtube.com/watch?v=i8DyLrTMwDg

Question 18

Hvordan finder man differenskvotienten/(sekanthældningen)?

Answer 18

Question 19

Øvelse
Vores funktion er f(x)=x^2+3. Vi ønsker at finde differentialkvotienten når x0=4

Answer 19

Det vil sige, at tangenten til f i punktet (4, f(4)) har en hældning på 8.

Question 20

Hvad er grænse værdi?

Answer 20

En grænseværdi for en funktion f er den “grænse”, som en funktionsværdi nærmer sig, når den uafhængige variabel (x) nærmer sig en given værdi.

Vi benytter følgende vigtige måde at skrive grænseværdier på:

Question 21

hvad er Tretrinsreglen?

Answer 21

Tretrinsreglen er en metode til, hvordan man differentierer funktioner. Den er en kombination af afsnittene funktionstilvækst og differenskvotient og differentialkvotient herover, så det anbefales at du læser dem først.

Question 22

hvad er de skridt i tre trin regler?

Answer 22

Question 23

Hvad betyder at vinde en funktion?

Answer 23

redskab, der beskriver sammenhængen mellem en såkaldt uafhængig variabel og en anden, såkaldt afhængig variabe.

Question 24

hvad er grænser værdi for differenskvotienten?

Answer 24

differentialkvotienten f’(x_0)
https://youtu.be/WWf0p__XhMU

Question 25

Hvad er differentialkvotient for 11 meste kendte funktioner?

Answer 25

Question 26

hvad siger regneregler for differentiation #1 Summreglen?

Differentiere:h(x)=2x+x3

Answer 26

h(x)=f(x)±g(x)⇒
h′(x)=f′(x)±g′(x)

h′(x)=2+3x2

Question 27

hvad siger regneregler for differentiation #2 konstantreglen ?
Differentiere:
f(x)=5x^3

Answer 27

g(x)=k⋅f(x)⇒

g′(x)=k⋅f′(x)

f’(x)=15^2

Question 28

hvad siger regneregler for differentiation #3 product reglen?
Differentiere: f(x)=x.e^x

Answer 28

(x)=f(x)⋅g(x)⇒

h′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)

f(x)=ex(1+x)

Question 29

hvad siger regneregler for differentiation #4 brok / kvotientreglen?
Differentiere:

Answer 29

h(x)=f(x)g(x)⇒

h′(x)=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)(g(x))2

Question 30

hvad er ligningen for tangenten i det punkt (x0, f(x0))?

Answer 30

y=f(x0)+f′(x0)⋅(x−x0)

Når vi bruger denne formel, skal vi sætte noget ind, der hvor der står x0, f(x0) og f ‘(x0). Men x og y skal vi lade være variable.

eller y=ax+b

Question 31

hvad er forskrift for en tangent?

Answer 31

y=ax+b