Deuxième moitié de la session Flashcards
Avantages/désavantages des jetons, grille de nombres et droite numérique
Jetons
Matérialise réellement la situation (plus visuel)
Bien si l’objectif est le dénombrement
Pas approprié pour les plus grandes quantités (si on travaille la numération positionnelle, dépend de l’intention didactique)
Nécessite un dénombrement (limite) (30-5, on doit compter c’est quoi la différence)
Grille de nombres
Encercler le nombre de départ (la qté de départ) lui permet de faire une certaine abstraction (pas le niveau), de se dégager (détacher) du contexte (important à développer pour se détacher du matériel)
L’élève doit savoir s’arrêter à la bonne place (avec les bonds)
Le changement de ligne (de dizaine) peut être problématique pour un élève
Plus abstrait de comprendre que les bonds à reculons sont de la soustraction (pareil pour l’addition) qu’avec du matériel qui permet de matérialiser la situation
Droite numérique
(pas 1er cycle)
Absolument indiqué le 0 et la flèche Encercler le nombre de départ (la qté de départ) lui permet de faire une certaine abstraction (pas le niveau), de se dégager (détacher) du contexte (important à développer pour se détacher du matériel)
L’élève doit savoir s’arrêter à la bonne place (avec les bonds)
N’indique pas tjr tous les nombres (dépend de ce que tu veux travailler)
Plus abstrait de comprendre que les bonds à reculons sont de la soustraction (pareil pour l’addition) qu’avec du matériel qui permet de matérialise la situation
J’identifie les différentes propriétés de l’addition et de la soustraction.
Addition
- Commutativité
- Associativité
- Élément neutre (0)
Soustraction
- Rien
Je reconnais et distingue différentes classes de problèmes de structure additive.
Sens réunion
On peut rechercher : le total des deux états (ou plus) ou bien un des deux états.
On réunie les 2 quantités
L’équation mathématique est :
* A + B = ?
* A + ? = C
* ? + B = C
Exemples :
1. Jean a 7 voitures, Victor en a 8. Combien de voitures ont-ils ensemble ?
Sens transformation
On peut rechercher :
* L’état final lorsqu’on a l’état initial et la transformation
* L’état initial lorsqu’on a l’ état final et la transformation
* La transformation lorsqu’on a l’état initial et l’état final
Transformation de type ajout
L’équation mathématique est :
Exemple :
1. Maxime veut acheter d’autres muffins. Il a 4 $. Les muffins coûtent 9 $. Combien d’argent doit-il sortir de sa banque ?
Transformation de type retrait
Exemples :
1. Marc-André a 43 autocollants. Après en avoir donné 27 à Rosa, combien lui en reste-t-il ?
Sens comparaison
On cherche soit la relation, soit un des deux états.
L’expression de plus (ou de moins) représente une relation de comparaison, permet de comparer les deux quantités
Exemples :
1. Jean a 3 autos. Jeanne a 2 autos de plus que Jean. Combien d’autos Jeanne a-t-elle ?
Sens composition de transformations
Dans ce type de problèmes, on cherche soit une des transformations (T1 ou T2), soit la transformation résultante (TR).
Cette représentation est un cas général. Pour le primaire, il serait bien de commencer par deux transformations.
Ex : Alain joue aux billes. À la première partie, il gagne 14 billes. Il joue encore une fois, on ne te dit pas ce qui s’est passé. Si on sait qu’après ces deux parties, il a perdu 29 billes depuis le début, a-t-il gagné ou perdu à la deuxième partie, et combien ?
Il a gagné : transformation de type ajout (il a perdu : transformation de type retrait)
On ne connait pas la 2e transformation, mais on sait que la transformation finale peut remplacer les 2 premières
On n’a pas les qtés de billes gagnés/perdus, on a les transformations
3e cycle du primaire seulement
Je peux associer des tâches ou inventer des tâches relatives aux différents niveaux de compréhension de l’addition.
Intuition : Elle se base sur la perception visuelle. Pour évaluer la compréhension intuitive, il vaudrait mieux élaborer des tâches se situant au niveau de l’action physique.
Compréhension procédurale : L’enfant peut égaliser des quantités données en ajoutant ou en réunissant la quantité exacte d’objets, et ceci en se basant sur la correspondance biunivoque (correspondance terme à terme, mais avec des ensembles). Demander combien en as-tu en tout?
Abstraction : invariance du tout
Formalisation : Remarquer que dans les exemples précédents on n’a fait aucune référence à la symbolisation mathématique. Celle-ci pose des problèmes particuliers.
Compréhension intuitive
(1.1) S’appuyer sur une perception globale pour former un tout par ajout d’éléments à un ensemble donné.
(1.2) S’appuyer sur une perception globale pour former un tout par réunion de deux ensembles.
Compréhension procédurale
(2.1) S’appuyer sur la correspondance biunivoque pour former un tout par ajout d’éléments à un ensemble donné.
(2.2) S’appuyer sur la correspondance biunivoque pour former un tout par réunion de deux ensembles.
(2.3) Ajout à un ensemble initial ou réunion de deux ensembles suivi du dénombrement du tout.
(2.4) Ajout à un ensemble initial ou réunion de deux ensembles suivi du dénombrement à partir de la première partie.
(2.5) Ajout à un ensemble initial ou réunion de deux ensembles suivi du dénombrement à partir de la plus grande partie.
Abstraction
(3.1) Perception de l’invariance du tout par rapport à la réunion physique de sous-ensembles.
(3.2) Perception de l’invariance de la différence entre deux touts et de la différence entre les sous-ensembles formant ces touts.
(3.3) Perception de l’invariance du tout par rapport à l’étirement d’un ou des deux sous-ensembles (test piagétien).
(3.4) Perception de l’invariance du tout par rapport à un changement de configuration d’un des sous-ensembles ou des deux sous-ensembles.
(3.5) Commutativité de la réunion.
(3.6) Réversibilité :
enlever (par rapport à ajouter)
décomposer (par rapport à réunir).
Formalisation
Présentation lors de l’exposé:
(4.1) notes sur la signification attribuée à + et à = ;
(4.2) « sens » de la lecture des expressions ;
(4.3) façons de juger de la compréhension formelle.
Je peux reconnaître différents procédés d’addition et de soustraction appliqués par des élèves.
Les procédés d’addition:
o Rappel direct:
* Rappeler la somme directement
* C’est un fait connu et enregistré en mémoire
* La somme est connue de l’élève
* Ex: 5+1=6, l’élève le sait directement la réponse
o Comptage:
* Compter à partir du cardinal du premier terme ou par le cardinal du plus grand terme
* Ex: 2+3, l’élève peut compter à partir de 2 ou de 3, la réponse n’est pas direct, pas besoin des doigts ou du matériel
o Dénombrement:
* Illustrer par dessin, objets ou doigts chacun des termes de l’addition
* La somme peut être trouvée par dénombrement des collection réunis
* La somme peut être trouvé par la reconnaissance perceptive
* Si c’est un petit nombre, dans ce cas il a pas besoin de dénombrer
o Transformation:
* Transformer au besoin le second nombre comme une somme de deux ou plusieurs nombres
* Ex: 13+18, l’élève décompose le 18 pour aller chercher un nombre repaire à 13 (ex:20) l’élève sait qu’il a besoin de 7 à 13 pour arriver à 20 et il laisse le reste du 18 pour trouver la réponse plus facilement (13+18=13+7+11)
Procédés de soustraction:
o Recherche différence:
* Dénombrement:
* Illustrer la collection totale «c» et retirer le nombre d’éléments «b». La mesure de la collection restante peut être déterminée par reconnaissance perceptive ou dénombrement
* Illustrer le total (c) et retirer le nombre b d’éléments et je vais dénombrer pour trouver la quantité a (total)
* Procédé de dénombrement par mise en correspondance:
* Mettre en correspondance la collection «c» et la partie de la collection connue «b» qui sont représentées visuellement. La différence est rendue apparente. Elle peut être trouvé par reconnaissance perceptive ou dénombrement
* Procédé de comptage à rebours:
* Compter à rebours à partir de la collection totale «c» jusqu’à ce qu’on ait enlevé la partie connu «b»
* Ex: je sais que je dois enlever deux de 5, je suis à 5, je recule de 1 je suis à 4, je recule de 2, je suis à 3
* Rappel direct:
* j’ai en mémoire ce résultat
* (5-2): je connais la réponse directement
* Procédé de comptage évolué:
* Transformer le nombre «b»
* Je vais décortiquer b pour que le calcul soit plus facile, en allant chercher les nombres repaires
* Ex: 23-7=23-(3+4)=23-3-4=20-4=16
Recherche du complément d’une collection:
* Procédé de dénombrement:
* Illustrer la mesure «b» et ajouter des éléments à cette collection jusqu’à l’obtention de la mesure de la collection totale. Le nombre d’éléments ajoutés correspond à la mesure cherchée. Cet ajout peut être effectuée par reconnaissance perceptive ou par dénombrement
* Illustrer b, et je vais ajouter autant d’élément jusqu’à ce que j’arrive à c et ce que je vais ajouter, ça va être a
* Soit je le perçoit directement (quantité pas grande), soit je dénombre
* Précédé de comptage:
* Considérer la partie connue «b» et avancer de «1» jusqu’à l’obtention de la collection totale «c». Le nombre de déplacement correspond à la mesure recherchée
* Je pars de b et j’avance avec a pour arriver à c
Je peux expliquer ce qu’on entend par développer le calcul mental (définition, difficultés des élèves, ce qu’on doit retenir…).
Définition
Il consiste à effectuer des calculs sans l’aide d’un crayon et d’un papier ou d’une calculatrice.
À retenir…
L’apprentissage de procédures de calcul mental est fondamental.
Il doit être fait tôt : avant même l’apprentissage de procédures écrites (algorithmes).
Il faut les enseigner et elles doivent devenir automatisées (procédure bien installée chez l’élève).
Je peux exposer des recommandations (temps à y consacrer, manières d’introduire les procédés…) pour l’enseignement du calcul mental.
Pratique du calcul mental quotidien : 10-15 minutes
Procédé de «La Martinière» : les élèves écrivent leur résultat sur un petit tableau blanc.
Séance hebdomadaire d’analyse de procédures :
15-20 minutes
Explicitation, comparaison et hiérarchisation des procédures
Rôle de l’enseignant: fait voir l’économie de certains procédures et propriétés des nombres
Je peux identifier et reconnaître différents procédés de calcul mental
Utilisation de la décomposition additive de l’un ou des deux termes
45+17= 40+5+10+7 = 50+12 = 62
45+17= 45+10+7 = 55+7 = 62
Utilisation d’une décomposition additive de l’un des termes en s’appuyant sur un passage à la dizaine supérieure
45+17= 45+5+12 ou 45+15+2 ou 2+43+17
Utilisation d’un décomposition soustractive de l’un des termes
45+17= 45+20-3
Je définis ce qu’est un algorithme.
c’est un ensemble de procédures ou d’étapes
ou d’actions ordonnées permettant d’arriver efficacement à un résultat
L’algorithme permet d’effectuer des opérations arithmétiques sur des grands nombres, opérations dont l’obtention du résultat exige davantage que la simple mémorisation de tables d’addition.
Je reconnais et distingue différents algorithmes d’addition.
Addition
Algorithme 1 : conventionnel
Algorithme 2 : l’idée est d’additionner un nombre plus facile
357 + 597 = 357 + (597 + 3) – 3 car l’addition et la soustraction s’annulent
= 357 + 600 – 3
= 957 – 3
= 954
Algorithme 3 : de gauche à droite (ou droite à gauche)
345 + 138
400
70
13
483
Algorithme 4 : enlever une quantité au premier terme et la donner au deuxième terme
389 + 197 = (389 – 3) + (197 + 3)
= 386 + 200
= 586
Algorithme 5 : additionner par étapes (plus propice au calcul mental)
345 + 138 = ?
345 + 100 = 445
445 + 30 = 475
475 + 8 = 483 Donc 345 + 138 = 483
Je reconnais et distingue différents algorithmes de soustraction.
Algorithme 1 : conventionnel
Algorithme 2 : l’idée est de soustraire un nombre plus facile
414 – 296 = 414 – (296 + 4 – 4)
= 414 – (296 + 4) + 4
= 414 – 300 + 4
= 114 + 4
= 118 Donc 414 – 296 = 118
Algorithme 3 : soustraction par étapes
414 – 302 = 414 – (300 + 2) facilite le calcul mental
= 414 – 300 – 2
= 114 – 2
Algorithme 4 : l’idée est d’additionner une même quantité ou soustraire une même quantité sans changer la différence
414 – 296 = (414 + 4) – (296 + 4)
= 418 -300
= 118
Algorithme 5 : procédure de la «monnaie rendue»
327 – 158 = ?
158 + ? = 327
158 + 2 = 160 160 + 40 = 200 200 + 127 = 327
et 127 + 40 + 2 = 169 Donc 327 – 158 = 169
J’identifie des erreurs commises par des élèves dans des cas de soustraction et d’addition.
Exemples d’erreurs possibles…
- Soustrait le plus petit chiffre du plus grand chiffre, colonne par colonne
- Ne va pas chercher une dizaine ou une centaine pour l’échanger contre 10 unités ou 10 dizaines. Quand la soustraction n’es tpas possible cela donne 0
- Emprunt (échange) même quand c’est pas nécessaire
- Procède par emprunt et laisse des 1 partout sans laisser de 9.
- Écrit un 0 comme réponse chaque fois qu’il voit un 0 dans une colonne. «Puisque je ne peux rien enlever d’un 0, la réponse est 0»
- Emprunte directement sur le chifrre des centaines
- Effectue une additon (alors que c’est une soustraction)
- N’utilise pas la retenue
Je suis capable d’animer une résolution de problèmes de structure additive afin d’aider l’élève à comprendre la structure mathématique d’un problème et approfondir ses connaissances des liens entre l’addition et la soustraction. Je mets en évidence la stratégie de résolution choisie lors de la résolution de problème.
Stratégies pour les structures additives
? + 13 = 55 :La stratégie est la recherche du complémentaire
38+42 = ? : Stratégie de résolution est l’addition
55 – 13 = ? : Stratégie de résolution est la soustraction
- J’identifie différentes propriétés de la multiplication et division
Pour tout nombre naturel a, b et c la multiplication est :
commutative : a x b = b x a
associative : (a x b) x c = a x (b x c)
distributive sur l’addition et la soustraction :
a x (b + c) = a x b + a x c a x (b – c) = a x b – a x c
1 est l’élément neutre : a x 1 = 1 x a = a
0 est l’élément absorbant : 0 x a = a x 0 = 0
Division
La division est parfois distributive sur l’addition et la soustraction : cette propriété ne s’applique que si la somme (différence) est au dividende :
(30 + 30) ÷ 3 = 20 et (30 ÷ 3) + (30 ÷ 3) = 20
- Je distingue et reconnais différentes classes de problèmes de structure multiplicative. J’analyse la structure relationnelle d’un énoncé de problème.
Différents sens des structures multiplicatives
Addition répétée
action répétée :
Exemple : Je mange 4 biscuits par jour. Combien de biscuits aurai-je mangés en 3 jours.
réunion répétée (ensembles ou groupements équivalents) :
Exemple : Maman a préparé 3 gâteaux. Elle veut déposer 4 cerises sur chaque gâteau. De combien de cerises a-t-elle besoin ?
Configuration rectangulaire : ce sens se rapproche de l’addition répétée tout en faisant intervenir une disposition géométrique des objets.
Exemple 1 : je dispose de 3 rangées contenant chacune 4 carrés. Combien de carrés y a-t-il en tout ?
Aire et volume : ce type de problèmes fait intervenir la mesure de l’aire ou du volume.
Exemple 1 : une barge mesure 23 m de longueur sur 6 m de largeur. Quelle est la mesure de l’aire du pont de cette barge ?
Combinaison ou produit cartésien: on cherche le nombre d’associations différentes que l’on peut faire. On peut jumeler un à un tous les éléments d’un ensemble à tous les éléments d’un autre ensemble afin de trouver le nombre total de paires possibles.
Exemple : Nathalie fabrique des aimants. Elle utilise deux modèles distincts et elle les peint en trois couleurs différentes. Combien d’aimants différents peut-elle faire?
Comparaison multiplicative : ce sens est lié aux problèmes de multiplication faisant intervenir des expressions telles que n fois plus ou n fois moins.
Exemple : Maya a 4 crayons. Julie en a 3 fois plus. Combien de crayons Julie a-t-elle ?
- Je distingue et reconnais les différentes classes de problèmes de division.
Division
Partage égal : la quantité d’objets est partagée en un nombre de groupes égaux connu. Ainsi, le nombre d’objets par groupe est recherché.
Exemple : J’ai 12 billes. Je veux les distribuer entre 4 personnes. Combien chacune recevra-t-elle de billes ?
Groupement ou contenance : la taille des groupes est connue et le nombre de groupes est recherché
Exemple : J’ai 12 billes. Je veux donner des paquets de 4 billes. Combien aurai-je de paquets à donner ?
Je reconnais et distingue différents algorithmes de multiplication et de division
3 types de stratégies de calcul
1. Représentation concrète (Matériel ou dessins)
2. Stratégies inventées (stratégies propres à des élèves que la recherche à mis de l’avant ensuite)
3. Algorithme conventionnelle
2 et 3 sont des procédés de calcul
Représentation concrète
- Utiliser avec des résolutions de problèmes
- Permet aux élèves d’user du dénombrement
Matériel en soi n’est pas problématique, il faut l’adapter à ce qu’on veut enseigner
Jetons : Représenter avec des regroupements de 10 pour pas qu’ils ne fassent que dénombrer (met plus l’accent sur la numération positionnelle)
Stratégies inventées
Décomposition des nombres pour faire l’opération de la manière la plus facile (éviter la retenue)
Ne mettent pas de l’avant à priori le matériel
Flexible et pas rigide (contrairement à l’algorithme conventionnelle qui n,est pas modifiable)
Travaille la numération positionnelle
S’appuie sur la compréhension de l’élève (élève va pas utiliser une stratégie qui ne lui parle pas, il choisi)
Erreurs liées à l’algorithme traditionnels sont généralement évitées (moins d’erreurs)
Prépare au calcul mental
- Multiplication avec nombres à 1 chiffre
- Nombres complets
Additions répétées : 5 x 37 = 37 + 37 + 37 + 37 + 37
- Pas une qté énorme
- Partition
- Décomposition des nombres avant de les multiplier
86 x 5 = (80 x 5) + (6 x 5) = 400 + 30 = 430
- Ajustement
Modification des nombres en effectuant des ajustements et des compensations
Exemple : pour multiplier 86 par 5, ils peuvent multiplier 86 par 10, puis diviser le produit par 2.
86 x 5 = 86 x (10÷2) = (86 x 10) ÷ 2 = 860 ÷ 2 = 430
- Nombres à 2 chiffres
- Modèle de l’aire
200 + 110 + 14 = 385 (ou genre 200+100+10+14, l’addition après c’est pas grave)
- Combler l’espace
- Grappes de problèmes
Les élèves doivent d’abord estimer le produit final (pour se retrouver à la fin)
Les grappes permettent de combiner des opérations apparentées afin de simplifier des calculs plus complexes
86 x 42 = 86 x (40 + 2)
= (86 x 40) + (86 x 2) multiplication distributive par rapport à l’addition
= (86 x 10 x 4) + (86 x 2)
= (860 x 4) + (86 x 2) multiplication associative
= (860 x 2 x 2)+(86 x 2) double et double encore pour la 1erparenthèse
= (1720 x 2) + (86 x 2)
= (1720 x 2) + 172
= 3440 + 172
= 3612
J’identifie des erreurs commises par des élèves dans des cas de multiplication et de division.
Difficultés dues au fait que tous les résultats des tables ne sont pas parfaitement mémorisés ;
Difficultés dans la gestion des retenus ;
Difficultés dans le respect de l’ordre des calculs à effectuer ;
Difficultés de «décalage» qui correspondent en fait à l’existence d’un zéro par exemple comme chiffre des dizaines (cas de la multiplication par 507)
Je suis capable d’animer une résolution de problèmes de structure multiplicative en utilisant les représentations liées aux relations multiplicatives afin d’aider l’élève à comprendre la structure mathématique d’un problème et approfondir ses connaissances des liens entre la multiplication et la division. Je mets en évidence la stratégie de résolution choisie lors de la résolution de problème.
Étalon, nb de répétitions et qté mesurée
Relation de composition multiplicative
- Seulement 2 qté pour 1 personne
Relation de comparaison multiplicative
- 2qté pour 2 personnes
Relation multiplicative du plan cartésien
2 dimensions et une qté produite
