Derivadas, Composicion De Funciones, Funciones Inversas, Vectores (Geometria En El Espacio)

Question 1

Derivar por tablas: f(x) = k

Answer 1

y’= 0

Question 2

Derivar por tablas: f(x) = kx

Answer 2

y’= k

Question 3

Derivar por tablas: f(x) = x^n

Answer 3

y’= n•x^(n-1)

Question 4

Derivar por tablas: f(x) = [f(x)]^n

Answer 4

y’= n•[f(x)]^(n-1) •f’(x)

Question 5

Derivar por tablas: y= f(x) +/- g(x)

Answer 5

y’= f’(x) +/- g’(x)

Question 6

Derivar por tablas: y= f(x) • g(x)

Answer 6

y’= f’(x) • g(x) + f(x) • g’(x)

Question 7

Derivar por tablas: y= f(x):g(x)

Answer 7

f’(x) • g(x) - f(x) • g’(x)
y’= ——————————
[g(x)]^2

Question 8

Derivar por tablas: y= e^x

Answer 8

y’ = e^x

Question 9

Derivar por tablas: y= k^x

Answer 9

Y’= k^x • lnk

Question 10

Derivar por tablas: y= ln(x)

Answer 10

1
y’= —
x

Question 11

Derivar por tablas: y= sen(x)

Answer 11

y’ = cos(x)

Question 12

Derivar por tablas: y= cos(x)

Answer 12

y’= -sen(x)

Question 13

Derivar por tablas: y= tan(x)

Answer 13

y’= sec^2 (x) = 1/cos^2 (x) = 1+tan^2 (x)

Question 14

Qué es sec(x)?

Answer 14

1/cos(x)

Question 15

Derivar por tablas: y= arcsen (x)

Answer 15

1
y’= —————
(1-x^2)^1/2

Question 16

Derivar por tablas: y= arccos(x)

Answer 16

-1
y’= ——————
(1-x^2)^1/2

Question 17

Derivar por tablas: y= arctan(x)

Answer 17

1
y’= ————
1+x^2

Question 18

Derivada por definición

Answer 18

f(x+h) - f(x)
Lim ——————
h->0. h

Question 19

Qué es [kf(x)]’

Answer 19

Kf’(x)

Question 20

Cómo se hace la derivación logarítmica?

Answer 20

Ej:
f(x) = x^x
y= [f(x)]^g(x)

y= x^x -> ln y = ln x^x
ln y = x• ln x

Se deriva lny y xlnx
(lny)’ = (xlnx)’

1. 1
   — • y’ = 1ln(x) + —- • x
   y. x

1
— •y’ = ln(x) + 1
y

y’ = (lnx +1)•y

y’ = (lnx + 1) • x^x

Question 21

Qué es una función inversa?

Answer 21

Una función es inversa a otra cuando cumplen las siguientes condiciones:

 f(x)|f^-1(x) (inversa) 1ª) x  ->  y
  y  ->  x

Es decir:
f(x) -> x=2 y=7
f^-1(x) -> x=7 y=2

2º) Siempre dan simétricas con respecto a una recta inclinada

Question 22

f^-1 (x) es una potencia?

Answer 22

No, representa Arc f(x). Es decir, la inversa

Question 23

Cómo se calcula el vértice de una parábola?

Answer 23

-b
x= ——
2a

y=y

(1x^2 -6x +8)
a b c

Question 24

Cómo funciona la composición de funciones?

Answer 24

Una función sustituye a la x de otra función:

f(x) = x^2
g(x) = sen(x)

f o g = f(g(x)) = (sen(x))^2
g o f = g(f(x)) = sen (x^2)

h(x) = 1/x

f o g o h = f(g(h(x))) = [sen(1/x)]^2
g o h = g(h(x)) = sen (1/x)

Question 25

Qué son las derivadas sucesivas?

Answer 25

La derivada de la derivada:

f’(x) = derivada primera
f’‘(x) = derivada a la segunda
f’’‘(x)= derivada a la tercera
.
.
.

Question 26

Cómo se calcula la derivada enésima?

Answer 26

1) Se hacen derivadas sucesivas hasta que se repite el resultado de la derviada 1ª
2) esto nos permite ver cada cuántas derivadas se repite el resultado de la derivada primera, segunda etc.
3) hacemos una llave con todos los posibles resultados que se pueden repetir
Ej:
n= 1,5,9… f^n (x) = -sen(x)
n= 2,6,10… f^n (x) = -cos(x)
n= 3,7,11… f^n(x) = sen (x)
n= 4,8,12… f^n (x) = cos(x)

Question 27

Cómo puedes calcular cualquier número de derivadas usando la derivada enésima?

Answer 27

Ej: (mismo ejemplo que para calcular la derivada enésima)
f^L (x)
(L= 50 en nº Romanos)
50:4 (porque hay 4 posibles resultados)
50:4 = 12 con resto 2
El resto 2 nos indica que pertenece al 2º grupo con el 2º resultado, por lo tanto:

f^L (x) = -cos(x)

Question 28

Qué es una función explícita? Y una Implícita?

Answer 28

Explícita:
y/f(x) está despejada

Implícita:
La y/f(x) no se puede despejar o no puede estar sola (Ej: y^3 + 3x - 2y =0)

Question 29

Cómo se calcula la pendiente de la recta normal?

Answer 29

Mn = -1/Mtg

Question 30

Cómo se sabe en qué dimensión estamos calculando?

Answer 30

k=|R
(x,y) = |R^2 -> Plano (2D)
(x,y,z)= |R^3 -> Espacio (3D)

Question 31

Qué es un vector?

Answer 31

-Un segmento orientado
-Herramienta matemática para expresar magnitudes vectoriales. Es decir, tienen un módulo, dirección y sentido
-Cualquier elemento que pertenezca a un espacio vectorial

Question 32

Qué es la dirección de un vector?

Answer 32

La línea/camino donde se encuentra

Question 33

Qué es el sentido de un vector?

Answer 33

La flecha, es decir, hacia dónde y desde dónde va (-> así, o <- así. Misma dirección, pero sentidos distintos)

Question 34

Qué es el módulo de un vector?

Answer 34

La longitud del vector

Question 35

Qué es un vector fijo?

Answer 35

Vector cuyo principio (punto de origen) y fin (punto final) conocemos
Ej:
—>
A B
__>
—> = AB

A= (2,3,9)
B=(4,6,-5)

Es un vector fijo

Question 36

Qué es un vector Libre?

Answer 36

-Representante de todos los vectores fijos iguales que él, pero su origen siempre es el (0,0,0)
-Se representa con 1 sola letra minúscula y una flecha encima:
_> _>
a b …

Question 37

Cómo se suman los vectores analíticamente?

Answer 37

Sumando cada x,y,z
Ej:
->
a = (1,3,7)
->
b = (2,4,6)

-> ->
a + b = (3,7,13)

Question 38

Cómo se suman los vectores gráficamente?

Answer 38

Creando un vector imaginario que los conecte

Question 39

Cuál es la regla del paralelogramo?

Answer 39

-Debe ser vector libre
-para sumar:
-mismo punto origen
-se crean paralelos de los vectores que empiezan al final del otro vector
-se dibuja un vector que corte a través de ellos, es decir, que salga del punto común y acabe en el punto donde coinciden los vectores paralelos imaginarios.
-esa está la suma de vectores

Question 40

Como se cambia de sentido a un vector?

Answer 40

-cambiándolo de signo

Question 41

Qué es un escalar?

Answer 41

Es un número que se multiplica por el vector

Question 42

Qué son los Vectores Equipolentes?

Answer 42

2 o más vectores son Equipolentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Todos ellos están representados por el vector libre representante

Question 43

Cuáles son las propiedades de la suma y de la resta vectorial?

Answer 43

•Propiedad conmutativa:
(El orden de los factores no altera el producto)
•Propiedad asociativa:
-> -> -> -> -> ->
(a + b) + c = a + (b + c)
•Elemento neutro:
-> -> ->
a + 0 = a
•Elemento opuesto:
5 -> -5
•Elemento inverso:
5 -> 1/5

Question 44

Cuáles son las propiedades de un nº escalar ?

Answer 44

Elemento neutro:
-> ->
1•v = v

Question 45

Qué es el espacio vectorial?

Answer 45

V^3
Es un espacio que cumple las propiedades de:
-> -> ->
v + v y v • e
(Suma de vectores y multiplicación por un escalar)

-Es decir: se compone de un conjunto de elementos que cumplan unas operaciones: un nº por el elemento y la suma de elementos, además de sus propiedades

Question 46

->
El vector 0 existe?

Answer 46

-> -> ->
v + 0 = v
(2,2,2) - (2,2,2) = (0,0,0)

CUMPLE LAS PROPIEDADES, POR LO QUE ES UN VECTOR

Question 47

Cuando son 2 vectores o más linealmente dependientes?

Answer 47

-Si son proporcionales:
Si
-> ->
a = (alfa) • b

-Para que 3 vectores o mas sean linealmente dependientes tienen que formar una combinación lineal. Es decir, un vector de ellos es igual a la suma de los otros vectores multiplicados por números:
-> -> ->
a = (alfa)b • ßc

Si a es dependiente de b y c, b es dependiente de a y c, y c es dependiente de a y b

Question 48

Qué es una base?

Answer 48

-es un eje de coordenadas
-Una base en |R^3 son 3 Vectores linealmente independientes y cualquier vector del espacio (|R^3) lo podéis expresar como combinación lineal de ellos

Question 49

Cuál es la base canónica?

Answer 49

->
i = (1,0,0)
->
j = (0,1,0)
->
k = (0,0,1)

Son vectores de tamaño 1 que llevan la dirección de x, y, z positivo

Question 50

Qué es un determinante? para qué sirve?

Answer 50

Es una herramienta matemática para saber si 3 vectores son linealmente independientes. Cuando resolvemos un determinante y el resultado da distinto de cero, son independientes. Si da cero, son dependientes

Question 51

Cómo se calcula un determinante?

Answer 51

1) Multiplicamos la diagonal izquierda (al diagonal con el extremo izquierdo más arriba)
2) a ello le sumamos la multiplicación de: la diaconal paralela encima de ésta y el número que se queda en la esquina contraria
3) a esto a su vez le sumamos la multiplicación de la diaconal y el número restante

4) A esto le restamos la multiplicación de la diagonal derecha
5) a su vez restamos la multiplicación de: la diagonal paralela encima de ella y el número del extremo opuesto
6) por último, resultamos la multiplicación de la diaconal y número restante

Question 52

En qué base se actúa si el enunciado no lo especifica?

Answer 52

En la base canónica

Question 53

Cómo se cambia de base?

Answer 53

Ej:
->
u = (2, -1 , -1)
-> -> -> ->
u = (2i, -j, -k)

   -> -> -> B'= (a, b, c) a= (1,2,3) b=(-1,0,1) c=(4,-1,2)

-> -> -> ->
u = (alfa)a + ßb + (gamma)c
->
u = (alfa, ß, gamma)

->
u = (alfa)a + ßb + (gamma)c
(2, -1, -1) = (alfa)a+ßb+(gamma)c
(2,-1,-1)=(alfa)(1,2,3) +ß(-1,0,1) + (gamma)(4,-1,2)

(2,-1,-1)=(alfa,2alfa,3alfa) + (-ß,0,ß) + (4gamma,-gamma,2gamma)
(2,-1,-1)=(alfa+(-ß)+4gamma, 2alfa-gamma, 3alfa+ß+2gamma)

{2= alfa-ß+4gamma
-1= 2alfa-gamma
-1= 3alfa+ß+2gamma}

Usamos el método de Gauss:
(1 -1 4 | 2
2 0 -1 | -1
3 1 2 | -1)

Mantenemos el -1 de arriba
Fila 1 + Fila 3 y se sustituye el resultado en la Fila 3

Esto deja a la ß libre en las ecuaciones de las Filas 2 y3. Esto se continúa hasta que poco a poco se puedan ir despejando las variables y obtener así el número de alfa, ß y gamma)

Question 54

Cómo se saca el módulo de un vector?

Answer 54

Ej:
->
a = (2,7,3)
-> _________________
Módulo=> |a| = |2^2 + 7^2 + 3^2
___
=|62