Dénombrement Flashcards
Exercices
Paul a des chaussettes rouges, des chaussettes bleues et des chaussettes jaunes, toutes rangées
dans le même tiroir. S’il se sert dans l’obscurité, combien de chaussettes doit-il prendre au minimum
pour être sûr d’avoir au moins une paire de chaussettes de la même couleur ?
Si Paul tire deux chaussettes, elles peuvent être de couleurs différentes. De même s’il tire trois chaussettes
il aura dans le cas le plus défavorable R, B, J. Par contre en tirant une quatrième chaussette, elle sera
obligatoirement R, B, ou J, et il aura au moins une paire de même couleur.
Le nombre minimal de chaussettes à prendre pour être sûr de disposer d’une paire est donc 4
On peut le voir par un arbre de choix possible avec les paramètres chaussette jaune, chaussette bleu et chaussette rouge.
Dans une soirée rassemblant 10 personnes, chaque invité échange une poignée de mains avec chacun
des autres convives. Combien cela fait-il de poignées de mains ?
Même question s’il y a 20 personnes.
Même question s’il s’agit de 5 couples : chaque invité échange une poignée de mains avec chacun des autres
convives sauf son conjoint.
- La première personne sert la main de 9 personnes. La suivante sert la main de neuf personnes moins
celle de la première car la poignée de main a déjà eu lieu donc 8 nouvelles poignées de main (représentation
chronologique). La troisième sert la main de 7 personnes, la quatrième…. la dixième ne sert aucune poignée
de main car elle les a déjà toutes serrées.
Nous avons donc : 9+8+7+6+5+4+3+2+1= 45 poignée de main. - Dans le cas où il y a 20 personnes.
On peut remarquer que si on l’ajoute chaque terme de la somme :
19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
Soit :
(19+1)+(18+2)+(17+3)+(16+4)+(15+5)+(14+6)+(13+7)+(12+8)+(11+9)+10
La somme vaut donc 190. - Dans le cas où il s’agit de 5 couples : pour chaque personne, il y a 8 personnes à qui serrer la main ( les dix
personnes, moins le conjoint et elle-même). La première sert donc 8 mains. Choisissons pour la seconde
personne, son conjoint : il sert aussi 8 mains.
La troisième a déjà serré les mains de deux personnes, doit serrer les mains d’encore 7 personnes parmi
lesquelles son conjoint, donc 6 personnes. Le conjoint, de même, a déjà serré les mains de 2 personnes, il y a
donc encore 7 personnes parmi lesquelles sont conjoint : donc il reste 6 poignées de mains.
La cinquième personne doit serrer les mains de 4 personnes, idem pour son conjoint. La septième
personne serre les mains de 2 personnes, idem pour son conjoint et les 2 dernières personnes ont
déjà serré toutes les mains. Au total : 2x8+2x6+2x4+2x2=40
Les multiples de 21 dont l’écriture nécessite deux chiffres sont 21, 42, 63, 84. Pour écrire cette liste de
multiples il faut 8 caractères d’imprimerie. Combien en faut-il pour écrire la liste des multiples de 21 dont
l’écriture nécessite trois chiffres ? Même question avec cinq chiffres ?
Le plus petit multiple de 21 avec une écriture à trois chiffres est 105 (5x21). Le plus grand est obligatoirement
inférieur à 999. Le problème revient à chercher combien il existe de pas de longueur 21 entre ces deux
nombres.
47x21 = 987
On retire les multiples qui ne comporte pas des nombres à trois chiffres (on retire 4). 47 -4 = 43
On multiple 43 x 3 = 129.
Il y a 129 caractères d’imprimeries.
Le plus grand entier à cinq chiffres est 99999, celui à quatre chiffres 9999. Entre 1 et 99999, il y a 4761
multiples de 21. Pour arriver à un multiple de 21 à 5 chiffres, on doit multiplier 21 par 477.
On retire 477 dans 4761. Nous avons donc 4284.
On multiplie ce chiffre par 5, et nous avons 21 420.
Il faut 21 420 caractères pour l’écriture de multiple de 2 1 à cinq chiffres.
Quand Marie et Pierre se sont mariés, chacun d’eux avait déjà plusieurs enfants de mariages précédents. Au
bout de quelques années, il y a huit enfants dans leur maison : Pierre est le père de six d’entre eux, Marie est
la mère de cinq d’entre eux. Combien d’enfants ont-ils eu ensemble ?
Si Pierre est le père de six d’entre eux et Marie la mère de cinq d’entre eux, il y aurait 11 onze enfants si
aucun n’était issu de leur mariage commun. Compte tenu du fait qu’il y a huit enfants dans leur maison, ils
ont donc eu ensemble trois enfants. Marie avait auparavant deux enfants, et Pierre avait trois enfants
Dans un centre de vacances accueillant cent vingt personnes, on sait que vingt-quatre personnes font du
tennis et quinze du canoë. En outre, six personnes pratiquent à la fois tennis et canoë.
Combien de personnes ne pratiquent aucun des deux sports ?
24 + 15 = 39
. Il y a donc 39 personnes qui pratiquent soit le tennis, soit le canoë, soit les deux. Or 6
personnes pratiquent les deux. Il reste donc 33 personnes pratiquant soit le tennis, soit le canoë, et il reste 87
personnes ne pratiquant aucun sport. (120 - 33 = 87)
Un cadenas comporte trois molettes, sur chacune desquelles on peut choisir l’un des dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9. On obtient ainsi un code, comme par exemple 222, 034, …
Combien existe-t-il de codes différents ?
Pour la première molette, il y a 10 possibilités. Pour chacune de ces 10 possibilités, il y a 10 possibilités pour
la 2ème molette : il y a donc 100 possibilités pour les deux premiers chiffres. Ensuite, pour chacune de ces 100
possibilités, il y a 10 possibilités pour la 3ème molette. Finalement, il y a donc : 10 x 10 x 10 = 1000
codes
possibles
Une cave obscure renferme de nombreuses bouteilles de cinq sortes différentes.
Combien doit-on remonter de bouteilles pour être sûr d’avoir au moins trois bouteilles identiques ?
Expliquez votre démarche.
Si on tire 5 bouteilles elles peuvent être toutes différentes (cas le plus défavorable)
Si on tire à nouveau 5 bouteilles, elles peuvent encore être toutes différentes (cas le plus défavorable : au
bout de 10 tirages, il y a deux bouteilles de chaque sorte).
C’est donc à la onzième bouteille qu’on est certain d’avoir trois bouteilles identiques.
A leur entrée en L1, les étudiants choisissent une langue (anglais ou allemand) et une option (informatique, chimie ou astronomie). Dans un groupe d’étudiants, 12 étudiants sont inscrits en astronomie, 15 en chimie, 16 étudient l’allemand. Par ailleurs, 8 inscrits en astronomie et 3 inscrits en informatique étudient l’anglais, 6 inscrits en chimie étudient l’allemand.
Indiquer la répartition des étudiants par discipline, ainsi que le nombre total d’étudiants dans le groupe.
Ce genre d’exercices se traite très facilement en utilisant un tableau à double entrée dans lequel on inscrit les informations à notre disposition :
Informatique : 9 au total
Informatique - Anglais : 3
Informatique - Allemand : 6
Chimie : 15 au total
Chimie - Anglais : 9
Chimie - Allemand : 6
Astronomie au total : 12
Astronomie - Anglais : 8
Astronomie - Allemand : 4
Anglais : 20
Allemand : 16
Total : 36
Dans une entreprise, il y a 800 employés. 300 sont des hommes, 352 sont membres d’un syndicat, 424 sont mariés, 188 sont des hommes syndiqués, 166 sont des hommes mariés, 208 sont syndiqués et mariés, 144 sont des hommes mariés syndiqués. Combien y-a-t-il de femmes célibataires non syndiquées?
Homme 300
Femme 500
Homme marié 166
Homme Célibataire : 134
Homme Marié Syndiqué : 144
Homme Marié non syndiqué : pas d’information nécessaire
Homme célibataire syndiqué : 44
Homme célibataire non syndiqué : pas d’information nécessaire
Femme Marié ou célibataire : pas d’information nécessaire
Femme marié syndiqué : 64
Femme célibataire : 100
Il y a 100 femmes non célibataire et non syndiquées.
Une course oppose 20 concurrents, dont Émile.
Combien y-a-t-il de podiums possibles?
Combien y-a-t-il de podiums possibles où Émile est premier?
Combien y-a-t-il de podiums possibles dont Émile fait partie?
On souhaite récompenser les 3 premiers en leur offrant un prix identique à chacun. Combien y-a-t-il de distributions de récompenses possibles?
Pour le premier, on a 20 choix possibles, pour le second 19, pour le troisième 18. Le nombre de podiums possibles est donc égal à 20×19×18=6840.
Le premier concurrent est Emile. Pour les autres places, il y a 19 puis 18 choix possibles; Le nombre de podiums ainsi constitués est de 19×18.
Il y a trois choix possibles pour la place d’Emile. Une fois ce choix fixé, il y a 19 choix possibles pour la première des deux autres places, puis 18 choix possibles pour la seconde des deux autres places. Le nombre de podiums vérifiant ces conditions est donc de 3×19×18.
L’ordre n’est plus important, et on cherche le nombre de choix de 3 concurrents parmi 20, c’est-à-dire (20
3)=1140
Dans une ville, il y a quatre boulangeries qui ferment un jour par semaine.
Déterminer le nombre de façons d’attribuer un jour de fermeture hebdomadaire?
Reprendre la même question si plusieurs boulangeries ne peuvent fermer le même jour.
Reprendre la même question si chaque jour, il doit y avoir au moins une boulangerie ouverte.
Pour chaque boulangerie, il y a 7 choix possibles. Il y a donc 74 façons d’attribuer un jour de fermeture hebdomadaire à chaque boulangerie.
On peut procéder comme suit pour dénombrer le nombre de possibilités. La première boulangerie peut fermer n’importe quel jour de la semaine, ce qui lui laisse 7 choix. La seconde boulangerie peut fermer n’importe quel autre jour : 6 choix. La troisième ne peut pas fermer l’un des jours déjà choisi, ce qui lui laisse 5 choix, et pour la dernière, il ne reste que 4 choix. Le nombre de possibilités est donc 7×6×5×4.
On va raisonner par différence, et compter plutôt le nombre de possibilités pour que toutes les boulangeries ferment le même jour : il y a 7 choix (on choisit juste le jour de fermeture commun). Le nombre de possibilités pour qu’il y ait au moins une boulangerie ouverte chaque jour est donc 74−7.
Dans une pièce, il y a deux tables. La première dispose de 3 chaises, numérotées de 1 à 3, la seconde dispose de 4 chaises, numérotées de 1 à 4. Sept personnes entrent. Combien y-a-t-il de possibilités de les distribuer autour de ces deux tables?
On commence par choisir les personnes qui vont s’installer autour de la première table. Il y a (73) possibilités. Ensuite, les 3 personnes qui sont autour de la première table peuvent choisir librement leur place. Il y a 3! choix (autant que de permutations des 3 chaises). De même, il y 4! choix pour les personnes qui s’installent autour de la deuxième table. Le nombre total de possibilités est donc (7/3)×3!×4!=7!.
Le fait de trouver 7! montre que le dénombrement que nous avons fait, qui suit les données de l’énoncé, peut être simplifié. En effet, le fait d’imposer deux tables ne change en réalité rien au problème : on doit placer 7 personnes sur 7 chaises, et il y a 7! façons différentes de le faire.
Un cadenas possède un code à 3 chiffres, chacun des chiffres pouvant être un chiffre de 1 à 9.
Combien y-a-t-il de codes possibles?
Combien y-a-t-il de codes se terminant par un chiffre pair?
Combien y-a-t-il de codes contenant au moins un chiffre 4?
Combien y-a-t-il de codes contenant exactement un chiffre 4?
Dans cette question on souhaite que le code comporte obligatoirement trois chiffres distincts.
Combien y-a-t-il de codes possibles?
Combien y-a-t-il de codes se terminant par un chiffre impair?
Combien y-a-t-il de codes comprenant le chiffre 6?
Il y a 9×9×9=729 codes possibles.
Pour chacun des deux premiers chiffres, il y a 9 choix possibles. Pour le dernier, il y a 4 choix possibles (on peut choisir 2,4,6,8). Il y a donc 9×9×4 tels codes.
On va compter par différence. Il y a 8×8×8 codes ne contenant pas du tout le chiffre 4. Il y a donc 9×9×9−8×8×8=217 codes comprenant au moins une fois le chiffre 4.
Il y a 3 choix pour la place dans le nombre où se situe le chiffre 4. Pour chacun des deux autres chiffres, il y a 8 choix possibles. Il y a donc 3×8×8 tels codes.
On cherche cette fois un arrangement de 3 chiffres parmi 9. Il y a donc 9×8×7 choix possibles.
Il y a cinq choix pour le dernier chiffre. Celui-ci choisi, il reste huit choix pour le premier chiffre, puis sept pour le deuxième. Il y a donc 8×7×5 tels codes.
Il y a 3 choix pour la place dans le nombre où on place le chiffre 6. Pour les autres chiffres, il y a d’abord 8 choix, puis 7 choix possibles. Le nombre de tels codes est donc de 8×7×3
Fred et Émile font partie d’une équipe de 8 joueurs (6 garçons et 2 filles). On décide de fabriquer un comité de 3 joueurs.
Combien y-a-t-il de comités possibles?
Combien y-a-t-il de comités contenant exactement 2 garçons et 1 fille?
Combien y-a-t-il de comités contenant au moins deux garçons?
On veut que Fred et Émile soient ensemble dans le comité. Combien y-a-t-il de comités possibles?
On ne veut pas que Fred et Émile soient ensemble dans le comité. Combien y-a-t-il de comités possibles?
Il s’agit de choisir trois joueurs parmi 8. Le nombre de comités possibles est donc de (8 3)=56.
Il s’agit de choisir deux garçons parmi 6, puis une fille parmi 2. Le nombre de choix possibles est donc de (6
2)×(2 1).
On compte le nombre de comités comprenant 3 garçons : il vaut (6 3) (il faut choisir trois garçons parmi 6). On a déjà compté le nombre de comités comprenant exactement deux garçons. Donc le nombre de comités comprenant au moins deux garçons vaut (6 2)×(2 1)+(6
3).
Il ne reste qu’à choisir le dernier membre du comité : il y a 6 comités comprenant à la fois Fred et Émile.
On compte les comités comprenant Fred, mais pas Émile, et les comités comprenant Émile, mais pas Fred. Dans le premier cas, on trouve (6 2) comités (il reste à choisir deux joueurs parmi 6, puisqu’on ne peut plus prendre ni Fred, ni Émile). Dans le second cas, on a aussi (6 2) comités. On compte enfin les comités ne comprenant ni Fred, ni Émile. Il y en a (6 3). Finalement, le nombre total de comités ne comprenant pas simultanément Émile et Fred est (6 2)+(6 2)+(6 3)=50. Plus simplement, on pouvait aussi soustraire du nombre total de comités (56, cf question 1) le nombre de comités comprenant à la fois Fred et Émile (6, cf question 4), et on retrouve bien 50 comités ne comprenant pas simultanément Fred et Émile.
Une table ronde comporte cinq places, numérotées de 1 à 5. On veut répartir Adélie, Brigitte, Chafik, Denis et Emilie autour de la table. Mais attention! Denis et Émilie ne s’entendent pas du tout, et il ne faut pas les placer côte à côte!!! Combien y-a-t-il de dispositions possibles?
On va raisonner par différence. Si l’on ne met pas de contraintes, il y a 5!=120 façons de placer les gens autour de la table. Comptons maintenant le nombre de façons où Denis et Émilie sont côte à côte. On commence par choisir la position de ce couple. Il y a cinq positions possibles : (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) et (5,1). Cette position fixée, il y a 2!=2 choix pour placer Denis et Émilie, puis 3!=6 choix pour placer les autres. Il y a donc 526=60 dispositions où Denis et Émilie sont côte à côte. Finalement, il y a 120-60=60 dispositions où Émilie et Denis ne sont pas côte à côte!
Remarquons que ce raisonnement dépend du fait que l’on a numéroté les places et donc que, implicitement, la position Adélie 1, Brigitte 2, Chafik 3, Denis 4 et Emilie 5 est différente de la position Adélie 2, Brigitte 3, Chafik 4, Denis 5 et Emilie 1, alors que dans ces deux configurations, tout le monde a le même voisin.
