Definizioni Flashcards
Applicazione invertibile
un’applicazione f:A–>B si dice invertibile se £g:B–>A tale che gof=IdA e fog=IdB
relazione di equivalenza su A
A un insieme e R(x,y) una relazione su A cioè una proposizione che dipende da due variabili in A si dice:
1) riflessiva se ¥x€A R(x,x) vera
2) simmetrica se ¥(x,y)€A se R(x,y)vera=>R(y,x) vera
3) transitiva se ¥x,y,z€A tali che R(x,y) e R(y,z) vera => R(x,z) vera
una relazione che è ruflessiva, simmetrica e transitiva si dice una relazione di equivalenza su A
Classe di equivalenza
x€A A insieme [x]={y€A/x~y}¢A [x]€P(A)
Insieme quoziente
F={[x]/x€A} F¢P(A)
Partizione di un insieme
A insieme una famiglia di sottoinsiemi di A con le proprietà 1),2),3) ai sice una partizione di A, una relazione di equivalenza su un insieme A individua una partizione di A
1) ¥X€F X=|=¶ perché X€F<=>£x€A:X=[x]=>x€[x]=X
2) se X,Y €F se X=|=Y=>X&Y=¶
3) U(X€F)X=A
esm F=A/~ –> insieme quoziente di A rispetto alla relazione di equivalenza
preordinamento
un preordinamento su A è una relazione su A che gode della proprietà riflessiva e transitiva
ordinamento
un preordinamento che gode anche della proprità antisimmetrica si dice un ordinamento
proprietà antisimmetrica
una relazione si dice antisimmetrica se R(x,y) e R(y,x) => x=y
ordinamento totale
(A,<=) insieme ordinato l’ordinamento si dice totale se ¥x,y€Aa o x<=y o y<=x
catena
un sottoinsieme k di A che sia totalmente ordinato con <= si dice una catena
gruppo
un insieme G si dice un gruppo se G è munito di un’applicazione °:GxG–>G (g,h)|–>g°h e di un elemento e€G che si dice elemento neutro che godono delle seguenti proprietà:
1) associatività ¥g,h,k€F (g°h)°k=g°(h°k)
2) elemento neutro ¥x€G x°e=e°x=x
3) esistenza dell’inverso ¥x€G £x€G tale che x°x=x°x=e xsi dice l’inverso di x
gruppo abeliano
un gruppo si dice abeliano se vale ¥x,y€G x°y=y°x
Anello con unità
un anello con unità è un insieme R munito di due operazioni +•RxR–>R e di due elementi speciali fissati, 0€R, 1€R tali che
1) (R,+) gruppo abeliano con 0 come elemento neutro
2) prodotto è associativo ¥a,b€R (a•b)•c=a•(b•c)
3) identità x•1=1•x=x
4) proprietà distributiva ¥x,y,z€R (x+y)•z=xz+yz x•(y+z)=xy+xz
Anello commutativo con unità
valgono 1),2),3),4),5)
5) commutatività del prodotto ¥x,y€R x•y=y•x
Campo
valgono 1),2),3),4),5),6)
6) inverso moltiplicativo ¥x€R tale che x=|=0 £x€R:x•x=x*•x=1
norma di z
z=a+ib ||z||=√(a2+b2)
coniugato di z
z^|=a-ib
spazio vettoriale
uno spazio vettoriale V su campo K è un insieme con due applicazioni: +:VxV–>V m:KxV–>V tali che
1) (V,+) è un gruppo abeliano
2) m(l,v)=:l•v ¥l€K, ¥v€V moltiplicazione per uno scalare
proprietà
a) l•(v+w)=l•v+l•w ¥l€K ¥v,w€V
b) (l+m)•v=l•v+m•v (somma nel campo, somma nello spazio vettoriale) ¥l,m€K, ¥v€V
c) l•(m•v)=(l•m)•v ¥l,m€K, ¥v€V
d) 1•v=v ¥v€V
sistema di generatori
S¢V un sottoinsieme si dice un sistema di generatori per V se tutti gli elementi di V si possono scrivere come combinazioni lineari di elementi di S <=>¥v€V £v1,…vk€S £l1,…lk€K tali che v=l1v1+…+lkvk
spazio finitamente generato
lo spazio vettoriale V si dice finitamente generato se £S¢V S finito r S sistema di generatori
matrice invertibile
¥A€M(nxn,k) si dice invertibile<=>£B€M(nxn,k) tale che AB=BA=In
se A è invertibile=> £! B come sopra che si chiama la matrice inversa di A e si indica con A-1
Sottospazio vettoriale
sia V uno spazio vettoriale su K, un sottoinsieme W¢V si dice un sottospazio vettoriale di V se
1) W=|=¶
2) W è chiuso rispetto alle operazioni di V
a) ¥w1,w2€W => w1+w2€W
b) ¥l€K, ¥w€W => lw€W
Matrici equivalenti
A,D €M(mxn,k) si dicono equivalenti se £C€M(mxm,k) e £Y€M(nxn,k), V e Y invertibili D=CAY
Matrici simili
A,B€M(nxn,k) si dicono simili se £X€M(nxn,k) invertibile yale che B=X-1AX
Endomorfismo
un’applicazione lineare F:V–>V si dice un operatore lineare o un endomorfismo di V
Matrice simmetrica
A€M(n,k) A si duce simmetrica se A=tA
Matrice antisimmetrica
A€M(n,k) si dice alternante o antisimmetrica se A=-tA
autovalore
sia V uno spazio vettoriale su K f:V–>V un operatore lineare
uno scalare l€K si dice un autovalore di f se £v=|=0 v€V tale che f(v)=lv
autovettori e autospazi
sia f:V–>V un operatore lineare e sia l€K un autovalore di f
un vettore v€V si dice autovettore di f rispetto a l o l-autovettore se f(v)=lv V(l)={autovettori di f rispetto a l}={v€V|f(v)=lv} l-autospazio di f o autospazio di f relativo a l
f(v)=lv <=> f(v)-lv=0 <=> (f-lIdV)(v)<=>v€Ker(f-lIdV)
V(l)=Ker(f-lIdv) è un sottospazio vettoriale di V
buon ordinamento
un insieme ordinato con le proprietà 1),2) si dice bene ordinato e l’ordinamento si dice buon ordinamento
1) è totalmente ordinato
2) ogni sottoinsieme =|=¶ ha un minimo
combinazione lineare
V spazio vettoriale su K ¥v1,…vn€V, ¥l1,…ln€M l’espressione $i=1/n livi=l1v1+…+lnvn si dice combinazione lineare dei vettori v1,…vn con gli scalari l1…ln
vettori linearmente indipendenti
i vettori v1…vn€V si dicono linearmente indipendenti se ¥$i=1/n aivi=0=> ai=0 ¥i=1…n
sistema di vettori linearmente indipendenti
S¢V si dive sistema di vettori linearmente indipendenti <=> ogni sottoinsieme finito di S è fatto di vettori l.I.
base
sia V uno spazio vettoriale su K una base di V è un sistema di generatori linearmente indipendenti
dimensione di uno spazio vettoriale
se V è uno spazio vettoriale su M finitamente generato => si definisce la dimensione di V come la cardinalità di una qualunque sua base
se V={0} si definisce la dimV=0
se V non è finitamente generato si def. dim V=$
matrice
una matrice mxn è una tabella di elementi in K
matrice identica o identità
In€M(n,k) In=(1001) In (In)ij=dij (delta di Kronecker) = 1 se i=j 0 se i =|=j
trasposta di una matrice
¥A€M(mxn,k) tA€M(nxm,k) (tA)ij=aji
span
V spazio vettoriale su K {v1,…vk}¢V il sottospazio di V generato da {v1,…vk} si dice soan {v1,…vk} span{v1,…vk}=^v1,…vk^={v€V/£a1,…ak€K/v=$i=1/k aivi}={$i=1/k aivi/ ai€K, ¥i=1…k} span{v1,…vk}=W è un sottospazio vettoriale di V
somma di sottospazi
V spazio vettoriale su K W1,W2¢V sottospazi W1+W2:={v€V/£w1€W1 e £w2€W2/v=w1+w2}={w1+w2/w1€W1 e w2€W2}
somma diretta
la somma W1+W2 si dice diretta se W1&W2={0} e in questo caso si indica con W1©W2
W1+…Wk è una somma diretta <=> ¥i=2…k (W1+…Wi-1)&Wi={0}
applicazione lineare
siano V,W dur spazi vettoriali su K, un’applicazione F:V–>W si dice lineare se valgono
1) ¥ v1,v2€V F(v1+v2)=F(v1)+F(v2)
2) ¥l€K e ¥v€V F(lv)=lF(v)
per induzione F($i=1…k livi) = $i=1…k liF(vi) ¥v1,…vk€V ¥l1,…lk€K
omomorfismo
V,W spazi vettoriali su K Hom(V,W)={f:V–>W lineari} è uno spazio vettoriale su K con le seguenti operazioni
1) (f+g)(v):=f(v)+g(v) ¥v€V
2) (lf)(v):=lf(v) ¥l€K, ¥v€V
isomorfismo
dati V,W spazi vettoriali su K un’applicazione F:V–>W lineare e invertibile si dice un isomorfismo
Ker di un’applicazione lineare
V,W due spazi vettoriali su K F applicazione lineare F:V–>W KerF:={v€V/F(v)=Ow}¢V
Im di un’applicazione lineare
V,W due spazi vettoriali su K F applicazione lineare F:V–>W ImF:={w€W/£v€V:F(v)=w}¢W
Ker di una matrice
sia A€M(mxn,K) KerA:=KerFA, FA:Kn–>Km, Fa((x1…nn))=A(x1…xn) Ker A={(x1…xn)€Kn/A(x1…xn)=0}
Im di una matrice
sia A€M(mxn,K) ImA:=ImFA, FA:Kn–>Km, Fa((x1…nn))=A(x1…xn) Im A={(y1…ym)€Km/£(x1…xn)€Kn/A(x1…xn)=(y1…yn)}
rango di una matrice
sia A€M(mxn,K) rango di A=r(A)=dim(ImA)=dim(ImFA) FA:Kn–>Km, Fa(x)=Ax=dim<A’,…An>
applicazione multilineare
siano V1…Vs,W spazi vettoriali su K un’applicazione F:V1x…Vs–>W si dice multilineare (o s-multilineare) se ¥i=1…s, ¥v1€V1,v2€V2,…vi-1€Vi-1,vi+1€Vi+1,…vs€Vs l’applicazione fi:Vi–>W, fi(x)=f(v1,…vi-1,x,vi+1,…vn) è lineare, cioè ¥x,y€Vi, ¥l,m€K fi(lx+my)=lfi(x)+mfi(y)<=>f(v1…vi-1,lx+my,vi+1,…vs)=lf(v1,…vi-1,x,vi+1,…vs)+mf(v1,…vi-1,y,vi+1,…vs)
forma multilineare
se W=K, un’applicazione multilineare f:V1x…Vs–>K si dice una forma multilineare
determinante
det:M(nxn,K)–>K
per n=1
A€M(1x1,K) A=(a) detA=det(a):=a
per n>1
A€M(nxn,K) A=(aij)i,i=1…n ¥ij A^ij=l matrice(n-1)x(n-1) ottenuta da A cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima
supponiamo di aver definito il determinante per matrici (n-1)(n-1)=>detA=$(j=1…n) (-1)^1+j•a1jdet(A^1j)
sottomatrice
sia M€M(mxn,k) una sottomatrice N di M è una matrice che si ottiene cancellando un certo numero di righe e uh certo numero di colonne di M
minore
un minore kxk di una matrice M€M(mxn,K) è il determinante di una sottomatrice kxk di M
spazio duale
sia V uno spazio vettoriale su K
il diale di V V^v=V*={f:V–>K lineare}
spazio biduale
V spazio vettoriale su K V=(V)^={l:V*–>K lineari}
autovalore di una matrice
sia A€M(nxn,K) l€K si dice un autovalore di A se £x€Kn, x=|=0 tale che Ax=lx <=> l è un autovalore per l’operatore lineare FA:Kn–>Kn
V(l)={x€Kn/Ax=lx}=Ker(A-lIn)
polinomio carattetistico
PA(x):=det (A-xIn)€K[x] A€M(nxn,K)
traccia di A
A€M(n,k) tr(A):=$(i=1/n) aii
spettro di un operatore lineare
se f:V–>V operatore (o endomorfismo) V spazio vettoriale su K spettro di f:={l€K/l autovalore di f}={l€K/f-lIdV non è invertibile}
matrice diagonalizzabile
una matrice A€M(n,K) di dive diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale, cioè se £C€GL(n,K) tale che C-1AC=D=(d1…dn/0/0)
molteplicità geometrica
A€M(n,K), l€K autovalore di A la molteplicità geometrica di l = mg(l):=dimV(l)=dimKer(A-lIn)
molteplicità algebrica
A€M(n,k), l€K autovalore di A la molteplicità algebrica di l=ma(l) PA(x)=(x-l)^k•q(x)=(x-l)^ma(l)•q(x) q(l)=|=0
matrice ortogonale
A€M(n,k) si dice ortogonale se AtA=tAA=In <=> A è invertibile e tA=A-1
polinomio carattetistico di un operatore lineare
sia V uno spazio vettoriale su K di dim.n f:V–>V operatore lineare sia B={v1,…vn} una vase di V A=(MF)BB Pf(x)=PA(x)€k[x]
matrice nilpotente
una matrice A€M(nxn,K) di dice nilpotente se £m>0 tale che A^m=0
matrice associata ad un’applicazione lineare
la matrice associata ad F belle basi B in partenza e L in arrivo è la matrice A=(aij) la cui colonna j-esima è il vettore colonna delle coordinate di F(vj) rispetto alla base L
operatore aggiunto
sia (V,h) uno spazio vettoriale hermitiano dimV=n<+$ sia f:V–>V un operatore lineare allora £! f:V–>V operatore lineare tale che ¥v,w€V h(f(v),w)=h(v,f(w) f* si dice l’operatore aggiunto di f rispetto al prodotto hermitiano h
operatore autoaggiunto
f:V–>V operatore si dice autoaggiunto se f=f*
operatore unitario
f:V–>V operatore si dice unitario se f=f-1 <=> f°f=f*°f=IdV
operatore normale
f:V–>V operatore si dice normale se f°f=f°f
gruppo unitario
U(n)={A€M(n,C)/AA=AA=In}
blocco di Jordan
un blocco di Jordan kxk con autovalore l€K è una matrice di questa forna: (l…l/1…1/0/0)
forma canonica di Jordan
n€|N n>=1 k campo, A€M(n,k) si dice in forma canonica di Jordan se è una matrice a blocchi sulla diagonale i cui blocchi sono blocchi di Jordan
operatore nilpotente
f:V–>V operatore f si dice nilpotente se £m>0 tale che f^m=0
Ker e Im di f^$
dim(K)V=n<$ f:V–>V operatore sia k il minimo intero positivo tale che Kerf^k=kerf^k+1(=>Imf^k=Imf^k+1) kerf^$:=kerf^k, Imf^$=Imf^k
forma bilineare
V,W due spazi vettoriali su K fy:VxW–>K si dice una forma bilineare se ¥v€V fyv:W–>K, fyv(w):=fy(v,w) è lineare e ¥w€W fyw:V–>K, fyw(v):=fy(v,w) è lineare
matrice associata a una forma bilineare
se dim V=m e dim W=n B={v1,…vm} base di V e B’={w1,…wn} base di W fy:VxW–>K forma bilineare => la matrice associata a fy nelle basi B di V e B’ di W è (aij)i=1…m e j=1…n aij:=fy(vi,vj)
matrici congruenti
¥A,D € M(nxn,K), A si dice congruente a D se £ C€GL(n,k) tale che A=tCDC
forma bilineare simmetrica
V spazio vettoriale su K fy:VxV–>K forma bilineare si dice simmetrica se ¥u,v€V fy(v,u)=fy(u,v)
fyA:KnxKn–>K fyA(x,y)=txAy fyA simmetrica <=> A=tA <=> A simmetrica
forma bilineare antisimmetrica
V spazio vettoriale su K fy:VxV–>K forma bilineare si dice antisimmetrica se ¥u,v€V fy(v,u)=-fy(u,v)
fyA:KnxKn–>K fyA(x,y)=txAy fyA antisimmetrica <=> A=-tA <=> A antisimmetrica
forma bilineare non degenere
fy:VxV–>K bilineare non degenere se ¥v=|=0 £w€V tale che fy(v,w)=|=0 e fy(w,v)=|=0
fy non degenere se ¥v=|=0 £w,w’€V tale che fy(v,w)=|=0 r fy(w’,w)=|=0
spazio nullo di una forma bilineare
sia fy:VxV–>K forma bilineare simmetrica (o alternante) lo spazio nullo di fy V(fy,0):={v€V/fy(v,w)=0 ¥w€V}
=fy(w,v) se fy è simmetrica
=-fy(w,v) se fy è antisimmetrica
indice di nullità
n0=indice di nullità = dim V(fy,0)
forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica
V spazio vettoriale su K fy:VxV–>K forma bilineare simmetrica
la forma quadratica associata a fy è q:V–>K q(v)=fy(v,v) ¥v€V
base ortogonale
fy:VxV–>K forma bilineare simmetrica B={v1,…vn} base di V si dice una base ortogonale per fy, se la matrice associata a fy in questa base è diagonale <=> fy(vi,vj)=0 ¥i=|=j <=> ¥v€V v=$(i=1…n)xivi q(v)=$(i=1…n)aixi^2 ai=fy(vi,vi)
indice di nullità di una forma quadratica
q:V–>K forma quadratica dimV=n B={v1,…vn} una base di V e sia A la matrice simmetrica associata a q nella base scelta => r(q):=r(A) n0(q)=n-r(A)=dimKerA
forma bilineare simmetrica definita positiva
sia V uno spazio vettoriale di dim. n e sia fy:VxV–>|R una forma bilineare simmetrica, q:V–>|R forma quadratica associata
fy o q è definita positiva se ¥v€V fy(v,v)=q(v)>=0 e q(v)=fy(v,v)=0 <=> v=0
forma bilineare simmetrica semidefinita positiva
fy o q è semidefinita positiva se ¥v€V fy(v,v)=q(v)>=0
forma bilineare simmetrica semidefinita negativa
fy o q è semidefinita negativa se ¥v€V fy(v,v)=q(v)<=0
forma bilineare simmetrica indefinita
fy o q si dice indefinita se £ v,w€V: q(v)=fy(v,v)>0 e q(w)=fy(w,w)<0
matrice definita positiva
A€M(n,|R), A=tA A si dice definita positiva<=> fyA lo è
fyA:|R^nx|R^n–>|R fyA(x,y)=txAy qA:|R^n–>|R qA(x)=txAx
segnatura di una forma quadratica
sia V uno spazio vettoriale reale di dim.n q:V–>|R forma quadratica F+(q):={U¢V sottospazi tali che q|U>0} F-(q):={U¢V sottospazi tali che q|U<0} n+(q)=massima dimensione di un U€F+(q) n-(q)=maxdimU(U€F-(q) segnatura di q:=(n+(q),n-(q))
spazio vettoriale euclideo
una coppia (V,g) con V spazio vettoriale reale e g:VxV–>|R forma bilineare simmetrica definita positiva si dice uno spazio vettoriale euclideo g(v,v)>0 ¥v=|=0 g(v,v)=0<=> v=0
Norma di v
||v||=√g(v,v)
distanza tra vettori
(V,g) spazio vettoriale euclideo ¥v,w€V d:VxV–>|R s(v,w):=||v-w||
isometria
f:|R^n–>|R^n si dice un’isometria se è suriettiva e ¥v,w€|R^n d(f(v),f(w))=d(v,w) d(v,w)=||v-w||=√fy(v-w,v-w)
gruppo ortogonale
O(n)={A€(n,|R)/tAA=AtA=In}
sottospazio ortogonale
(V,g) spazio vettoriale euclideo W¢V sottospazio vettoriale W✓={v€V/g(v,w)=0 ¥w€W}
prodotto hermitiano
sia V uno spazio vettoriale su |C, un prodotto hermitiano su V è un’applicazione h:VxV–>|C tale che:
1) ¥v1,v2€V ¥w€V h(v1+v2,w)=h(v1,w)+h(v2,w)
2) ¥v1,v2€V ¥w€V h(w,v1+v2)=h(w,v1)+h(w,v2)
3) ¥l€|C, ¥v€V,¥u€V h(lv,u)=lh(v,u)
4) ¥l€|C,¥v€V,¥u€V h(v,lu)=l^|h(v,u)
5) ¥w,v€V h(v,w)=|^h(w,v)
6) ¥v€V h(v,v)>=0 e h(v,v)=0 <=> v=0
matrice hermitiana
H€M(n,|C) tale che H=H*=tH^| => H si dice hermitiana
spazio affine
sia V uno spazio vettoriale su campo K dimV=n<$ uno spazio affine A| con spazio vettoriale associato V è un insieme non vuoto tale che £f:A|xA|–>V tale che
1) ¥P€A|, ¥v€V £! Q€|A tale che f(P,Q)=PQ–>=v
2) ¥P,Q,R€A| PQ–>+QR–>=PR–>
dimensione dello spazio affine
A| spazio affine su V, V spazio vettoriale su K dim A|:=dimV=n
sistema di coordinate affini
A| spazio vettoriale affine su uno spazio vettoriale V di dim=n
un sistema di coordinate affini (riferimento affine) è la scelta di un punto O€|A e di una base {v1…vn} di V si denota con Ov1,…vn
sottospazio affine
A| uno spazio affine su V spazio vettoriale su K sianQ€A| e W¢V sottospazio vettoriale il sottospazio affine passante per Q con giacitura W è S={P€A|/QP–>€W}
dimensione di un sottospazio affine
A| spazio affine di dim.n su V S sottospazio affine passante per Q €A con giacitura W ¢V sottospazio => dim S=dim W<=dim V=dim A| e dim S=dim A|<=> W=V<=> S=A|
sottospazio affine generato da punti
sia A| uno spazio affine su V spazio vettoriale su K, dimV=n siamo P0,…Pr punti su A| il sottospazio affine generato da P0,…Pr è il sottospazio affine passante da P0 con giacitura {P0P1–>, … P0Pr} e si indica con P0…Pr—-
punti affinemente indipendenti
P0,…Pr si dicono (affinemente) indipendenti se dim P0…Pr—=r <=> {P0P1—>,…P0Pr—>} sono l.I
sottospazi affini paralleli
S,T¢A| sottospazi affini sinA| spazio affine con giaciture rispettivamente U e W S e T si dicono paralleli se o U¢W o W¢U si indica con S//T se dim S=dim T allora S//T <=> U=W
sottospazi affini sghembi
S,T¢A| sottospazi affini di A S e T non paralleli, allora S e T si dicono sghembi se S&T=¶
sottospazi affini incidenti
S,T¢A| sottospazi affini di A S e T non paralleli, allora S e T si dicono incidenti se S&T=|=¶
spazio affine euclideo
sia |E uno spazio affine reale con spazio vettoriale associato V, dimV=n |E si dice uno spazio (affine) euclideo se V è uno spazio vettoriale euclideo<=> su V è data una forma quadratica definita positiva
