Definizioni Flashcards
Applicazione invertibile
un’applicazione f:A–>B si dice invertibile se £g:B–>A tale che gof=IdA e fog=IdB
relazione di equivalenza su A
A un insieme e R(x,y) una relazione su A cioè una proposizione che dipende da due variabili in A si dice:
1) riflessiva se ¥x€A R(x,x) vera
2) simmetrica se ¥(x,y)€A se R(x,y)vera=>R(y,x) vera
3) transitiva se ¥x,y,z€A tali che R(x,y) e R(y,z) vera => R(x,z) vera
una relazione che è ruflessiva, simmetrica e transitiva si dice una relazione di equivalenza su A
Classe di equivalenza
x€A A insieme [x]={y€A/x~y}¢A [x]€P(A)
Insieme quoziente
F={[x]/x€A} F¢P(A)
Partizione di un insieme
A insieme una famiglia di sottoinsiemi di A con le proprietà 1),2),3) ai sice una partizione di A, una relazione di equivalenza su un insieme A individua una partizione di A
1) ¥X€F X=|=¶ perché X€F<=>£x€A:X=[x]=>x€[x]=X
2) se X,Y €F se X=|=Y=>X&Y=¶
3) U(X€F)X=A
esm F=A/~ –> insieme quoziente di A rispetto alla relazione di equivalenza
preordinamento
un preordinamento su A è una relazione su A che gode della proprietà riflessiva e transitiva
ordinamento
un preordinamento che gode anche della proprità antisimmetrica si dice un ordinamento
proprietà antisimmetrica
una relazione si dice antisimmetrica se R(x,y) e R(y,x) => x=y
ordinamento totale
(A,<=) insieme ordinato l’ordinamento si dice totale se ¥x,y€Aa o x<=y o y<=x
catena
un sottoinsieme k di A che sia totalmente ordinato con <= si dice una catena
gruppo
un insieme G si dice un gruppo se G è munito di un’applicazione °:GxG–>G (g,h)|–>g°h e di un elemento e€G che si dice elemento neutro che godono delle seguenti proprietà:
1) associatività ¥g,h,k€F (g°h)°k=g°(h°k)
2) elemento neutro ¥x€G x°e=e°x=x
3) esistenza dell’inverso ¥x€G £x€G tale che x°x=x°x=e xsi dice l’inverso di x
gruppo abeliano
un gruppo si dice abeliano se vale ¥x,y€G x°y=y°x
Anello con unità
un anello con unità è un insieme R munito di due operazioni +•RxR–>R e di due elementi speciali fissati, 0€R, 1€R tali che
1) (R,+) gruppo abeliano con 0 come elemento neutro
2) prodotto è associativo ¥a,b€R (a•b)•c=a•(b•c)
3) identità x•1=1•x=x
4) proprietà distributiva ¥x,y,z€R (x+y)•z=xz+yz x•(y+z)=xy+xz
Anello commutativo con unità
valgono 1),2),3),4),5)
5) commutatività del prodotto ¥x,y€R x•y=y•x
Campo
valgono 1),2),3),4),5),6)
6) inverso moltiplicativo ¥x€R tale che x=|=0 £x€R:x•x=x*•x=1
norma di z
z=a+ib ||z||=√(a2+b2)
coniugato di z
z^|=a-ib
spazio vettoriale
uno spazio vettoriale V su campo K è un insieme con due applicazioni: +:VxV–>V m:KxV–>V tali che
1) (V,+) è un gruppo abeliano
2) m(l,v)=:l•v ¥l€K, ¥v€V moltiplicazione per uno scalare
proprietà
a) l•(v+w)=l•v+l•w ¥l€K ¥v,w€V
b) (l+m)•v=l•v+m•v (somma nel campo, somma nello spazio vettoriale) ¥l,m€K, ¥v€V
c) l•(m•v)=(l•m)•v ¥l,m€K, ¥v€V
d) 1•v=v ¥v€V
sistema di generatori
S¢V un sottoinsieme si dice un sistema di generatori per V se tutti gli elementi di V si possono scrivere come combinazioni lineari di elementi di S <=>¥v€V £v1,…vk€S £l1,…lk€K tali che v=l1v1+…+lkvk
spazio finitamente generato
lo spazio vettoriale V si dice finitamente generato se £S¢V S finito r S sistema di generatori
matrice invertibile
¥A€M(nxn,k) si dice invertibile<=>£B€M(nxn,k) tale che AB=BA=In
se A è invertibile=> £! B come sopra che si chiama la matrice inversa di A e si indica con A-1
Sottospazio vettoriale
sia V uno spazio vettoriale su K, un sottoinsieme W¢V si dice un sottospazio vettoriale di V se
1) W=|=¶
2) W è chiuso rispetto alle operazioni di V
a) ¥w1,w2€W => w1+w2€W
b) ¥l€K, ¥w€W => lw€W
Matrici equivalenti
A,D €M(mxn,k) si dicono equivalenti se £C€M(mxm,k) e £Y€M(nxn,k), V e Y invertibili D=CAY
Matrici simili
A,B€M(nxn,k) si dicono simili se £X€M(nxn,k) invertibile yale che B=X-1AX
Endomorfismo
un’applicazione lineare F:V–>V si dice un operatore lineare o un endomorfismo di V
Matrice simmetrica
A€M(n,k) A si duce simmetrica se A=tA
Matrice antisimmetrica
A€M(n,k) si dice alternante o antisimmetrica se A=-tA
autovalore
sia V uno spazio vettoriale su K f:V–>V un operatore lineare
uno scalare l€K si dice un autovalore di f se £v=|=0 v€V tale che f(v)=lv
autovettori e autospazi
sia f:V–>V un operatore lineare e sia l€K un autovalore di f
un vettore v€V si dice autovettore di f rispetto a l o l-autovettore se f(v)=lv V(l)={autovettori di f rispetto a l}={v€V|f(v)=lv} l-autospazio di f o autospazio di f relativo a l
f(v)=lv <=> f(v)-lv=0 <=> (f-lIdV)(v)<=>v€Ker(f-lIdV)
V(l)=Ker(f-lIdv) è un sottospazio vettoriale di V
buon ordinamento
un insieme ordinato con le proprietà 1),2) si dice bene ordinato e l’ordinamento si dice buon ordinamento
1) è totalmente ordinato
2) ogni sottoinsieme =|=¶ ha un minimo
combinazione lineare
V spazio vettoriale su K ¥v1,…vn€V, ¥l1,…ln€M l’espressione $i=1/n livi=l1v1+…+lnvn si dice combinazione lineare dei vettori v1,…vn con gli scalari l1…ln
vettori linearmente indipendenti
i vettori v1…vn€V si dicono linearmente indipendenti se ¥$i=1/n aivi=0=> ai=0 ¥i=1…n
sistema di vettori linearmente indipendenti
S¢V si dive sistema di vettori linearmente indipendenti <=> ogni sottoinsieme finito di S è fatto di vettori l.I.
base
sia V uno spazio vettoriale su K una base di V è un sistema di generatori linearmente indipendenti
dimensione di uno spazio vettoriale
se V è uno spazio vettoriale su M finitamente generato => si definisce la dimensione di V come la cardinalità di una qualunque sua base
se V={0} si definisce la dimV=0
se V non è finitamente generato si def. dim V=$
matrice
una matrice mxn è una tabella di elementi in K
matrice identica o identità
In€M(n,k) In=(1001) In (In)ij=dij (delta di Kronecker) = 1 se i=j 0 se i =|=j
trasposta di una matrice
¥A€M(mxn,k) tA€M(nxm,k) (tA)ij=aji
span
V spazio vettoriale su K {v1,…vk}¢V il sottospazio di V generato da {v1,…vk} si dice soan {v1,…vk} span{v1,…vk}=^v1,…vk^={v€V/£a1,…ak€K/v=$i=1/k aivi}={$i=1/k aivi/ ai€K, ¥i=1…k} span{v1,…vk}=W è un sottospazio vettoriale di V
somma di sottospazi
V spazio vettoriale su K W1,W2¢V sottospazi W1+W2:={v€V/£w1€W1 e £w2€W2/v=w1+w2}={w1+w2/w1€W1 e w2€W2}
somma diretta
la somma W1+W2 si dice diretta se W1&W2={0} e in questo caso si indica con W1©W2
W1+…Wk è una somma diretta <=> ¥i=2…k (W1+…Wi-1)&Wi={0}
applicazione lineare
siano V,W dur spazi vettoriali su K, un’applicazione F:V–>W si dice lineare se valgono
1) ¥ v1,v2€V F(v1+v2)=F(v1)+F(v2)
2) ¥l€K e ¥v€V F(lv)=lF(v)
per induzione F($i=1…k livi) = $i=1…k liF(vi) ¥v1,…vk€V ¥l1,…lk€K
omomorfismo
V,W spazi vettoriali su K Hom(V,W)={f:V–>W lineari} è uno spazio vettoriale su K con le seguenti operazioni
1) (f+g)(v):=f(v)+g(v) ¥v€V
2) (lf)(v):=lf(v) ¥l€K, ¥v€V
isomorfismo
dati V,W spazi vettoriali su K un’applicazione F:V–>W lineare e invertibile si dice un isomorfismo
