Definizioni Flashcards
Funzione
Relazione tra gli elementi di A e gli elementi di B che associa ad ogni elemento di A un solo elemento di B
Funzione suriettiva
f:A➡️B suriettiva ↔️ f(A)=B, ¥b€B £a€A/b=f(a)
Funzione iniettiva
ai=|=a2➡️f(a1)=|=f(a2) ¥a1,a2€A
¥b€f(A) £!a€A/f(a)=b
Funione biiettiva
¥b€B £!a€A/b=f(A)
Grafico di una funzione
Graf(f)={(x,y) € |Rx|R/x€A e y=f(x)}
Epigrafico di una funzione
Graf(f)={(x,y) € |Rx|R/x€A e y>=f(x)}
Maggiorante
k€|R k è maggiorante di A quando k>=a ¥a€A
Minorante
k€|R k è minorante di A quando k<=a ¥a€A
Massimo
k€A k è massimo di A quando k>=a ¥a€A
Minimo
k€A k è minimo di A quando k<=a ¥a€A
Estremo superiore
k€|R k è l’estremo superiore di A quando k è il minimo dei maggioranti di A
Estremo inferiore
k€|R k è l’estremo inferiore di A quando k è il mssimo dei minoranti di A
Superiormente limitato
A è superiormente limitato quando £ un maggiorante
Inferiormente limitato
A è inferiormente limitato quando £ un minorante
Limitato
A è limitato quando è sia superiormente che inferiormente limitato
Intorno aperto
intorno di x0 € |R con raggio r>0 {x€|R/d(x,x0)<r}
Intorno chiuso
intorno di x0 € |R con raggio r>0 {x€|R/d(x,x0)<=r}
Punto di accumulazione
A¢=|R A=|=@ x0€|R x0 è punto di accumulazione per A quando ¥r>0 £a€A/d(a,x0)<r
Punto isolato
A¢=|R A=|=@ x0€A x0 punto isolato quando £r>0/¥a€A a=|=x0 si ha che d(a,x0)>r
Funzione superiormente limitata
f:A➡️Ry è superiormente limitata ↔️ f(A) è superiormente limitato
Funzione inferiormente limitata
f:A➡️Ry è inferiormente limitata ↔️ f(A) è inferiormente limitato
Funzione limitata
f:A➡️|Ry è limitata ↔️f(A) è limitato
↔️£ c’>0/|f(x)|<=c’ ¥x€A
Punto di massimo globale o assoluto
f:A➡️|R x0€A x0 è un punto di massimo (globale o assoluto) quando f(x0)=maxf, quando f(x0)>=f(x) ¥x€A
Punto di minimo globale o assoluto
f:A➡️|R x0€A x0 è un punto di minimo (globale o assoluto) quando f(x0)=minf, quando f(x0)<=f(x) ¥x€A
Punto di massimo relativo o locale
f:A➡️|R x0€A x0 è un punto di massimo relativo o globale quando £r>0 / f(x0)>=f(x) ¥x€A&(x0-r,x0+r)
Punto di minimo relativo o locale
f:A➡️|R x0€A x0 è un punto di minimo relativo o globale quando £r>0 / f(x0)<=f(x) ¥x€A&(x0-r,x0+r)
Funzione periodica
f:|R➡️|R f è periodica con periodo T>0 quando f(x+T)=f(x) ¥x€|R
Funzione pari
A¢=|R A=|=@ A è simmetrico rispetto all’origine quando x€A–>-x €A f:A–>|R con A simmetrico è pari quando f(-x)=f(x) ¥x€A
Funzione dispari
A¢=|R A=|=@ A è simmetrico rispetto all’origine quando x€A–>-x €A f:A–>|R con A simmetrico è dispari quando f(-x)=-f(x) ¥x€A
Funzione monotòna strettamente crescente
f:A–>|R è monotòna strettamente crescente quando x1<x2 –> f(x1)<f(x2)
Funzione monotòna crescente
f:A–>|R è monotòna crescente quando x1<x2 –> f(x1)<=f(x2)
Funzione monotòna descrescente
f:A–>|R è monotòna decrescente quando x1<x2 –> f(x1)>=f(x2)
Funzione monotòna strettamente descrescente
f:A–>|R è monotòna strettamente descrescente quando x1<x2 –> f(x1)>f(x2)
Funzione lipschitziana
f:A–>|R è lipschitziana quando £cL >0 / ¥x1,x2 €A |f(x1)-f(x2)|<=cL|x1-x2|
Successione limitata
{an}n€N è limitata quando £ un maggiorante e un minorante di {an:n€N}, £ k© e k® / k®<=an<=k© ¥n€N, £c>0 / |an|<= c ¥n€N
Successione periodica
{an}n€N è periodica con periodo m€|N m>0 quando an+m=an ¥n€N
Successione monotona
{an}n€N è monotòna crescente quando an+1>=an ¥n€N
Limite l per una successione
{an}n€N lim(n–>+$)an=l€|R quando ¥e>0 £n©€|N / |an-l|<=e ¥n>=n©
Limite +$ per una successione
{an}n€N an–>+$ quando ¥k>0 £n©€|N / an>=k ¥n>=n©
Limite -$ per una successione
{an}n€N an–>-$ quando ¥k>0 £n©€|N / an<=k ¥n>=n©
Limite l+ per una successione
{an}n€N an–>l+ quando ¥e>0 £n©€|N / l<=an<=l+e ¥n>=n©
Limite l- per una successione
{an}n€N an–>l- quando ¥e>0 £n©€|N / l-e<=an<=l ¥n>=n©
Successione di Cauchy
{an}n€N è una successione di Cauchy quando ¥e>0 £n©€|N/|an-am|<e ¥n,m>=n©
Limite superiore di una successione
lim(n–>$)supan=lim(k–>$)sk=lim(k–>$)sup(n>=k)an
Limite inferiore di una successione
lim(n–>$)infan=lim(k–>$)ik
Limite l per una funzione
lim(x–>$)f(x)=l€|R quando ¥e>0 £x©€A/|f(x)-l|<e ¥x>x© x€A
Limite +$ per una funzione
lim(x–>$)f(x)=+$ quando ¥k>0 £xk€|R/f(x)>k ¥x>xk x€A
Limite -$ per una funzione
lim(x–>$)f(x)=-$ quando ¥k<0 £xk€|R/f(x)<k ¥x>xk x€A
Funzione definitivamente limitata
£c e x©€A /|f((x)|<=c ¥x>=x© x€A
Limite a -$ per una funzione
lim(x–>-$) f(x)=€|Rl auando ¥e>0 £x©€A/|f(x)-l|<e ¥x<=x©
Limite l per un punto di accumulazione
lim(x–>x0)f(x)=l€|R quando ¥e>0 si ha |f(x)-l|<e>x0, ¥e>0 £r>0 r€|R/ |f(x)-l|<e per |x-x0|<r e x=|=x0</e>
Limite a +$ per un punto di accumulazione
Lim(x–>x0)f(x)=+$ quando ¥M>0 si ha f(x)>M definitivamente per x–>x0, ¥M>0 £r>0 r€|R / f(x)>M ¥x€A&(x0-r, x0+r){x0}
Funzione di Dirichlet
f(x)={1 se x €|Q, 0 se x €|R|Q
Limite destro per un punto di accumulazione
lim(x–>x0+)f(x)=-$ quando ¥M<0 £r©>0/f(x)<M ¥x€(x0,x0-r©)&A
Continuità puntuale
f:A–>|R x0€A x0 punto di accumulazione di A f continua in x0 quando lim (x–>x0) f(x) = f(x0)
I. lim f(x)=l€|R “limite esiste ed è finito”
II. l=f(x0)
Funzione continua
f:A–>|R è continua quando f è continua in ogni punto x0 del suo dominio
Funzione continua (altra definizione)
f:A–>|R è continua quando ¥e>0 £d>0 / |f(x)-f(x0)|<e ¥x€A&(x0-d,x0+d)
Funzione continua da destra
f:A–>|R x0€A x0 punto di accumulazione di A da destra f è continua da destra in x0 quando lim(x–>x0)f(x)=f(x0)
Funzione uniformemente continua
f:A–>|R è uniformemente continua quando ¥e>0 £d>0/|f(x)-f(x0)|<e ¥x,x0€A/|x-x0|<d
Serie
{an}n€N N={n€|N n>=n0} la serie di {an}n€N si indica con $ rappresenta lim(k–>$)sk dove sk=k, $ = lim (k–>$)skkn{sk}k€N
Derivabilità
f:A–>|R x0€A punto di accumulazione f è derivabile in x0 quando lim(x–>x0)f(x)-f(x0)/x-x0 (rapporto incrementale) esiste finito
Derivabilità da destra
f:A–>|R x0€A punto di accumulazione destro f è derivabile a/da destra in x0 quando lim(x–>x0+)f(x)-f(x0)/x-x0 esiste finito
Differenziabilità
f:A–>|R x0€A f è differenziabile in x0 quando £m€|R/f(x)=f(x0)+m(x-x0)+o(x-x0) per (x–>x0) f(x0)+m(x-x0)=p(x)
Punto critico o stazionario
f:A–>|R x0 punto di accumulazione (x0 punto di continuità, x0 punto di derivabilità) x0 è un punto critico o stazionario quando f’(x0)=0
Punto angoloso
f:A–>|R x0 punto di accumulazione (x0 punto di continuità) x0 è un punto angoloso quando f’+(x0)=|=f’-(x0) f’+(x0),f’-(x0)€|R
Punto di cuspide
f:A–>|R x0 punto di cuspide quando lim(x–>x0+)f(x)-f(x0)/x-x0=+-$ e lim(x–>x0-)f(x)-f(x0)/x-x0=-+$
Punto a tangente verticale
f:A–>|R x0 punto di accomulazione (x0 punto di continuità) punto a tangente verticale quando lim(x–>x0)f(x)-f(x0)/x-x0=+-$
Funzione convessa
f:I–>|R I è un intervallo f è convessa quando ¥x0,x1€I si ha f(tx1+(1-t)x0)<=tr(x1)+(1-t)f(x0) ¥t€(0,1)
Funzione strettamente convessa
f:I–>|R I è un intervallo f è strettamente convessa quando ¥x0,x1€I si ha f(tx1+(1-t)x0)<tr(x1)+(1-t)f(x0) ¥t€(0,1)
Funzione concava
f:I–>|R I è un intervallo f è concava quando ¥x0,x1€I si ha f(tx1+(1-t)x0)>=tr(x1)+(1-t)f(x0) ¥t€(0,1)
Polinomio di Taylor
f derivabile n-volte in x0. Il polinomio di Taulor di ordine n e centro x0 è Tn(x)=S(k=0…n)al(x-x0)^k ak=f(k)(x0)/k!
Integrabilità
look up sheet
