definitions Flashcards
Ekvivalentne sustavy rovnic
(A|b) a (A’|b’) r rovnic o s neznámých su ekvivalentne, ked pre kazdy vektor x z F plati: A.x = b IFF A’.x = b’
p
p
Skalarny sucin
je zobrazenie, store dvojici vektorov priradi realne cislo, pre ktore plati:
- =
- = suma ai
- = 0 IFF x = 0
Vektorovy sucin
majme lin. priestor Rn a zoznam vektorov (x1,x2…xn-1)
vektorovy sucin tohto zoznamu znacime x(x1,x2…xn-1), je potom taky vektor v, pre ktory plati: vT.x = = det(x1,x2…xn-1,x), pre vsetky x z Rn
Ortogonalita vektorov
(kolmost) x a y su ortogonalne, IFF (x|y) = 0
Ortogonalna baza
baza lin. priestoru L je ortogonalna IFF pre kazdu dvojicu bazovych vektorov bi,bj plati: = 0
Gramov determinant
Majme maticu A = (a1,a2,…,ak): Rk->Rn, kde k
Vektor
lubovolny prvok linearneho priestoru
Seznam vektoru
usporiadana mnozina vektorov
Pozitivne definitna matica
stvorcova matica A typu n.n je pozitivne definitna, ked ju mozeme napisat ako A = R.T.R, kde R ma vsetky stlpce lin. nezavisle
Norma vektoru
vektor v ( ||v|| ) je realne cislo, pre ktore plati: ||v|| = sqrt()
Metrika
vektorov x a y ( dis(x,y) ) je realne cislo, pre ktore plati: dis(x,y) = ||x-y||
Permutacia
permutacia mnoziny M je proste zobrazenie na mnozinu M. (Bijekcia -> kazdemu roznemu prvku z M sa priradi prvok z M)
p
p
Determinant stvorcovej matice
Majme stvorcovu maticu A typu n.n nad telesom F, det(A) je potom take cislo z F, pre ktore plati: det(A) =
suma pi z Sn sign(pi). α(pi(1),1).α(pi(2),2),…,α(pi(n), n)
Linearny obal
zoznamu vektorov (x1,x2,…,xn) ( span() ) je mnozina vektorov tak, ze
1) linearny obal prazdneho zoznamu je 0vy vektor
2) linearny obal zoznamu (x1,x2,…,xn) je mnozina vsetkych linearnych kombinacii vektorov zo zoznamu
Linearny podpriestor
W priestoru L je taka mnozina z L ze span(W) ⊆ W
Baza priestoru
L je taka lin. nezavisla mnozina B, pre ktoru plati: span(B) ⊆L
Vlastna hodnotu, vektor a podpriestor
Majme lin. zobrazenie f z L do L, nejake λ z F, vektor x z L, pre ktore plati f(x) = λx a λ je rozna od nuly, x != 0.
potom λ nazyvame vlastna hodnota, x vlastny vektor prislusny vlastnemu cislu λ a span(x) nazyvame vlastny podpriestor L prislusny vlastnej hodnote λ. Znacime eigein λ (x).
Charakteristicky polynom
Majme stvorcovu maticju A typu n.n. charakteristicky polynom matice A je potom det(A - x.En) a znacime ho char A(x).
Linearna kombinacia
zoznamu vektorov (x1,x2,…,xn) a skalarov a1,a2,…,an z F je vektor v, kde v = suma ai.xi
Linearna nezavislost
zoznam vektorov (x1,x2,…,xn) je lin. nezavisly IFF suma ai.xi = 0 prave vtedy, ked a1,a2,…,an = 0, alebo je zoznam prazdny.
Linearna nezavislost
zoznam vektorov je linearne nezavisly IFF nie je linearne zavisly
Algebraicky doplnok posice
determinant Aij = det(a1,..,aj-1,ei,aj+1,…,an) v matica A = (a1,…,an)
Adjugovana matica
pre maticu typu n.n je jej adjugovana matica adj(A) transponovana matica algebraickych doplnkov posic v matici A
Sustava so stvorcovou maticou
rovnici A.x=b, kde A je matica typu n.n nad F hovorime sustava so stvorcovou maticou
Afinni podprostor, smer
Mnozine p + W = {p+x | x z W}, kde W je lin. podpriestor priestoru Rn. Linearnemu priestoru W vravime smer afinneho podpriestoru p+W
Vzajomna poloha afinn. podpriestorov
nech π = p+W a π’ = p’ + W’
- π a π’ su rovnobezne, ked W ⊆ W’, alebo W’ ⊆ W
- π a π’ su roznobezne, ked niesu rovnobezne, ale maju spolocny bod
- π a π’ su mimobezne, ked nie su rovnobezne a nemaju spolocny bod
Dimenzia
mame priestor L a bazu B = (b1,b2,…,bn) kde n z N.
Dimenzia L je potom n, dim(L) = n
Suradnice
vektoru v vzhladom k bazi B su potom take α1, α2, ..., αn ze plati v = suma αi.bi znacime coordB(v) = (α1, α2, ..., αn)T
Linearne zobrazenie
zobrazenie f z L1 do L2 je linearne IFF
f(x+y) = f(x) + f(y)
f(αx) = α.f(x)
pre kazde x,y z L a α z F
Jadro
majme linearne zobrazenie f z L1 do L2. Jadro zobrazenia f ( ker(f) ) je potom mnozina vsetkych x z L1, takych ze
f(x) = 0
Image (obraz)
majme lin. zobrazenie f z L1 do L2. Image zobrazenia f ( im(f) ) je potom mnozina vsetkych y z L2 takych, ze existuje x z L1, ze
f(x) = y
Regularna matica
matica A je regularna (invertibilna) IFF existuje matica A-1 taka, ze plati A.A-1 = En = A-1.A
(obecne plati ze musi byt stvorcova a determinant != 0)
Singularna matica
Matica A je singularna IFF nie je regularna
nie je stvorcova alebo det(A) = 0)
Matica
matica A nad F typu r.s je usporiadana tabulka: ()
linearne zobrazenie A: Fs->Fr
Sucin matic
B.A je matica ktorej j-ty stlpec je B.Ai, kde ai je j-ty stlpec matice A.
(pozriet spravn definiciu)
V stplcovom zapise teda platiL B.A = (B.a1, …, B.as)
vysledna matica bude mat rovnaky pocet stlpcov ako matica A a rovnaky pocet riadkov ako matica B
Monomorfizmus
Lin. zobrazenie f z L1 do L2 je monomorfizmus IFF pre kazde x1, x2 z L1 plati, ked x1 != x2 potom f(x1) != f(x2)
Epiformizmus
lin. zobrazenie f z L1 do L2 je epimofrizmus IFF, pre kazdy y z L2 existuje x z L1 take, ze plati f(x) = y
Isomofrizmus
Lin. zobrazenie je isomorfizmus IFF je epiforfizmus a monomorfizmus zaroven
podobnost matic
Matica A je podobna matici B, pokial existuju matice transformacie suradnic T a T-1, tak, ze plati A = T.B.T-1
Diagonalna matica
Matica ktora ma mimo diagonaly same nuly
diagonalizovatelna matica
lubovolna matica podobna nejakej diagonalnej matici
Nilpotentna matica a index nilpotencie
Matica A je nilpotentna, ked existuje k take, ze Ak je nulova matica, k sa potom nazyva index nilpotencie.
