Definitioner och satser

Question 1

Definiera derivata av en funktion

Answer 1

Antag att funktionen f(x) är definierad i en omgivning av punkten a. Om lim_{h->0} [f(a+h)-f(a)] / h existerar sägs f(x) vara deriverbar i punkten a och gränsvärdet är derivatan i punkten a.

Vi kan även skriva derivatan av f(x) i punkten a som f’(a), df/dx (a) och D(f(a))

Question 2

Formulera summa-, produkt- och kvotreglerna för derivata

Answer 2

Summa-/additionslagen: [f(x)+g(x)]’ = f’(x) + g’(x)

Produktlagen: [f(x)g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

Kvotlagen: [f(x)/g(x)]’ = [f’(x)g(x) - f(x)g’(x)] / [g(x)]^2

Question 3

Formulera sats om derivata till en invers funktion

Answer 3

Antag att funktionen f(x) har en kontinuerlig invers funktion. Om f(x) är deriverbar i punkten x₀ och om f’(x₀) ≠ 0 så är f⁻¹ deriverbar i punkten y₀ = f(x₀) och Df⁻¹= 1 / f’(x)

Question 4

Definiera begreppet partiell derivata för en funktion av flera variabler

Answer 4

Låt a vara en inre punkt i definitionsmängden D till funktionen f av n variabler. Om gränsvärdet

lim ₕ￫₀ [f(a+h ej) - (f)a] / h =
= lim ₕ￫₀ [f(a₁,a₂,…,aⱼ+h,…,aₙ) - f(a₁,a₂,…,aₙ)] / h

existerar så säger vi att f är partiellt deriverbar med avseende på variabeln xⱼ i punkten a. Gränsvärdet kallas den partiella derivatan med avseende på xⱼ av f i punkten a.

[ej är en vektor med 0:or på alla ställen förutom på plats j.]

Question 5

Formulera Cauchys integralkriterium

Answer 5

För en positivt avtagande funktion på [1,∞[ gäller att Σ{ₙ =1 till ∞} f(n) konvergent ⇔ ∫{₁ till ∞} f(x) dx konvergent

Alltså vi kan undersöka vår talföljd genom att integrera den eller tvärtom undersöka vår integral genom att undersöka den som en talföljd.

Question 6

Formulera Cauchys rotkriterium för serier

Answer 6

Antag att serien Σ{k =1 till ∞} ak är sådan att lim_{k -> ∞} |ak|^{1/k} = A för något A ∊ [0,∞)

Om A > 1 ⇒ Σ{k =1 till ∞} ak divergerar

Om A < 1 ⇒ Σ{k =1 till ∞} ak absolutkonvergent

Om A = 1 säger det ingenting om serien

Question 7

Formulera d’Alamberts kvotkriterium för serier

Answer 7

Antag att serien Σ{k =1 till ∞} ak är sådan att ak ≠ 0 för alla k och att

lim_ {k -> ∞} [ |a_{k+1}| ] / [ |ak| ] = A för något A ∊ [0,∞)

Om A > 1 är serien divergent

Om A < 1 är serien aboslutkonvergent

Om A= 1 säger det ingenting om serien

Question 8

Formulera jämförelsekriterium 1 för serier

Answer 8

Antag att 0 ≤ ak ≤ bk för k = 0,1,2 (gäller för positiva serier, därav 0 ≤ ak)

(1) Om Σ{k =0 till ∞} bk är konvergent så är även Σ{k = 0 till ∞} ak konvergent
(2) Om Σ{k = 0 till ∞} ak är divergent så är även Σ{k = 0 till ∞} bk divergent

Question 9

Formulera jämförelsekriterium 2 för serier

Answer 9

Antag att 0 < ak, bk för alla stora k, och antag vidare att
lim_{k -> ∞} ak/bk = A, där A ∊ ]0,∞[.
Då gäller att Σ{k = 0 till ∞} ak är konvergent om och endast om Σ{k = 0 till ∞} bk är konvergent.

Question 10

Definiera absolutkonvergent

Answer 10

Definition: En serie Σ{k = 1 till ∞} ak kallas absolutkonvergent om serien med termernas absolutbelopp Σ{k = 1 till ∞} |ak| är konvergent.

SATS: Σ{k = 1 till ∞} |ak| konvergent ⇒ Σ{k = 1 till ∞} ak konvergent

Question 11

Definiera begreppet underintegral

Answer 11

∫_ {_a ^b} f(x) dx = sup [Φ ≤ f] ∫ {_a ^b} Φ(x) dx

Question 12

Definiera begreppet överintegral

Answer 12

∫^_ {_a ^b} f(x) dx = inf [Ψ ≥ f] ∫ {_a ^b} Ψ(x) dx

Question 13

Definiera vad en trappfunktion är

Answer 13

Vi har en trappfunktion g(x) på intervallet [a,b]
a = x₁ < x₂ < … < xₙ = b
så att g är konstant på varje delintervall ]xₖ₋₁, xₖ[ k=1,2… där cₖ är funktionsvärdet för delintervallet k. (bild)

∫ {_a ^b} g(x) dx = Σ{k = 1 till n} cₖ(xₖ-xₖ₋₁) för k = 1,2…

Alltså en serie med funktionsvärdet cₖ multiplicerat med intervallängden = arean av “trappan”.

Question 14

Formulera integralkalkylens medelvärdessats

Answer 14

f är kontinuerlig på [a,b]. Då finns ⍺,𝛽 ∊ ]a,b[ så att

1 / [b-a] * ∫_ {a ^b} f(x) dx = f(⍺) och
1 / [b-a] * ∫^ {_a ^b} f(x) dx = f(𝛽)

Question 15

Formulera analysens huvudsats / integralkalkylens huvudsats

Answer 15

f är kontinuerlig på [a,b].

Sätt S_(x) = ∫_ {a ^x} f(t) dt och
S^(x) = ∫^_ {_a ^x} f(t) dt

Då gäller att S_‘(x) = f(x) och S^_‘(x) = f(x)

Question 16

Formulera insättningsformeln

Answer 16

Om F är primitiv till f ( F’ = f ) då gäller det att

∫ {_a ^b} f(x) dx = F(b) - F(a)

Question 17

Definiera gränsvärde av en funktion då x ⟶ + ∞

Answer 17

Antag att f(x) är en funktion vars definitionsmängd innehåller godtyckligt stora reella tal. Vi säger att f(x) har gränsvärde A då x -> ∞ om det för varje givet tal ε > 0 finns ett tal ω (beroende av ε) sådant att

x > ω
x ∊ Df ⇒ | f(x) - A | < ε

Vilket också kan skrivas som A - ε < f(x) < A + ε som representerar epsilonkorridoren som funktionen kommer befinna sig inom om x > ω.

Question 18

Definiera gränsvärde av en funktion då x ⟶ a

Answer 18

Låt f vara en funktion och antag att varje omgivning av punkten a innehåller punkter ur Df. Då säges f ha gränsvärdet A då x ⟶ a om det för varje tal ε > 0 finns ett tal 𝜹 > 0 så att

0 < | x - a | < 𝜹
x ∊ Df ⇒ | f(x) - A | < ε

Question 19

Formulera summa-, produkt-, och kvotreglerna för gränsvärden

Answer 19

Om lim_{x -> ∞} f(x) = A och lim_{x -> ∞] g(x) = B så

Summaregeln: lim [f(x) + g(x)] ⟶ A + B

Produktregeln: lim [f(x)g(x)] ⟶ AB

Kvotregeln: lim [f(x)/g(x)] ⟶ A/B om B ≠ 0.

Question 20

Formulera MacLaurins formel

Answer 20

Antag att funktionen f och dess derivator till och med ordning n+1 är kontinuerliga i en omgivning av 0. Då gäller för alla x i denna omgivning

f(x) = f(0) + f’(0)x + [f’‘(0) / 2!]x^2 + … + [f^(n) (0) / n!] x^n + [f^{n+1} (ξ) / (n+1)!] x^{n+1}

för något ξ mellan 0 och x

Question 21

Formulera Integralkalkylens generaliserade medelvärdessats

Answer 21

Om funktionerna f och g är kontinuerliga och om g(x) ≥ 0 i [a,b] så finns ett tal ξ ∊ ]a,b[ så att

∫ {_a ^b} f(x)g(x) dx = f(ξ) * ∫ {_a ^b} g(x) dx

Question 22

Formulera entydighetssatsen för MacLaurins utveckling

Answer 22

Antag att funktionen f och dess derivator till och med ordningen n + 1 är kontinuerliga i en omgivning av x = 0 och att f i denna omgivning är skriven som

f(x) = a₀ + a₁x + a₂ * x^2 + … + aₙx^n + x^{n+1} * B(x)

med en begränsad funktion B(x). Då är MacLaurinutvecklingen av f

ak = f^{k}(0) / k! k = 0, 1, …, n

Question 23

Formulera instängningsregeln för gränsvärden

Answer 23

Om f(x) och g(x) har samma gränsvärde A och om

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)

så har även funktionen h(x) gränsvärdet A.

Question 24

Formulera sammansättningsregeln för gränsvärden

Answer 24

Om lim_{x -> ∞} g(x) = a och om lim_{t -> a} f(t) = A så är

lim_{x -> ∞} f(g(x)) = A

Question 25

Formulera Taylors formel av andra ordningen för funktioner av två variabler

Answer 25

Låf f(x,y) vara en C^3-funktion i den öppna mängden D, och antag att punkten (a,b) tillhör D. Då är

f(a+h,b+k) = f(a,b) + f’x(a,b)h + f’y(a,b)k + 1/2 [f’‘xx(a,b)h^2+2*f’‘xy (a,b)hk + f’‘yy(a,b)k^2] + (h^2+k^2) ^{3/2} * B(h,k)

där B(h,k) är en begränsad funktion i en omgivning av origo.

Question 26

Definiera kontinuitet

Answer 26

En funktion f säges vara kontinuerlig i en punk a om a tillhör definitionsmängden och om gränsvärdet

lim_{x -> a} f(x) = f(a)

[existerar. (kommer vara lika med f(a) om det existerar).]

Om en funktion är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd kallas funktionen för kontinuerlig.

Question 27

Formulera intervallinkapslingssatsen

Answer 27

Låt I_k = [ak,bk] k = 1,2,…
Vara en avtagande följd av slutna intervall på reella axeln då
I₁ ⊇ I₂ ⊇ …

Då existerar både lim_{k -> ∞} ak och lim_{k -> ∞} bk eftersom ak är en växande följd med b₁ som övre begränsning och bk är en avtagande följd med a₁ som undre begränsning.

Om intervallängden, som är bk-ak, går mot 0 när k -> ∞ så är

lim_{k -> ∞} ak = lim_{k -> ∞} bk

Question 28

Formulera satsen om mellanliggande värden

Answer 28

Om den reellvärda funktionen f är kontinuerlig i intervallet a ≤ x ≤ b och f(a) ≠ f(b) så antar f varje värde mellan f(a) och f(b).

alt.

Om f är kontinuerlig på intervallet x ∊ [a,b] då antar f(x) alla värde mellan f(a) och f(b).

Question 29

Formulera Bolzano - Weierstrass sats

Answer 29

Ur varje begränsad talföljd (xk) kan man välja en konvergent delföljd

Question 30

Om en funktion har ett lokal extremvärde i en punkt a så gäller det under vissa förutsättningar att derivatan av f i a är lika med 0

Answer 30

Om funktionen f har lokalt extremvärde i en inre punkt a i definitionsintervallet och om f är deriverbar i a så är
f’(a) = 0

“under vissa förutsättningar” =
f har lokalt extremvärde i en INRE PUNKT a
f är DERIVERBAR i a

Question 31

Formulera Rolles sats

Answer 31

f kontinuerlig i [a,b], f deriverbar på ]a,b[, f(a) = f(b) = 0
Då finns ett ξ ∊ ]a,b[ så att f’(ξ) = 0.

Rolles sats är ett specialfall av medelvärdessatsen

Question 32

Formulera medelvärdessatsen

Answer 32

Antag att f är kontinuerlig i det slutna intervallet [a,b] och deriverbar i det öppna intervallet ]a,b[. Då finns minst en punkt ξ ∊ ]a,b[ så att

f’(ξ) = [ f(b) - f(a) ] / (b-a)

Question 33

Formulera satsen om sambandet mellan derivata och monotonitet

Answer 33

Om funktionen f är deriverbar på ]a,b[ så gäller

I. f’ ≥ 0 på ]a,b[ så är f växande på ]a,b[
≤ avtagande

II. f’ > 0 på ]a,b[ så är f strikt växande på ]a,b[
< strikt avtagande

III. f’ = 0 på ]a,b[ så är f konstant på ]a,b[

Question 34

Definiera supremum

Answer 34

Varje icke-tom uppåt begränsad mängd M av reella tal har en minsta majorant (övre begränsning) som kallas supremum av M.

Question 35

Definiera infimum

Answer 35

Varje icke-tom nedåt begränsad mängd M av reella tal har en största minorant (undre begränsning) som kallas infimum av M.

Question 36

Definiera integral

Answer 36

Vi säger att f(x) är integrerbar på [a,b] om

∫_ {a ^b} f(x) dx = ∫^ {_a ^b} f(x) dx
(underintegralen = överintegralen)

Integralen av f(x) är det gemensamma värdet för dessa och betecknas som
∫{_a ^b} f(x) dx

Question 37

Definiera begreppet differentierbarhet för en funktion av flera variabler

Answer 37

Låt a vara en inre punkt i definitionsmängden D till en funktion f av n variabler. Vi säger att f är differentierbar i punkten a om det finns konstanter A₁, A₂, … , Aₙ och en funktion ϱ(h) sådana att

f(a+h) - f(a) = A₁h₁ + A₂h₂ + … + Aₙhₙ + |h| * ϱ(h) och

lim_ {h➝ 0} ϱ(h) = 0

Om f är differentierbar i varje punkt a ∊ D säger vi att f är differentierbar

Question 38

Formulera kedjeregeln för sammansatta funktioner av typ t ↦ f(g(t),h(t)) (formulering för n variabler, bevis för n = 2)

Answer 38

Låt f(x) = f(x₁, …, xₙ) vara en differentierbar funktion av n variabler, och antag att funktionerna g₁(t), … , gₙ(t) är deriverbara i intervallet a < t < b på R. Då är den sammansatta funktionen f(g(t)) också deriverbar i a < t < b, och

[d/dt] [f(g(t))] = f’x₁(g(t)) *g’₁(t) + … + f’xₙ(g(t))g’ₙ(t)

Question 39

Definiera riktningsderivata

Answer 39

Riktningsderivatan av f(x) i punkten a i riktningen v, där |v| = 1, definieras som

f’v(a) = lim_{t ➝ 0} [f(a+tv) - f(a)] / t

Question 40

Definiera gradient

Answer 40

För differentierbara funktioner f(x) = f(x₁, …, xₙ) definierar vi gradienten av f i punkten x som vektorn

grad f(x) = [ (df/dx₁)(x) + …. + (df/dxₙ) (x) ].

Question 41

Formulera sats om samband mellan riktningsderivata och gradient

Answer 41

Om f är en differentierbar funktion och v en given riktning med |v| = 1 så är

f’v(a) = grad f(a) * v

Question 42

Definiera begreppet positivt definit kvadratisk form

Answer 42

Den kvadratiska formen Q(h,k) är positivt definit om Q(h,k) > 0 för alla (h,k) ≠ (0,0) . Då är (a,b) ett strängt lokalt minimum

Question 43

Definiera begreppet negativt definit kvadratisk form

Answer 43

Den kvadratiska formen Q(h,k) är negativt definit om Q(h,k) < 0 för alla (h,k) ≠ (0,0). Då är (a,b) ett strängt lokalt maximum.

Question 44

Definiera begreppet indefinit kvadratisk form

Answer 44

Den kvadratiska formen Q(h,k) är indefinit om Q(h,k) antar både positiva och negativa värden. Då är (a,b) en sadelpunkt

Question 45

Definiera positivt och negativt semidefinit kvadratisk form

Answer 45

Den kvadratiska formen Q(h,k) är positivt semidefinit om Q(h,k) ≥ 0 och Q(h,k) = 0 för något (h,k) ≠ (0,0).

Q(h,k) är negativt semidefinit om Q(h,k) ≤ 0 och Q(h,k) = 0 för något (h,k) ≠ (0,0).

Om den stationära punkten (a,b) är postivit/negativt semidefinit kan vi inte säga någon om punkten utan måste använda oss utav andra metoder

Question 46

Formulera sats om hur den kvadratiska formen i Taylorutvecklingen avgör karaktären hos en stationär punkt

Answer 46

dsa