Definitioner och satser Flashcards
Definitionerna och satserna man ska kunna
Definiera derivata av en funktion
Antag att funktionen f(x) är definierad i en omgivning av punkten a. Om lim_{h->0} [f(a+h)-f(a)] / h existerar sägs f(x) vara deriverbar i punkten a och gränsvärdet är derivatan i punkten a.
Vi kan även skriva derivatan av f(x) i punkten a som f’(a), df/dx (a) och D(f(a))
Formulera summa-, produkt- och kvotreglerna för derivata
Summa-/additionslagen: [f(x)+g(x)]’ = f’(x) + g’(x)
Produktlagen: [f(x)g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
Kvotlagen: [f(x)/g(x)]’ = [f’(x)g(x) - f(x)g’(x)] / [g(x)]^2
Formulera sats om derivata till en invers funktion
Antag att funktionen f(x) har en kontinuerlig invers funktion. Om f(x) är deriverbar i punkten x₀ och om f’(x₀) ≠ 0 så är f⁻¹ deriverbar i punkten y₀ = f(x₀) och Df⁻¹= 1 / f’(x)
Definiera begreppet partiell derivata för en funktion av flera variabler
Låt a vara en inre punkt i definitionsmängden D till funktionen f av n variabler. Om gränsvärdet
lim ₕ￫₀ [f(a+h ej) - (f)a] / h =
= lim ₕ￫₀ [f(a₁,a₂,…,aⱼ+h,…,aₙ) - f(a₁,a₂,…,aₙ)] / h
existerar så säger vi att f är partiellt deriverbar med avseende på variabeln xⱼ i punkten a. Gränsvärdet kallas den partiella derivatan med avseende på xⱼ av f i punkten a.
[ej är en vektor med 0:or på alla ställen förutom på plats j.]
Formulera Cauchys integralkriterium
För en positivt avtagande funktion på [1,∞[ gäller att Σ{ₙ =1 till ∞} f(n) konvergent ⇔ ∫{₁ till ∞} f(x) dx konvergent
Alltså vi kan undersöka vår talföljd genom att integrera den eller tvärtom undersöka vår integral genom att undersöka den som en talföljd.
Formulera Cauchys rotkriterium för serier
Antag att serien Σ{k =1 till ∞} ak är sådan att lim_{k -> ∞} |ak|^{1/k} = A för något A ∊ [0,∞)
Om A > 1 ⇒ Σ{k =1 till ∞} ak divergerar
Om A < 1 ⇒ Σ{k =1 till ∞} ak absolutkonvergent
Om A = 1 säger det ingenting om serien
Formulera d’Alamberts kvotkriterium för serier
Antag att serien Σ{k =1 till ∞} ak är sådan att ak ≠ 0 för alla k och att
lim_ {k -> ∞} [ |a_{k+1}| ] / [ |ak| ] = A för något A ∊ [0,∞)
Om A > 1 är serien divergent
Om A < 1 är serien aboslutkonvergent
Om A= 1 säger det ingenting om serien
Formulera jämförelsekriterium 1 för serier
Antag att 0 ≤ ak ≤ bk för k = 0,1,2 (gäller för positiva serier, därav 0 ≤ ak)
(1) Om Σ{k =0 till ∞} bk är konvergent så är även Σ{k = 0 till ∞} ak konvergent
(2) Om Σ{k = 0 till ∞} ak är divergent så är även Σ{k = 0 till ∞} bk divergent
Formulera jämförelsekriterium 2 för serier
Antag att 0 < ak, bk för alla stora k, och antag vidare att
lim_{k -> ∞} ak/bk = A, där A ∊ ]0,∞[.
Då gäller att Σ{k = 0 till ∞} ak är konvergent om och endast om Σ{k = 0 till ∞} bk är konvergent.
Definiera absolutkonvergent
Definition: En serie Σ{k = 1 till ∞} ak kallas absolutkonvergent om serien med termernas absolutbelopp Σ{k = 1 till ∞} |ak| är konvergent.
SATS: Σ{k = 1 till ∞} |ak| konvergent ⇒ Σ{k = 1 till ∞} ak konvergent
Definiera begreppet underintegral
∫_ {_a ^b} f(x) dx = sup [Φ ≤ f] ∫ {_a ^b} Φ(x) dx
Definiera begreppet överintegral
∫^_ {_a ^b} f(x) dx = inf [Ψ ≥ f] ∫ {_a ^b} Ψ(x) dx
Definiera vad en trappfunktion är
Vi har en trappfunktion g(x) på intervallet [a,b]
a = x₁ < x₂ < … < xₙ = b
så att g är konstant på varje delintervall ]xₖ₋₁, xₖ[ k=1,2… där cₖ är funktionsvärdet för delintervallet k. (bild)
∫ {_a ^b} g(x) dx = Σ{k = 1 till n} cₖ(xₖ-xₖ₋₁) för k = 1,2…
Alltså en serie med funktionsvärdet cₖ multiplicerat med intervallängden = arean av “trappan”.
Formulera integralkalkylens medelvärdessats
f är kontinuerlig på [a,b]. Då finns ⍺,𝛽 ∊ ]a,b[ så att
1 / [b-a] * ∫_ {a ^b} f(x) dx = f(⍺) och
1 / [b-a] * ∫^ {_a ^b} f(x) dx = f(𝛽)
Formulera analysens huvudsats / integralkalkylens huvudsats
f är kontinuerlig på [a,b].
Sätt S_(x) = ∫_ {a ^x} f(t) dt och
S^(x) = ∫^_ {_a ^x} f(t) dt
Då gäller att S_‘(x) = f(x) och S^_‘(x) = f(x)
Formulera insättningsformeln
Om F är primitiv till f ( F’ = f ) då gäller det att
∫ {_a ^b} f(x) dx = F(b) - F(a)
Definiera gränsvärde av en funktion då x ⟶ + ∞
Antag att f(x) är en funktion vars definitionsmängd innehåller godtyckligt stora reella tal. Vi säger att f(x) har gränsvärde A då x -> ∞ om det för varje givet tal ε > 0 finns ett tal ω (beroende av ε) sådant att
x > ω
x ∊ Df ⇒ | f(x) - A | < ε
Vilket också kan skrivas som A - ε < f(x) < A + ε som representerar epsilonkorridoren som funktionen kommer befinna sig inom om x > ω.
Definiera gränsvärde av en funktion då x ⟶ a
Låt f vara en funktion och antag att varje omgivning av punkten a innehåller punkter ur Df. Då säges f ha gränsvärdet A då x ⟶ a om det för varje tal ε > 0 finns ett tal 𝜹 > 0 så att
0 < | x - a | < 𝜹
x ∊ Df ⇒ | f(x) - A | < ε
Formulera summa-, produkt-, och kvotreglerna för gränsvärden
Om lim_{x -> ∞} f(x) = A och lim_{x -> ∞] g(x) = B så
Summaregeln: lim [f(x) + g(x)] ⟶ A + B
Produktregeln: lim [f(x)g(x)] ⟶ AB
Kvotregeln: lim [f(x)/g(x)] ⟶ A/B om B ≠ 0.
Formulera MacLaurins formel
Antag att funktionen f och dess derivator till och med ordning n+1 är kontinuerliga i en omgivning av 0. Då gäller för alla x i denna omgivning
f(x) = f(0) + f’(0)x + [f’‘(0) / 2!]x^2 + … + [f^(n) (0) / n!] x^n + [f^{n+1} (ξ) / (n+1)!] x^{n+1}
för något ξ mellan 0 och x
Formulera Integralkalkylens generaliserade medelvärdessats
Om funktionerna f och g är kontinuerliga och om g(x) ≥ 0 i [a,b] så finns ett tal ξ ∊ ]a,b[ så att
∫ {_a ^b} f(x)g(x) dx = f(ξ) * ∫ {_a ^b} g(x) dx
Formulera entydighetssatsen för MacLaurins utveckling
Antag att funktionen f och dess derivator till och med ordningen n + 1 är kontinuerliga i en omgivning av x = 0 och att f i denna omgivning är skriven som
f(x) = a₀ + a₁x + a₂ * x^2 + … + aₙx^n + x^{n+1} * B(x)
med en begränsad funktion B(x). Då är MacLaurinutvecklingen av f
ak = f^{k}(0) / k! k = 0, 1, …, n
Formulera instängningsregeln för gränsvärden
Om f(x) och g(x) har samma gränsvärde A och om
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)
så har även funktionen h(x) gränsvärdet A.
Formulera sammansättningsregeln för gränsvärden
Om lim_{x -> ∞} g(x) = a och om lim_{t -> a} f(t) = A så är
lim_{x -> ∞} f(g(x)) = A
Formulera Taylors formel av andra ordningen för funktioner av två variabler
Låf f(x,y) vara en C^3-funktion i den öppna mängden D, och antag att punkten (a,b) tillhör D. Då är
f(a+h,b+k) = f(a,b) + f’x(a,b)h + f’y(a,b)k + 1/2 [f’‘xx(a,b)h^2+2*f’‘xy (a,b)hk + f’‘yy(a,b)k^2] + (h^2+k^2) ^{3/2} * B(h,k)
där B(h,k) är en begränsad funktion i en omgivning av origo.
Definiera kontinuitet
En funktion f säges vara kontinuerlig i en punk a om a tillhör definitionsmängden och om gränsvärdet
lim_{x -> a} f(x) = f(a)
[existerar. (kommer vara lika med f(a) om det existerar).]
Om en funktion är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd kallas funktionen för kontinuerlig.
Formulera intervallinkapslingssatsen
Låt I_k = [ak,bk] k = 1,2,…
Vara en avtagande följd av slutna intervall på reella axeln då
I₁ ⊇ I₂ ⊇ …
Då existerar både lim_{k -> ∞} ak och lim_{k -> ∞} bk eftersom ak är en växande följd med b₁ som övre begränsning och bk är en avtagande följd med a₁ som undre begränsning.
Om intervallängden, som är bk-ak, går mot 0 när k -> ∞ så är
lim_{k -> ∞} ak = lim_{k -> ∞} bk
Formulera satsen om mellanliggande värden
Om den reellvärda funktionen f är kontinuerlig i intervallet a ≤ x ≤ b och f(a) ≠ f(b) så antar f varje värde mellan f(a) och f(b).
alt.
Om f är kontinuerlig på intervallet x ∊ [a,b] då antar f(x) alla värde mellan f(a) och f(b).
Formulera Bolzano - Weierstrass sats
Ur varje begränsad talföljd (xk) kan man välja en konvergent delföljd
Om en funktion har ett lokal extremvärde i en punkt a så gäller det under vissa förutsättningar att derivatan av f i a är lika med 0
Om funktionen f har lokalt extremvärde i en inre punkt a i definitionsintervallet och om f är deriverbar i a så är
f’(a) = 0
“under vissa förutsättningar” =
f har lokalt extremvärde i en INRE PUNKT a
f är DERIVERBAR i a
Formulera Rolles sats
f kontinuerlig i [a,b], f deriverbar på ]a,b[, f(a) = f(b) = 0
Då finns ett ξ ∊ ]a,b[ så att f’(ξ) = 0.
Rolles sats är ett specialfall av medelvärdessatsen
Formulera medelvärdessatsen
Antag att f är kontinuerlig i det slutna intervallet [a,b] och deriverbar i det öppna intervallet ]a,b[. Då finns minst en punkt ξ ∊ ]a,b[ så att
f’(ξ) = [ f(b) - f(a) ] / (b-a)
Formulera satsen om sambandet mellan derivata och monotonitet
Om funktionen f är deriverbar på ]a,b[ så gäller
I. f’ ≥ 0 på ]a,b[ så är f växande på ]a,b[
≤ avtagande
II. f’ > 0 på ]a,b[ så är f strikt växande på ]a,b[
< strikt avtagande
III. f’ = 0 på ]a,b[ så är f konstant på ]a,b[
Definiera supremum
Varje icke-tom uppåt begränsad mängd M av reella tal har en minsta majorant (övre begränsning) som kallas supremum av M.
Definiera infimum
Varje icke-tom nedåt begränsad mängd M av reella tal har en största minorant (undre begränsning) som kallas infimum av M.
Definiera integral
Vi säger att f(x) är integrerbar på [a,b] om
∫_ {a ^b} f(x) dx = ∫^ {_a ^b} f(x) dx
(underintegralen = överintegralen)
Integralen av f(x) är det gemensamma värdet för dessa och betecknas som
∫{_a ^b} f(x) dx
Definiera begreppet differentierbarhet för en funktion av flera variabler
Låt a vara en inre punkt i definitionsmängden D till en funktion f av n variabler. Vi säger att f är differentierbar i punkten a om det finns konstanter A₁, A₂, … , Aₙ och en funktion ϱ(h) sådana att
f(a+h) - f(a) = A₁h₁ + A₂h₂ + … + Aₙhₙ + |h| * ϱ(h) och
lim_ {h➝ 0} ϱ(h) = 0
Om f är differentierbar i varje punkt a ∊ D säger vi att f är differentierbar
Formulera kedjeregeln för sammansatta funktioner av typ t ↦ f(g(t),h(t)) (formulering för n variabler, bevis för n = 2)
Låt f(x) = f(x₁, …, xₙ) vara en differentierbar funktion av n variabler, och antag att funktionerna g₁(t), … , gₙ(t) är deriverbara i intervallet a < t < b på R. Då är den sammansatta funktionen f(g(t)) också deriverbar i a < t < b, och
[d/dt] [f(g(t))] = f’x₁(g(t)) *g’₁(t) + … + f’xₙ(g(t))g’ₙ(t)
Definiera riktningsderivata
Riktningsderivatan av f(x) i punkten a i riktningen v, där |v| = 1, definieras som
f’v(a) = lim_{t ➝ 0} [f(a+tv) - f(a)] / t
Definiera gradient
För differentierbara funktioner f(x) = f(x₁, …, xₙ) definierar vi gradienten av f i punkten x som vektorn
grad f(x) = [ (df/dx₁)(x) + …. + (df/dxₙ) (x) ].
Formulera sats om samband mellan riktningsderivata och gradient
Om f är en differentierbar funktion och v en given riktning med |v| = 1 så är
f’v(a) = grad f(a) * v
Definiera begreppet positivt definit kvadratisk form
Den kvadratiska formen Q(h,k) är positivt definit om Q(h,k) > 0 för alla (h,k) ≠ (0,0) . Då är (a,b) ett strängt lokalt minimum
Definiera begreppet negativt definit kvadratisk form
Den kvadratiska formen Q(h,k) är negativt definit om Q(h,k) < 0 för alla (h,k) ≠ (0,0). Då är (a,b) ett strängt lokalt maximum.
Definiera begreppet indefinit kvadratisk form
Den kvadratiska formen Q(h,k) är indefinit om Q(h,k) antar både positiva och negativa värden. Då är (a,b) en sadelpunkt
Definiera positivt och negativt semidefinit kvadratisk form
Den kvadratiska formen Q(h,k) är positivt semidefinit om Q(h,k) ≥ 0 och Q(h,k) = 0 för något (h,k) ≠ (0,0).
Q(h,k) är negativt semidefinit om Q(h,k) ≤ 0 och Q(h,k) = 0 för något (h,k) ≠ (0,0).
Om den stationära punkten (a,b) är postivit/negativt semidefinit kan vi inte säga någon om punkten utan måste använda oss utav andra metoder
Formulera sats om hur den kvadratiska formen i Taylorutvecklingen avgör karaktären hos en stationär punkt
dsa
