Definitioner Flashcards
en polyeder
en tredimensionell kropp som begränsas av plana ytor
olika polyedrar
prisma, pyramid, kub, rätbock, parallellepiped
utsaga
ett påstående är ett uttryck eller yttrande som har ett sanningsvärde(sant/falskt)
öppen utsaga
påståenden som innehåller en eller flera ospecifierade fria variabler, kan vara sann eller falsk beroende på variablernas värde
ekvivalens
står för “P om och endast om Q” dvs P och Q är antingen båda sanna eller båda falska
implikation
står för”om P så Q” innebär att Q är sann så fort P är sann
matematikens byggstenar
definitioner, axiom, sats, bevis
definitioner
som inför olika objekt, definiera egenskaper
axiom
som är grundläggande egenskaper som talar om hur de definierade objekten “fungerar”/”hänger ihop”. självklara satser utan bevis (genom 2 olika punkter går precis en rät linje)
satser
som är påståenden om de definierade objekten och deras egenskaper, som är sanna under vissa angivna förutsättningar
bevis
som är argumentationskedjor som visar/talar om att en viss sats gäller
bråk
ett uttryck av formen a/b där a,b eR, b ej 0, kallas för ett bråk. a täljare, b nämnare
linjär ekvation
Är en ekvation i form a1x1 + a2x2 +…..+ anxn =b
där a1, a2, ….., an, b eR
cirkel
består av alla punkter som ligger på ett givet avstånd r (radie) från en fix medelpunkt
randvinkelsatsen (sats)
För en cirkelbåge gäller att dess medelpunktsvinkel är dubbelt så stor som varje randvinkel till bågen.
Låt x = AMC b = ACB Vi vill visa x= 2b Drag diameter igenom C så att x och b delas upp i x = x1 + x2 och b = b1 + b2 Studera triangeln AMC, den är likbent Vi har att y + x1 = 180 <=> y = 180 - x1 y + b1 + b1 = 180 y = 180 - x1 insatt i den andra ekvationen ger: 180-x1 + 2b = 180 <=> x1 = 2b (samma i triangel BMC) x = 2b2 alltså x = x1 + x2 = 2b1 + 2b2 = 2(b1 + b2) = 2b
omkrets för cirkel
2pi r
area för cirkel
pi r^2
medelpunktsvinkel
b = x/360 x 2pi r
sin(x)
motstående / hypotenusa (b/c)
cos (x)
närliggande / hypotenusa (a/c)
tan (x)
motstående / närliggande (b/a)
cot (x)
närliggande / motstående (a/b)
sin (90 - x)
cos (90 - x)
tan (90 - x)
cot (90 - x)
cos (x)
sin (x)
cot (x)
tan (x)
sin (45) = cos (45)
sin (45) = cos (45) = 1/ roten ur 2
tan (45) = cot (45)
tan (45) = cot (45) = 1
sin (60) = cos (30)
sin (60) = cos (30) = roten ur 3 / 2
sin (30) = cos (60)
sin (30) = cos (60) = 1/2
tan (60) = cot (30)
tan (60) = cot (30) = roten ur 3
tan (30) = cot (60)
tan (30) = cot (60) = 1 / roten ur 3
tvärtom funktioner
arcusfunktioner
sin (alfa) = x
alfa = arcsin(x) (=sin¨-1(x))
cos (alfa) = x
alfa = arccos(x)
tan (alfa)
alfa = arctan(x)
ex, tan(60) = roten ur 3
arctan(roten ur 3) = 60
cot (alfa)
alfa = arccot(x)
kuberingsreglerna (sats)
(i) (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(ii) (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
Bevis
kvadreringsreglerna : (a+b)(a+b)^2
konjugatreglerna (sats)
(i) a^2 + b^2 = (a - b)(a + b)
(ii) a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
(iii) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
andragradsekvation
en ekvation av formen :
a2x^2 + a1x +a0 = 0
där a2, a1, a0 eR konstanter och a2 ej = 0
polynom
med ett polynom menar vi ett uttryck av formen :
P(x) = anX^n + an X^n-1 +….. a1X + a0
där an ,…, a0 eR kallas för dess koefficient, x för dess variabel och neN. Om a Ej =0 säger vi att dess grad är n och skriver P = n
faktorsatsen (sats)
Om x = a är ett nollställe till polynomet p(x), dvs p(a) = 0, så är x - a en faktor i p(x). Det finns alltså ett polynom q(x) sådant att p(x) = (x - a) x q(x)
Bevis
Enligt polynomdivision vet vi att det finns entydiga polynom q(x) och r(x) sådana att:
p(x) = q(x)(x-a) + r(x)
där grad r(x) < grad (x-a) = 1. Eftersom grad r(x) < 1 måste r(x) vara en konstant. Samtidigt är
0 = p(a) = q(a)(a-a) + r(a),
så r(x) måste vara konstanten noll
alltså p(x) = q(x)(x-a)
satsen om heltalsrötter
Låt P(x) =anx^n + an-1x^n-1 +…..+ a1x + a0 vara ett polynom med heltalskoefficienter dvs an,… a0 eZ och a EJ=0
Om x =r är en heltalsrot till P(x), dvs reZ och P(r) = 0 så måste a0 vara delbar med. r.
Bevis
P(r) = 0 <=> anr^n + an-1r^n-1 +….+ a1r + a0 = 0 <=>
a0 = -anr^n - an-1r^n-1 -….-a1r <=>
a0 = r(-anr^n-1 - an-1r^n-2 -…. - a1)
<=> a0/r = anr^n-1 - an-1r^n-2-….- a1
Vi vet att r, an….a0 eZ så HL är ett heltal dvs a0/r är också ett heltal, så a0 är delbar med r.
steg för olikhet
- Samla alla termer på en sidan olikheten och skriv den på ett gemensamt bråkstreck.
- Faktorisera säljare och nämnare.
- Teckentabell!!
steg för dubbelolikhet
- lös VO (samla, faktorisera, teckentabell).
- lös HO (samla, faktorisera, teckentabell).
- Sammanställning
lutningsvinkeln
För en rät linje definieras som vinkeln moturs från x-axeln till linjen. Om linjen är parallell med x-axeln så är LV = 0
riktiningskoefficient
för en rät linje definieras som kvoten mellan stigningen i höjdled och förflyttningen i sidled, brukar betecknas med k
k
k = (y2-y1) / (x2-x1)
enpunktsformeln
Varje annan punkt på linjen måste uppfyllas :
y - y1 = k(x - x1)
tvåpunktsformeln
om vi inte känner till k utan vet att två punkter (x1, y1) < (x2, y2) kan vi stoppa in (y2-y1) / (x2-x1) i enpunktsformelns ekv. istället för k:
y -y1 = ( (y2-y1) / (x2-x1) ) x (x - x1)
avståndsformeln
kortaste avståndet mellan två punkter. (rätvinklig triangel)
d = ROTEN UR (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2
absolutbelopp
absolutbeloppet av ett tal xor definieras som
lxl = x om x >- 0
lxl = -x om x > 0
lxl = roten ur x^2
polyeder
en tredimensionell kropp som begränsas av plana ytor.
prisma
en polyeder som begränsas av två parallella ytor samt tre eller fler sidytor vars kanter är parallella.
olika polyeder
prisma, parallellepiped, pyramid, kub, rätblock
parallellepiped
ett 4-sidigt prisma vars sidor är parvis parallella
rätblock
en parallellepiped där alla sidytor är rektanglar
kub
ett rätblock där alla sidor är kvadrater
prismas volym
V = B . h
pyramid
en polyeder som begränsas av en bottenyta och minst tre sidytor som alla möts i en gemensam punkt(spets). Pyramidens höjd definieras som avståndet från spetsen till bottenytan.
pyramids volym
basarea B och höjd h
V = (B x h) / 3
klotet (3d)
består av alla punkter i rummet som befinner sig på, eller inom ett avstånd, r (radie) från en medelpunkt. Klotets skal kallas sfär
sfär (2d)
klotets skal
klotets volym
V = (4pi r^3) / 3
klotets area
A = 4pi r^2
cylindrisk yta
fås då ett linjestycke L, parallellförflyttas på en kurva C.
cylinder
en kropp som begränsas av en sluten cylindrisk yta och två parallella basytor.
rak/sned cylinder
om linjestycket L är vinkelrät mot basytan B, sägs cylindern vara rak, annars sned. Om kurvan C är en cirkel sägs cylindern vara cirkulär.
rak cirkulär cylinders volym
V = B x h = pir^2h
rak cirkulär cylinders area
A = 2pir^2 + 2pir.h
mantelytans area
2pi r.h
konen
definieras av en sluten kurva C och en punkt P, spetsen, som inte ligger i kurvans plan. Alla sträckor från till C bildas tillsammans konens mantelyta-
Konen består av denna mantelyta och basytan.
Konens höjd är avståndet mellan spetsen och basytan.
Om C är en cirkel sägs konen vara cirkulär.
rak cirkulär kon volym
V = B . h / 3 = pi r^2.h / 3
rak cirkulär kon area
A = pi r^2 + pi r.s = pi r^2 + pi r roten ur (r^2 + h^2)
skala
volymskala 1:125000 <=> s^3 = 1 / 125000 = 1 / 1225 . 10^3 = 1 / 5^3 . 10^3 = (1/5 .10)^3
s = 1/50
längskala 1:50
kägelsnitt
samlingsnamn för alla kurvor som kan fås som skärningen mellan en rak cirkulär dubbelkon och ett plan
planets lutning till käglan
lutning mindre (vinkelrät) -> ellips
lutning lika -> parabel
lutning större -> hyperbel
kägelsnitt formel
ax^2 + byx + cy^2 + dx + ey + f = 0
cirkelns ekvation
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
medelpunkt = (x,y) radie = r
skärningspunkter
båda ekv uppfyllda samtidigt
parabeln
en parabel är mängden av alla punkter som har ett lika stort avstånd till en given fix punkt (brännpunkt) som till en given linje (styrlinjen) som inte går genom punkten.
parabelns ekvation vanlig och allmän
y = kx^2 origo = vertex => minpunkt om k > 0, maxpunkt k < 0. allmän form y - y0 = k(x - x0)^2 styrlinje samt vertex
ellipser
en ellips är mängden av alla punkter i ett plan vars avstånd till två givna punkter har en konstant summa.
ellipsens ekvation
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
(x - x0)^2 / a^2 + (y - y0)^2 / b^2 = 1
halvaxlar, centrum
hyperbeln
en hyperbel är mängden av alla punkter i ett plan vars avstånd till två givna punkter har en konstant skillnad.
hyperbelns ekvation
(x - x0)^2 / a2 - (y - y0)^2 / b^2 = +- 1
centrum
pi
omkrets / diameter
LV
arctan (k) om x > 0
180 - arctan (-k) om k < 0
Pythagoras sats (sats)
i en rätvinklig triangel vars kateter har längderna a och b och vars hypotenusan har längden c gäller sambandet:
a^2 + b^2 = c^2
Bevis: Betrakta en kvadrat vars sidlängs är a + b, och dela in den på två olika sätt enligt figurerna nedan: Då x + b = 180 och x + b + v = 180 så måste v = 90 dvs fyrhörningen med sida c är en kvadrat, aren blir 4 x (ab) / 2 = 2ab + c^2 Arean av den andra är: 2ab + a^2 + b^2 Eftersom areorna är lika får vi: 2ab + a^2 + b^2 = 2ab + c^2 <=> a^2 + b^2 = c^2
trigonometriska ettan (sats)
om 0 < x < 90 gäller det att
cos^2(x) + sin^2(x) = 1
Bevis: Pyth sats ger a^2 + b^2 = c^2 som kan skrivas enligt:
a^2 + b^2 = c^2 <=> a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 <=> (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1
enligt definitionen är cos(x) = a/c och sin(x) = b/c så alltså är cos^2(x) + sin^2(x) = 1
pq-formeln (sats)
om D = p^2 - 4q >= 0 har ekvationen x^2 + px + q = 0
lösningarna x = - p/2 +- roten ur ( (p/2)^2 - q)
Bevis: x^2 + px + q = 0 <=>
x^2 + 2.x . (p/2) + (p/2)^2 - (p/2)^2 + q = 0 <=>
(x + p/2)^2 = (p/2)^2 - q <=> x + p/2 = +- roten ur ((p/2)^2 - q)
alltså x = - p/2 +- roten ur ((p/2)^2 - q)
Uttrycket under rottecknet är inte negativt då
D = p^2 - 4q >= 0 eftersom (p/2)^2 - q = p^2/4 - q = (p^2 - 4q) / 4
så lösningen är väl definierad.
cirkelns ekvation utifrån figur (bevis)
betrakta en cirkel med radie r och medelpunkt (x0, y0). En godtycklig punkt (x, y) på cirkeln har, enligt definitionen avståndet r till medelpunkt (x0, y0). Mha avståndsformeln kan detta skrivas roten ur ((x - x0)^2 + (y - y0)^2 0 r och efter kvadrering av båda sidor får vi cirkelns ekvation (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
linjen som skär under rät vinkel (bevis)
skriv
parabelns ekvation utifrån figur
skriv
vardagstal för en cylinder samt def på de ord
Rak cirkulär cylinder
Rak innebär att linjestycket L är vinkelrät mot basytan
Cirkulär betyder att kurvan är en cirkel
bestämma avstånd från punkt till linje
- bestäm L2(punktens linje) : y = kx + m. den är vinkelrät mot L1 (linjen) -> k1xk2=-1 lägg in punkten få fram m
- beräkna skärningspunkten emellan L1 och L2 -> sätt dom lika med varann.
- få fram avstånd mellan skärningspunkten och punkten i fråga. avståndsformeln. d = roten ur (x-x0)^2 + (y-y0)^2
bestämma skärningsvinkel
- beräkna linjernas LV -> k < > 0 arctan (60) så de e 1
- b2 = x2 + x1 = dina två värden från 1
3 b1 = 180 - b2 = 180 - värdet från 2
sen får man skärningsvinkeln
