definice

Question 1

vektor

Answer 1

libovolny prvek linearniho prostoru

Question 2

seznam

Answer 2

usporadna mnozina vektoru - bud prazdna, nebo ne

Question 3

linearni kombinace

Answer 3

linearni kombinaci seznamu vektoru a skalaru je vektor v = ∑ 𝜶𝒊 *𝒙𝒊
𝒏
𝒊 = 𝟏

Question 4

linearni nezavislost

Answer 4

seznam vektoru je linearne nezavisly pokud je prazdny nebo pokud pri linearni kombinaci = 0 jsou vsechny jeho skalary α1, α2,…αn = 0

Question 5

linearni zavislost

Answer 5

seznam vektoru je linearne zavisly pokud neni linearne nezavisly

Question 6

linearni obal

Answer 6

Lineární obal seznamu (x1, x2,…xn), (značíme span(x1, x2,…xn))
je množina vektorů tak, že:
1) lineární obal prázdného seznamu je o
2) lineární obal seznamu (x1, x2,…xn) je množina všech lineárních kombinací seznamu (x1, x2,…xn)

Question 7

linearni podprostor

Answer 7

Lineární podprostor W prostoru L je taková množina vektorů z L, že span(W) = W
WHAT HAPPENS IN VEGAS STAYS IN VEGAS

Question 8

baze

Answer 8

je nejmensi mozna mnozina generatoru M, je linearne nezavisla, pocet prvku baze = dimenze, span(M) = L

Question 9

mnozina generatoru

Answer 9

mnozina vektoru M ktera generuje cely prostor L
span(M) = L

Question 10

dimenze

Answer 10

Mějme prostor L a bázi B = (b1, b2,…bn), kde n∈ℕ. Dimense L je potom n.
(dim(L) = n)

Question 11

souradnice

Answer 11

souradnice vektoru v vzhledem k bazi B jsou takove α1, α2,…αn, žeplatí 𝒗 = ∑ 𝜶𝒊*𝒃𝒊. Značíme coord
v =
(α1
α2
…
αn)

Question 12

linearni zobrazeni

Answer 12

zobrazeni z L1 do L2 takove ze plati PRINCIP SUPERPOSICE
f (x + y) = f (x) + f (y)
f (α * x) = α * f (x)

Question 13

jadro = kernel

Answer 13

Mějme lineární zobrazení f z L1 do L2. Jádro zobrazení f (ker(f)) je potom množina všech x ∈L1, takových ze f (x) = o

Question 14

obraz = image

Answer 14

Mějme lineární zobrazení f z L1 do L2. Image zobrazení f ( im(f )) je potom množina všech y ∈L2, takových, že existuje nějaké x ∈L1, že f (x) = y.

Question 15

monomorfizmus

Answer 15

Lineární zobrazení f z L1 do L2 je monomorfismus IFF pro každé x1, x2 ∈L1 platí, když x1 ≠ x2, potom f (x1) ≠ f (x2).

Question 16

epimorfizmus

Answer 16

Lineární zobrazení f z L1 do L2 je epimorfismus IFF pro každé y∈L2 existuje x ∈L1 takové, že platí f (x) = y.

Question 17

isomorfizmus

Answer 17

Lineární zobrazení f z L1 do L2 je isomorfismus IFF je epimorfismus a
monomrofismus zároveň

Question 18

regularni matice

Answer 18

ctvercova matice, linerane nezavisle sloupce, je ismorfizmus, ma inverzi, det se nerovna 0

Question 19

singularni matice

Answer 19

kdyz neni regularni

Question 20

permutace

Answer 20

Permutace množiny M je prosté zobrazení π na množinu M. (Bijekce – každému různému prvku z M přiřadí jeden prvek z M)

Question 21

vlastni hodnota, vlastni vektor a vlastni podprostor

Answer 21

Mějme lineární zobrazení f z L do
L a nějaké λ ∈𝔽 a x ∈ L, pro která platí f (x) = λx. λ potom nazýváme vlastní číslo, x nazýváme vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ a span(x) nazýváme vlastní podprostor
L příslušný vlastnímu číslu λ. Značíme eigenλ(x).

Question 22

charakteristicky polynom

Answer 22

Mějme čtvercovou matici A. Charakteristický polynom matice A je potom det(A – x . E) a značíme ho charA(x).

Question 23

podobnost matic

Answer 23

Matice A je podobná nějaké matici B, pokud existují matice transformace souřadnic T a T-1, tak že platí A = T-1BT. Značíme A≈B.

Question 24

diagonalni matice

Answer 24

Matice, která má mimo diagonálu samý nuly. (Na diagonále mohou být nuly, takže např. nulová matice je diagonální.)

Question 25

diagonalisovatelna matice

Answer 25

Libovolná matice podobná nějaké diagonální matici. (Nulová matice je digonalisovatelná, protože O = E.O.E ; mohu ji obložit například jednotkovými maticemi.)

Question 26

nilpotentni matice a index nilpotence

Answer 26

Matice A je nilpotentní, když existuje k takové,
že Ak je nulová matice, k se potom nazývá index nilpotence. (Nulová matice je nilpotentní.)

Question 27

abstraktni skalarni soucin

Answer 27

Skalární součin ❮něco|něco❯ je zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí reálné číslo, pro které platí:
1) komutativita
2) linearita v 2. položce
3) ❮x|x❯≥0 a ❮x|x❯=0 IFF x = o (nulový vektor)

Question 28

positivne definitni matice

Answer 28

Čtvercová matice A typu n×n je positivně definitní, když ji můžeme napsat jako A = R^T.R, kde R má všechny sloupce LN. Je symetricka. Determinanty všech jejích podmatic jsou kladné.

Question 29

norma vektoru

Answer 29

Norma vektoru v (značíme ||v||) je reálné číslo, pro které platí ||𝐯|| = odmocnina z ❮𝐯|𝐯❯

Question 30

metrika

Answer 30

Metrika vektorů x a y (značíme dis(x,y))je reálné číslo, pro které platí dis(x,y)) = ||v-u||

Question 31

ortogonalita (kolmost) vektoru

Answer 31

Vektory x a y jsou ortogonální (na sebe kolmé) IFF platí ❮y|x❯ = 0

Question 32

otrogonalni baze

Answer 32

Báze lineárního prostoru L je ortogonální, IFF pro každou dvojici bázových vektoru bi, bj platí ❮bi|bj❯ = 0

Question 33

Gramuv determinant

Answer 33

Mějme matici A = (a1, a2, …, ak): ℝk ⟶ ℝn, kde k<n. potom det(ATA) se nazývá Gramův determinant a značí se Gram(a1, a2, …, ak).
(ATA je tzv. Gramova matice a je symetrická podle hlavní diagonály. Je také nadupaná
skalárními součiny na každé posici. Odmocnina Gramovho determinantu je objem rovnobeznostenu

Question 34

vektorovy soucin

Answer 34

Mějme lineární prostor ℝn a seznam vektorů (x1, x2,…xn-1). Vektorový součin tohoto seznamu, značíme prefixově ×(x1, x2,…xn-1), je potom takový vektor v, pro který platí v^T.x = ❮v|x❯ = det(x1, x2,…xn-1, x), pro všechna x z ℝn.