Da Insiemi a Sistemi lineari

Question 1

Prodotto cartesiano

Answer 1

Considero due insiemi non vuoti A e B. Chiamo prodotto cartesiano A per B, l’insieme che ha per elementi le coppie ordinate (a, b) con a appartenete ad A e b appartenente a B

Question 2

Unione di insiemi

Answer 2

Indicata con A U B, è l’insieme che contiene gli elementi di A e B in comune e non

Question 3

Intersezione di insiemi

Answer 3

È l’insieme che contiene gli elementi di A e B in comune

Question 4

Differenza di insiemi

Answer 4

Insieme formato privando A degli elementi che sono anche in B. Indicato con A - B

Question 5

Insieme delle parti

Answer 5

Dato un insieme A, è l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A.

Question 6

Insieme vuoto

Answer 6

Insieme privo di elementi. È unico.

Question 7

Relazione tra elementi

Answer 7

Quando si vuole osservare quali elementi di un insieme A siano correlati agli elementi di un altro insieme B, si scrive a R b per esprimere che esiste questa relazione fra a e b.

Question 8

Relazione di equivalenza

Answer 8

1) proprietà riflessiva: a R a
2) proprietà simmetrica: a R b allora b R a
3) proprietà transitiva: a R b e b R c allora a R c

Question 9

Classi di equivalenza

Answer 9

Introdotta una relazione di equivalenza posso radunare in un sottoinsieme di A tutti gli elementi equivalenti ad uno scelto. Formano una partizione di A.

Question 10

Operazioni interne

Answer 10

Prendo l’insieme A, chiamo operazione interna una funzione f: A x A -> A che associa ad una coppia ordinata a, b di elementi di A un elemento di A stesso.

Question 11

Proprietà operazioni interne

Answer 11

1) # è commutativa: # (x1, x2) = x1 # x2 = x2 # x1
2) # è associativa: x1 # (x2 # x3) = (x1 # x2) # x3
3) Elemento neutro (e): x # e = e # x = x
4) Reciproco (y): x # y = y # x = e

Question 12

Struttura algebrica

Answer 12

Definisco struttura algebrica un insieme A non vuoto, dotato di una o più operazioni interne.

Question 13

Classificazione strutture algebriche

Answer 13

Abeliane: # gode della proprietà commutativa
Semigruppi: # gode della proprietà associativa
Monoidi: esiste elemento neutro e
Gruppi: ogni elemento ammette reciproco
Anelli: è un gruppo abeliano per #, è un monoide per *, vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
Campi: quando un anello con * è un gruppo abeliano.

Question 14

Matrice

Answer 14

Una matrice m x n a coefficienti in un campo K è una tabella di elementi in K disposti lungo m righe e n colonne.

Question 15

Matrici quadrate

Answer 15

Quando m = n

Question 16

Matrici rettangolari

Answer 16

Quando m ≠ n

Question 17

Vettore colonna

Answer 17

Quando n = 1

Question 18

Vettore riga

Answer 18

Quando m = 1

Question 19

Matrici trasposte

Answer 19

Se A appartiene a Mat m x n (K) allora tA appartiene a Mat n x m (K).

Question 20

Matrice simmetrica

Answer 20

Una matrice quadrata è detta simmetrica se tA = A

Question 21

Matrice antisimmetrica

Answer 21

Una matrice quadrata è detta antisimmetrica se tA = -A

Question 22

Matrice diagonale

Answer 22

Quando una matrice quadrata i cui elementi al di fuori della diagonale principale sono tutti uguali a zero.

Question 23

Matrice invertibile

Answer 23

Una matrice è invertibile se esiste A alla -1 tale che A x A alla meno 1 = A alla meno 1 x A = Im

Question 24

Matrice identità

Answer 24

Matrice che ha 1 nella diagonale e 0 in tutto il resto

Question 25

Soluzioni di un sistema

Answer 25

Impossibile: non ha soluzioni
Determinato: ha una soluzione
Indeterminato: ha più soluzioni (infinite)

Question 26

Sistemi equivalenti

Answer 26

Se hanno le stesse soluzioni

Question 27

Sistema lineare

Answer 27

Quando le incognite sono di primo grado