Cours 3 Flashcards
La distribution normale
• Décrit un grand nombre de phénomènes dans la nature;
• Décrit beaucoup de caractéristiques physiques, sociologiques et psychologiques;
• Unimodale, symétrique et non aplatie；
• On dit des données d’une distribution normale qu’elles sont distribuées selon une loi normale.
• Découverte par Adolphe Quetelet.
• La loi normale, loi gaussienne, loi de Gauss en référence à Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
• Phénomène naturel;
Les tests paramétriques:
• Les tests paramétriques présument que les distributions auxquels ils se rapportent sont de forme normale;
• Si la distribution est anormale: test non-paramétrique
La loi normale:
• Symétrique: 𝑀= Md = Mo
• Unimodale
• Aplatissement = 0
• Les extrémités continues, sans atteindre 0
• Tendant vers l’infini
Si le phénomène mesuré distribue normalement, la forme normale va apparaitre rapidement
Ex: taille de l’échantillon 10 = pas très normal vs échantillon de 1000 = normal
La densité des observations (distribution normale)
• La proportion des observations qui se trouvent a différentes valeurs de la distribution;
• La densité des valeurs situées loin de M est plus petite;
• Les observations loin de M sont moins probables; (les observations proche de M sont plus probables)
• Nombre égal d’observations des deux côtés:
• M= Md (symétrie)
La densité sous la courbe
Vous choisissez une observation au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit inférieure ou égale à M?
0,5 (moitié des chances qu’on choisit entre inférieur à la moyenne)
• Vous choisissez une observation au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit supérieure ou égale à M? 0,5
• Est-ce que la probabilité est plus forte ou plus faible ?
Dans ce groupe de 200 étudiants, nous en avons 20 qui sont en 3e année, 42 en 2e et 138 en 1re. On choisit une personne au hasard.
Quelle est la probabilité que cette personne soit en
1re année?: 138⁄200 = 𝑝 = 0, 69 (proportion = densité = 69 %)
2e année?: 42⁄200 = 𝑝 = 0,21 (proportion = densité = 21 %)
3e année?: 20⁄200 = 𝑝 = 0,10 (proportion = densité = 10 %)
Quelle est la probabilité qu’une personne choisie aléatoirement soit en 1re, 2e ou 3e année?
0,10 + 0,21 + 0,69 = 1
Les chances qu’un étudiant extrait de cette distribution soit inscrit dans l’une ou l’autre des trois cohortes sont 100 %.
La somme des probabilités est toujours de 100 %.
L’écart type (S) est la distance typique entre…
la M de la distribution et de ses observations. (Distance typique = écart type)
• Si l’observation M se trouve à la moyenne, elle se situe à 0 écart type d’elle.
• Si l’observation x se trouve à « une distance typique » par rapport à M, elle se situe à 1 écart type (S) de celle-ci.
• Si l’observation x se trouve à « deux fois la distance typique » par rapport à M, elle se situe à 2 écarts types (S) de celle-ci.
QI
M: 100
S: 15
Tiana a un QI de 130
Elle a un QI supérieur ou égale à 97.7% de la population.
En percentile? 87,7
La taille des femmes québécoise
M: 162
S: 8
Tiana a une taille de 170
Elle a une taille supérieure ou égale à 84.1% des femmes québécoises.
En percentile: 84,1
La distribution normale:
• La distribution (parfaitement) normale est une conception essentiellement abstraite;
• Existe seulement lorsque nous analysons un nombre infini d’observations;
• Lorsque n est très petit, la distribution ressemble peu à la normalité.
• Lorsque n augmente, la distribution s’approchera de la normalité sans jamais l’atteindre complètement
• Les statistiques paramétriques sont utilisables si les « violations » des postulats de la normalité ne sont pas trop grandes
Quelle est la probabilité qu’une personne choisisse aléatoirement qui:
Ait un z égal ou en dessous de 0? Question d’examen
50%
p = 0.50
Ait un z égal ou inférieur 1? Question d’examen
50 % + 34.13 % = 84.13%
p = 0.84 (p = 0.16 pour un z supérieur ou égal à 1).
Ait un z égal ou inférieur à 2? Question d’examen
(50 % + 34.13 % + 13.59 %) = 97.72 %
p = 0.98 (p = 0.02 pour un z supérieur ou égal à 2).
Distribution normale du QI avec 1000 observations:
Le nombre de personnes ayant:
Un QI supérieur ou égal à 100?
Le nombre de personnes ayant:
Un QI entre 100 et 115? 341
Le nombre de personnes ayant:
Un QI entre 115 et 130? 136
Le nombre de personnes ayant:
Un QI entre 130 et 145? 21
Lorsque nous connaissons M et S d’une distribution, la position de chaque observation relative à 𝑀 (score z) peut être calculée.
Le z étant établi, il est facile de déterminer la densité (la fréquence) égale ou inférieure à cette valeur z.
En connaissant la densité, il est facile de déterminer la probabilité d’obtenir une telle valeur ou moins, et la probabilité d’obtenir une valeur qui lui est supérieure.
Étapes pour déterminer la densité ou probabilité de n’importe quelle valeur
- Calculer la moyenne et l’écart type de la distribution; donné à l’examen?
- Transformer la valeur qui vous intéresse en score z; être capable de faire
- Trouver la valeur z dans le tableau de la densité;
- Lire la valeur correspondante immédiatement à droite (larger portion, dans Field, 2017) Il s’agit de la proportion des observations qui sont égales ou inférieures à cette valeur; En soustrayant de 1, nous obtenons la proportion des observations qui lui sont supérieures;
Distribution normale du QI avec 1000 observations:
Large portion: La densité des observations qui lui sont égales ou inférieures;
La personne obtient 103 alors que M= 100 et S = 10:
𝑧 = 103−100⁄10 = 0.30
Trouver le score z dans le Tableau;
Lire la densité pour cette valeur (0,6179);
Environ 62 % des valeurs de cette distribution sont égales ou inférieures à 103;
Utilisez le tableau des densités (scores z).
• Quelle proportion des valeurs se trouve à une valeur de z ≤ 2,56 ?
Question d’examen
La densité sous la courbe pour les valeurs en dessous de la moyenne
- Les valeurs d’une distribution peuvent être supérieures ou inférieures à M;
- Par conséquent, le score z peut être négatif ou positif;
- Pour trouver la densité avec un z négatif:
- Trouver la densité pour le z sans se préoccuper du signe du z;
- Soustraire la densité obtenue de 1,00;
Proportion se situant entre deux valeurs:
• Convertir chaque observation en score z;
• Trouver, dans le tableau, la densité associée à chacune des deux observations;
• Soustraire ces deux densités;
𝑧1 = 0,80 (0,7881)
𝑧2 = 1,60 (0,9452)
0,9452 – 0,7881 = 0,1571 = p
15,7 % de probabilité que l’observation soit entre z = + 0,8 et z = + 1,6.
Les percentiles à partir du tableau de densité:
- Il est relativement simple de se servir du tableau de la densité pour déterminer le percentile associé à n’importe quelle valeur d’une distribution normale;
- Le percentile est la proportion des valeurs se trouvant à n’importe quelle valeur ou en dessous;
- Le tableau de la densité nous indique la proportion des valeurs se situant à une certaine valeur ou en dessous;
Pour une distribution normale :
Densité = Percentile
Comment déterminer un score z à partir d’un percentile:
Si nous pouvons passer d’un score z à un percentile, il est possible de faire l’inverse;
Trouver le percentile dans la colonne de droite;
Lire le score z correspondant;
Les percentiles à partir du tableau de densité:
Supposons qu’une professeure vous donne la moyenne et l’écart type des résultats à un examen, mais qu’elle ne vous donne pas votre note. Elle vous donne votre note individuelle en percentile. Vous aimeriez savoir votre note originale.
À partir du percentile, trouver la densité dans tableau.
Trouver le score z correspondant.
Calculer le score en valeur originale.
𝑧 = (𝑥 − 𝑀)/𝑠; donc 𝑥 = 𝑧 ∗ 𝑠 + 𝑀
M= 60, S = 12, percentile = 85
À partir du tableau la densité, 75 correspond a z = 1,04
𝑥 = (𝑧 ∗ 𝑠) + 𝑀
𝑥 = (1.04 ∗ 12) + 60 = 72.46%
M= 74, S = 8, percentile = 85
Calculer x:
𝑥 = (𝑧 ∗ 𝑠) + 𝑀
𝑥 = ( 1,05∗ 8) + 74 = 82,4%
M= 90, S = 11, percentile = 85
Calculer x:
𝑥 = (𝑧 ∗ 𝑠) + 𝑀
𝑥 = ( ∗ 11) + 90 = %
Une observation est-elle rare ou fréquente?
Le tableau de densité sous la courbe normale est capable de nous aider à faire l’interprétation d’une valeur (exceptionnelle / rare ou non).
Trouver la densité pour l’observation.
Calculer la densité supérieure à cette observation.
La densité supérieure est la probabilité qu’elle soit rare. Si la probabilité est petite, l’observation est rare.
Une personne obtient 90 à un examen dont la moyenne est de 50 et l’écart type est de 20.
Pour trouver la proportion des observations se situant au-dessus de cette performance:
𝑧 = (90 − 50)/20 = +2
Densité pour z = +2 = 0,9772
Densité au-dessus de z = +2 = 1,00 - 0,9772 = 0,0228
Seulement 2,28% des notes ≥ 90%;
Un évènement est rare lorsqu’il apparait moins que 5 % des fois dans une distribution.
Puisque 2,28 % sont plus petits que 5 %, nous concluons qu’obtenir 90 % est un évènement rare
