Cours

Question 1

Définition de l’espace d’état

Answer 1

espace d’état ou univers, noté Ω = ensemble de tous les résultats possibles de l’expérience

Question 2

Définition d’un événement

Answer 2

soit Ω un univers, un événement est un est un sous-ensemble de Ω

Question 3

Définition d’une tribu

Answer 3

Soit Ω en ensemble, une tribu est un ensemble A ⊂ P(Ω) (noté l’ensemble des événements) tq:

1. ø ∈ A
2. si B ∈ A , B^c ∈ A
3. si A₁,A₂,..,A_n ∈ A, alors ∪A_j ∈ A (union de j à n)

Question 4

Définition d’une probabilité

Answer 4

Une probabilité sur Ω est une fonction P: A→[0,1], A↦P(A) tel que:

1. P(ø) = 0
2. Si A₁,A₂,…,A_n sont tels que A_i ∩ A_j = ø, alors P(∪A_i) = Σ P(A_i)
3. P(Ω) = 1

Question 5

Que peut-on dire si Ω est dénombrable fini?

Answer 5

Proposition: Si Ω est dénombrable fini, une probabilité P: P(Ω)→[0,1] est entièrement caractérisée par la donnée

{ P( {ω} ) : ω ∈ Ω }

Question 6

Que peut-on dire de:

1. P(A), si A ⊂ B?
2. P(A^c) ?
3. P(∪A_i)sachant que A₁,A₂,…,A_n ∈ P(Ω)?

Answer 6

1. P(A) ≤P(B)
2. P(A^c)= 1- P(A)
3. P(∪A_i) ≤ ΣP(A_i)

Question 7

Définition de la probabilité conditionnelle ( P(A sachant B)= P(A|B)

Answer 7

P( A | B ) = P( A ∩ B ) / P( B )

Question 8

Définiton: Qu’est-ce qu’une partition de Ω ?

Answer 8

Une partition de Ω est une famille Ω1,Ω2,…,Ωn d’événements tq:

1. Ω_i ∩ Ω_j ≠ø si i ≠ j
2. ∪ Ω_i = Ω

Question 9

Propostion: formule des probabilités totales

Answer 9

P(A) =Σ P( A | Ω_i ) P( Ω_i ) ∀ événement A

Question 10

Proposition: Formule de Bayes

Quand utilise-t-on cette formule?

Answer 10

P( Ω_i | A ) = **P( A | Ω_i ) P(Ω_i) / **Σ P( A | Ω_j ) P( Ω_j )

P( Ωi | A ) = P( Ω_i ∩ A ) / P( A ) = P( Ω_i | A ) P( Ω_i ) / P( A )

⇒ P( A ) = Σ P( A | Ω_j) (P( Ω_j)

On utililse cette formule lorsqu’on rencontre un problème avec plusieurs événements et plusieurs probabilités et qu’on veut savoir la probilité du couple demandé

(exemple:

1. les Ω= les élèves, Ω1 = les garçons, Ω2= les filles, A = les yeux bleus…
2. le problème des 3 portes: A,B,C la porte * est la bonne et A’,B’,C’ le présentateur ouvre la porte * Q: P(B|A’) ?

)

Question 11

Définition: indépendance entre 2 éléments

quand 2 éléments sont ils indépendants

Answer 11

Les événements A et B sont indépendants si P(A|B)=P(A)

P( A | B ) = P( A ∩ B ) / P( B )

⇔

P( A ∩ B ) = P( B ) • P( A )

Question 12

Définition: indépendance entre n éléments

n éléments sont indépendants si ?

Answer 12

(A1, … , An) sont indépendants si ∀J ⊂ { 1, … , n }, P( ∩ A_j ) = Π P(A_j) j ∈ J

Exemple:

n = 3, A,B,C indépendants,

P( A ∩ B ) = P( A ) • P( B )

P( A ∩ C ) = P( A ) • P( C )

P( B ∩ C ) = P( B ) • P( C )

Question 13

Définition: série géométrique

Answer 13

S_n = Σ x^k = 1-xⁿ / 1-x

Convergence:

• si |x| < 1: xⁿ tend vers 0 donc la suite converge et sa limite est 1 / 1 - x
• si |x| = 1 : on distingue 2 cas: 1) x = 1 alors S_n = n 2) x = -1 alors S_n = 1 pour n impair et S_n=0 pour n pair. La suite diverge dans les 2 cas.
• si |x| > 1: la suite diverge

Question 14

Théorème de Borel - Cantelli

Answer 14

Soient A₁, … , A_n des événements,

A = ∩_p ∪_n≥p A_n = { ω ; ω ∈ A_i pour une infinité de i }

1. Si Σ_n P(A_n) < +∞ alors P(A) = 0
2. Si les (A_i) sont indépendants et si Σ P(A_n) = +∞ alors P(A) = 1

( Exemple: probabilité de faire Face infiniment souvent: P(F1) = 1 / 2 P(Fn) = 1 / 2n Σ P(Fi) = Σ 1/2i < +∞ ⇒ P(Fi infiniment souvent) = 0 )

Question 15

Définition d’une variable aléatoire

Answer 15

Une variable aléatoire (V.A) à valeur dans E est une application

X : Ω → E, ω → x(ω)

telle que X^-1(e) = { ω ; x(ω) = e }

Question 16

Définition de la loi de X (variable aléatoire)

Answer 16

La loi de X est la Probabilité P_X sur E définie par P_X( {e} ) = P( X^-1(e) ) avec X^-1(e) = { ω ; x(ω) = e }

Notation: P_X(e) ≡ P(X = e)

Question 17

Définition de l’espérance

Answer 17

Soit X : Ω → E ⊂ R une V.A

L’espérance de X est définie par:

E[X] = Σ_x∈E x•P_X(x)

Question 18

Propriétés de l’espérance (4)

Answer 18

1. Si ϕ: E →R, y=ϕ(x) alors E[y] = E[ϕ(x)] = Σ_x∈E ϕ(x) • P_X(x)
2. si x, y sont des V.A, E[x+y] = E[x] + E[y]
3. si a ∈ R E[a x] = a E[x]
4. Si x ≥ 0, E[x] ≥ 0. Plus généralement : si x ≥ y, E[x] ≥ E[y]