Chapitre 1: Modeles definis par une fonction

Question 1

derivee de: f(x) = k

Answer 1

f’(x) = 0

Question 2

derivee de: f(x) = x

Answer 2

f’(x) = 1

Question 3

derivee de: f(x) = x^2

Answer 3

f’(x) = 2x

Question 4

derivee de: f(x) = x^3

Answer 4

f’(x) = 3x^2

Question 5

derivee de: f(x) = x^n

Answer 5

f’(x) = n x x^(n-1)

Question 6

derivee de: f(x) = racine(x)

Answer 6

f’(x) = 1/(2 x racine(x))

Question 7

derivee de: f(x) = 1/x

Answer 7

f’(x) = -1/x^2

Question 8

derivee de: f(x) = e(x)

Answer 8

f’(x) = e(x)

Question 9

derivee de: f(x) = u + v

Answer 9

f’(x) = u’ + v’

Question 10

derivee de: f(x) = u x v

Answer 10

f’(x) = u’v + uv’

Question 11

derivee de: f(x) = u / v

Answer 11

f’(x) = (u’v - uv’) / v^2

Question 12

derivee de: f(x) = u^2

Answer 12

f’(x) = 2 x u x u’

Question 13

derivee de: f(x) = 1 / v

Answer 13

f’(x) = -v’ / v^2

Question 14

derivee de: g(x) = f(ax+b)

Answer 14

g’(x) = a x f’(ax+b)

Question 15

derivee de: f(x) = e^(u(x))

Answer 15

f’(x) = u’ x e^(u(x))

Question 16

derivee de: f(x) = 1/x^n

Answer 16

f’(x) = x^(-n)

Question 17

derivee et sens de variation: proprietes

Answer 17

Le signe de f’ donne le sens de variation de f:
- f croissante si f’ positive
- f decroissante si f’ negative
- f constante si f’ nulle

Question 18

Le taux d’accroissement/ le taux de variation

Answer 18

Soit h un nombre reel quelconque different de 0:
f(a+h)-f(a) / h
=> evalue le coefficient directeur

Question 19

fonction derivable

Answer 19

On dit qu’une fonction est derivable en “a” lorsque son taux d’accroissement tend vers une valeur relle lorsque h tend vers 0:
lim(h->0) f(a+h)-f(a) / h = f’(a)

La valeur limite est appele nombre derive de la fontion f en a note f’(a).
Ce nombre derive est le coefficient directeur de la tangente en le point (a;f(a))

Question 20

La tangente

Answer 20

y = f’(a)(x-a) + f(a)
Avec f’(a) etant le coefficient directeur de la tangente en le point (a;f(a))

Question 21

convexe

Answer 21

La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa courbe representative est entierement situee au-dessus de chacune de ses tangentes pour tout x appartient a I.

down/up

Question 22

concave

Answer 22

La fonction f est concave sur I si et seulement si sa courbe representative est entierement situee en dessous de chacune de ses tangentes pour tout x appartient a I.

up/down

Question 23

convexite de x^2

Answer 23

convexe

Question 24

convexite de x^3

Answer 24

concave - 0 - convexe

Question 25

convexite de 1/x

Answer 25

concave - 0 - convexe

Question 26

convexite de racine(x)

Answer 26

concave

Question 27

convexite de e(x)

Answer 27

convexe

Question 28

sens de variation: theoreme

Answer 28

La fonction f et convexe sur I si et seulement si sa derivee f’ est croissante sur I

La fonction f est concave sur I si et seulement si sa derivee f’ est decroissante sur I.

Question 29

la derivee seconde de la fonction f

Answer 29

f’’ sert a calculer la derivee de f’
f’’ permet de connaitre les variations de f’
permet alors de connaitre la convexite d’une fonction

La fonction f est convexe sur I s.si f’’ est positive sur I
La fonction f est concave sur I s.si f’’ est negative sur I

Question 30

rythme de croissance

Answer 30

En cas de croissance, fonction convexe croit de plus en plus.
Fonction concave croit de moins en moins.

Question 31

point d’inflexion

Answer 31

Un point ou la courbe traverse sa tangente en ce point.
Au point d’inflexion, la fonction change de convexite, f’ change donc de variations.

Question 32

Definition intuitive de la continuite

Answer 32

Une fonction est continue sur un intervalle I, lorsque l’on peut dessiner sa courbe representative sur l’intervalle I sans lever le crayon

Question 33

Definition mathematique de la continuite

Answer 33

Soit f une fonction definie sur un intervalle I et a un nombre reel de I

f est continu en a lorsque:
- lim(x–>a) f(x) = f(a) ou encore lim(h–>0) f(a+h) = f(a)

f est continu sur I lorsque:
- f est continu pour tout nombre reel de l’intervalle I

Question 34

Les types de fonctions continues

Answer 34

• les fonctions de reference sur toute intervalle ou elles sont definies
• les fonctions “construites par operations ou composition” a l’aide des fonctions de reference sur toute intervalle ou elles sont definies
• les fonctions derivables

Question 35

Le theoreme de valeurs intermediaires

Answer 35

Soit f une fonction continue

l’equation f(x) = k admet au moins un solution.

Question 36

Corollaire du theoreme de valeurs intermediaires

Answer 36

Soit f une fonction continue et strictement monotone

l’equation f(x) = k admet une unique solution.

Question 37

methode de TVI

Answer 37

1) Etudier les variations de la fonction du probleme pose pour determiner les intervalles ou elle est monotone

2) Localiser la/les solution(s) du probleme pose en utilisant correctement le TVI

3) Utiliser la calculatrice pour trouver un encadrement ou une valeur approchee de la/les solution(s)