Chapitre 1: Modeles definis par une fonction Flashcards
derivee de: f(x) = k
f’(x) = 0
derivee de: f(x) = x
f’(x) = 1
derivee de: f(x) = x^2
f’(x) = 2x
derivee de: f(x) = x^3
f’(x) = 3x^2
derivee de: f(x) = x^n
f’(x) = n x x^(n-1)
derivee de: f(x) = racine(x)
f’(x) = 1/(2 x racine(x))
derivee de: f(x) = 1/x
f’(x) = -1/x^2
derivee de: f(x) = e(x)
f’(x) = e(x)
derivee de: f(x) = u + v
f’(x) = u’ + v’
derivee de: f(x) = u x v
f’(x) = u’v + uv’
derivee de: f(x) = u / v
f’(x) = (u’v - uv’) / v^2
derivee de: f(x) = u^2
f’(x) = 2 x u x u’
derivee de: f(x) = 1 / v
f’(x) = -v’ / v^2
derivee de: g(x) = f(ax+b)
g’(x) = a x f’(ax+b)
derivee de: f(x) = e^(u(x))
f’(x) = u’ x e^(u(x))
derivee de: f(x) = 1/x^n
f’(x) = x^(-n)
derivee et sens de variation: proprietes
Le signe de f’ donne le sens de variation de f:
- f croissante si f’ positive
- f decroissante si f’ negative
- f constante si f’ nulle
Le taux d’accroissement/ le taux de variation
Soit h un nombre reel quelconque different de 0:
f(a+h)-f(a) / h
=> evalue le coefficient directeur
fonction derivable
On dit qu’une fonction est derivable en “a” lorsque son taux d’accroissement tend vers une valeur relle lorsque h tend vers 0:
lim(h->0) f(a+h)-f(a) / h = f’(a)
La valeur limite est appele nombre derive de la fontion f en a note f’(a).
Ce nombre derive est le coefficient directeur de la tangente en le point (a;f(a))
La tangente
y = f’(a)(x-a) + f(a)
Avec f’(a) etant le coefficient directeur de la tangente en le point (a;f(a))
convexe
La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa courbe representative est entierement situee au-dessus de chacune de ses tangentes pour tout x appartient a I.
down/up
concave
La fonction f est concave sur I si et seulement si sa courbe representative est entierement situee en dessous de chacune de ses tangentes pour tout x appartient a I.
up/down
convexite de x^2
convexe
convexite de x^3
concave - 0 - convexe
convexite de 1/x
concave - 0 - convexe
convexite de racine(x)
concave
convexite de e(x)
convexe
sens de variation: theoreme
La fonction f et convexe sur I si et seulement si sa derivee f’ est croissante sur I
La fonction f est concave sur I si et seulement si sa derivee f’ est decroissante sur I.
la derivee seconde de la fonction f
f’’ sert a calculer la derivee de f’
f’’ permet de connaitre les variations de f’
permet alors de connaitre la convexite d’une fonction
La fonction f est convexe sur I s.si f’’ est positive sur I
La fonction f est concave sur I s.si f’’ est negative sur I
rythme de croissance
En cas de croissance, fonction convexe croit de plus en plus.
Fonction concave croit de moins en moins.
point d’inflexion
Un point ou la courbe traverse sa tangente en ce point.
Au point d’inflexion, la fonction change de convexite, f’ change donc de variations.
Definition intuitive de la continuite
Une fonction est continue sur un intervalle I, lorsque l’on peut dessiner sa courbe representative sur l’intervalle I sans lever le crayon
Definition mathematique de la continuite
Soit f une fonction definie sur un intervalle I et a un nombre reel de I
f est continu en a lorsque:
- lim(x–>a) f(x) = f(a) ou encore lim(h–>0) f(a+h) = f(a)
f est continu sur I lorsque:
- f est continu pour tout nombre reel de l’intervalle I
Les types de fonctions continues
- les fonctions de reference sur toute intervalle ou elles sont definies
- les fonctions “construites par operations ou composition” a l’aide des fonctions de reference sur toute intervalle ou elles sont definies
- les fonctions derivables
Le theoreme de valeurs intermediaires
Soit f une fonction continue
l’equation f(x) = k admet au moins un solution.
Corollaire du theoreme de valeurs intermediaires
Soit f une fonction continue et strictement monotone
l’equation f(x) = k admet une unique solution.
methode de TVI
1) Etudier les variations de la fonction du probleme pose pour determiner les intervalles ou elle est monotone
2) Localiser la/les solution(s) du probleme pose en utilisant correctement le TVI
3) Utiliser la calculatrice pour trouver un encadrement ou une valeur approchee de la/les solution(s)
